孫炳達(dá)版《自動(dòng)控制原理》第4章控制系統(tǒng)的根軌跡分析法.ppt

自動(dòng)控制原理,第四章 控制系統(tǒng)的根軌跡分析法,4.2 繪制根軌跡的基本條件和基本規(guī)則,4.2 繪制根軌跡的基本條件和基本規(guī)則,一、根軌跡的幅值條件和相角條件,一般的閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖如圖所示，其特征方程為：,其開環(huán)傳遞函數(shù)：,由等式兩邊幅角和相角分別相等的條件可得：,4.2 繪制根軌跡的基本條件和基本規(guī)則,以上兩式分別稱為根軌跡的幅值條件和相角條件。 在S平面上的任一點(diǎn)，凡能滿足以上條件的，就是系統(tǒng)特征方程的根，就必定在根軌跡上。,注： 當(dāng)閉環(huán)系統(tǒng)為負(fù)反饋時(shí)，對應(yīng)的軌跡為180根軌跡； 而正反饋系統(tǒng)的軌跡為零度根軌跡。,4.2 繪制根軌跡的基本條件和基本規(guī)則,開環(huán)傳遞函數(shù)通?？梢詫憺椋銟O點(diǎn)形式）：,其中Kg開環(huán)傳遞系數(shù) zj 和 pi 開環(huán)零點(diǎn)和極點(diǎn),因此，幅值條件可表示為：,或,4.2 繪制根軌跡的基本條件和基本規(guī)則,相角條件為：,其中j開環(huán)零點(diǎn)到S的矢量角 i 開環(huán)極點(diǎn)到S的矢量角,注： 在測量相角時(shí)，規(guī)定以逆時(shí)針方向?yàn)檎?4.2 繪制根軌跡的基本條件和基本規(guī)則,說明： （1）幅角條件只與開環(huán)零、極點(diǎn)有關(guān)，為充要條件； （2）幅值條件不但與開環(huán)零、極點(diǎn)有關(guān)，還與開環(huán)根軌跡增益有關(guān)，必要條件。 （3）凡滿足幅值和幅角條件的s值，都是閉環(huán)極點(diǎn)。,繪制根軌跡的步驟： （1）尋找滿足幅角條件所有的s點(diǎn)，由這些點(diǎn)構(gòu)成根軌跡； （2）根據(jù)幅值條件確定對應(yīng)點(diǎn)(即特征方程根)處的Kg值。,4.2 繪制根軌跡的基本條件和基本規(guī)則,在根軌跡圖中，一般約定： “”表示開環(huán)極點(diǎn)； “”表示開環(huán)有限值零點(diǎn)； 粗線表示根軌跡； 箭頭表示某一參數(shù)增加的方向； “.”表示根軌跡上的點(diǎn)。,4.2 繪制根軌跡的基本條件和基本規(guī)則,例 已知開環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)如下式，設(shè)-s0為該閉環(huán)系統(tǒng)的一個(gè)極點(diǎn)，求其對應(yīng)的傳遞系數(shù)Kg0。式中-z1為開環(huán)有限零點(diǎn)；0、-p1 、-p2為開環(huán)極點(diǎn)。,解 由相角條件確定根軌跡上的某點(diǎn)位置，如圖，使其滿足：,再按幅值條件求得該點(diǎn)的根軌跡傳遞系數(shù)：,4.2 繪制根軌跡的基本條件和基本規(guī)則,例 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù),證明 該系統(tǒng)的開環(huán)極點(diǎn),試證明復(fù)平面上點(diǎn) 是該系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)。,若系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)為s1，s2，則它們應(yīng)滿足相角條件。,4.2 繪制根軌跡的基本條件和基本規(guī)則,以s1為試驗(yàn)點(diǎn)，由圖可得,以s2為試驗(yàn)點(diǎn)，由圖可得,可見， s1和s2均滿足相角條件， 均為閉環(huán)極點(diǎn)。,證畢。,4.2 繪制根軌跡的基本條件和基本規(guī)則,例 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù),解 根據(jù)幅值條件,當(dāng) 變化時(shí)其根軌跡如圖所示，求根軌跡上點(diǎn) 所對應(yīng)的K值。,求得,4.2 繪制根軌跡的基本條件和基本規(guī)則,二、繪制根軌跡的基本規(guī)則,1 連續(xù)性 根軌跡是連續(xù)的,當(dāng)Kg連續(xù)變化時(shí)，特征方程的根也是連續(xù)變化的，所以根軌跡是連續(xù)的。,4.2 繪制根軌跡的基本條件和基本規(guī)則,2 對稱性,由于系統(tǒng)特征方程式的系數(shù)均為實(shí)數(shù)，因而特征根為實(shí)數(shù)或?yàn)楣曹棌?fù)數(shù)，根軌跡必然對稱于實(shí)軸。,3 根軌跡的條數(shù)為系統(tǒng)的階數(shù),即系統(tǒng)特征方程的階數(shù)，也為開環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)數(shù)。,4.2 繪制根軌跡的基本條件和基本規(guī)則,4 起點(diǎn)和終點(diǎn),根軌跡的起點(diǎn)是指Kg=0根軌跡的點(diǎn)。,根軌跡的終點(diǎn)是指Kg=根軌跡的點(diǎn)， 即終點(diǎn)為開環(huán)傳遞函數(shù)的零點(diǎn)。,由幅值條件可知，當(dāng) Kg=0時(shí)對應(yīng)s=-pi，即,根軌跡的起點(diǎn)為開環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)。,若起點(diǎn)數(shù)n大于零點(diǎn)數(shù)m,則有m條根軌跡終于零點(diǎn)，有n-m條終于無窮遠(yuǎn)處（無窮遠(yuǎn)處的零點(diǎn)稱之為無限零點(diǎn)）。,4.2 繪制根軌跡的基本條件和基本規(guī)則,5 實(shí)軸上的根軌跡,在S平面實(shí)軸上的線段存在根軌跡的條件是： 線段右側(cè)開環(huán)零點(diǎn)（有限零點(diǎn)）和開環(huán)極點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)。,1）每對共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)所提供的幅角之和為360；,2） s1左邊所有位于實(shí)軸上的每一個(gè)極點(diǎn)或零點(diǎn)所提供的幅角為0；,3）s1右邊所有位于實(shí)軸上的每一個(gè)極點(diǎn)或零點(diǎn)所提供的幅角為180。,4.2 繪制根軌跡的基本條件和基本規(guī)則,例 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，試確定實(shí)軸上的根軌跡。,解 上在實(shí)軸，右邊線段零、極點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)的線段是：,-1，-2 右側(cè)實(shí)零、極點(diǎn)數(shù)=3。,-4，-6 右側(cè)實(shí)零、極點(diǎn)數(shù)=7。,4.2 繪制根軌跡的基本條件和基本規(guī)則,例設(shè)一單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為,解 將開環(huán)傳遞函數(shù)寫成零、極點(diǎn)形式,求 時(shí)的閉環(huán)根軌跡。,4.2 繪制根軌跡的基本條件和基本規(guī)則,按繪制根規(guī)跡法則逐步進(jìn)行：,1）法則三，2階系統(tǒng)，因此有兩條根軌跡；,2）法則四，兩條根軌跡分別起始于開環(huán)極點(diǎn)0、2，其中一條終于有限零點(diǎn)1，另一條趨于無窮遠(yuǎn)處；,3）法則五，在負(fù)實(shí)軸上，0到1區(qū)間和2到負(fù)無窮區(qū)間是根軌跡；,4.2 繪制根軌跡的基本條件和基本規(guī)則,最后繪制出根軌跡如下圖所示。,4.2 繪制根軌跡的基本條件和基本規(guī)則,6 分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn),特征方程的重根為根軌跡的分離點(diǎn)或會(huì)合點(diǎn)。,4.2 繪制根軌跡的基本條件和基本規(guī)則,閉環(huán)特征方程式,分離點(diǎn)或會(huì)合點(diǎn)可由下式求得,此外， s對應(yīng)的Kg值為正時(shí)，才是實(shí)際的分離或會(huì)合點(diǎn)。,上式為必要條件，求出S值可能為分離點(diǎn)或會(huì)合點(diǎn)；,上式的解根軌跡上，需滿足：,4.2 繪制根軌跡的基本條件和基本規(guī)則,注：,1）位于實(shí)軸上兩個(gè)極點(diǎn)之間的根軌跡上，存在分離點(diǎn)；,4）分離或會(huì)合點(diǎn)還可由以下公式（試湊法）計(jì)算。,2）位于實(shí)軸上兩個(gè)零點(diǎn)（含無窮零點(diǎn)）之間的根軌跡上，存在會(huì)合點(diǎn)；,3）根軌跡以 /2的角度方向離開分離點(diǎn)（分離角）或進(jìn)入會(huì)合點(diǎn)（會(huì)合角）；,4.2 繪制根軌跡的基本條件和基本規(guī)則,例 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)， 求根軌跡的分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)。,解 系統(tǒng)有一個(gè)開環(huán)零點(diǎn)為-1，有兩個(gè)開環(huán)極點(diǎn)分別為-0.1和-0.5。,根據(jù)規(guī)則五，根軌跡與實(shí)軸相重合的區(qū)間為-0.1，-0.5,（-，-1。,求根軌跡的分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)：,4.2 繪制根軌跡的基本條件和基本規(guī)則,求對應(yīng)分離點(diǎn)、會(huì)合點(diǎn)的Kg：,根軌跡如下圖：,4.2 繪制根軌跡的基本條件和基本規(guī)則,7 漸近線,（1）漸近線條數(shù)：n-m條，根軌跡沿漸近線傾角方向趨向無窮遠(yuǎn)，傾角為,（2）漸近線交點(diǎn)：與實(shí)軸交于一點(diǎn) 坐標(biāo)為（-，j0），其中,4.2 繪制根軌跡的基本條件和基本規(guī)則,例 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)， 試畫出根軌跡的大致圖形。,解 按根軌跡繪制的規(guī)則：,（1）起點(diǎn)：0，-1，-5； 終點(diǎn)：，。 （2）分支數(shù)： n=3 （3）根軌跡對稱于實(shí)軸。 （4）漸近線：因?yàn)楸鞠到y(tǒng)中，n=3,m=0,所以漸近線共有3條。漸近線的傾角：,取k0，1，2，得到：,（5）根軌跡在實(shí)軸上的分布： 0-1，-5-之間。,4.2 繪制根軌跡的基本條件和基本規(guī)則,漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)：,4.2 繪制根軌跡的基本條件和基本規(guī)則,n-m不同取值下的漸近線,4.2 繪制根軌跡的基本條件和基本規(guī)則,8 與虛軸的交點(diǎn),方法一：代數(shù)法 將s=j代入系統(tǒng)特征方程，令實(shí)部和虛部分別等于零，求出和對應(yīng)的K值。,方法二：勞斯判據(jù) 若勞斯表第一列中有一為零項(xiàng)，且其余各項(xiàng)都具有正號(hào)，則系統(tǒng)為臨界狀態(tài)，即有零根或虛根。,4.2 繪制根軌跡的基本條件和基本規(guī)則,例 已知系統(tǒng)的特征方程為, 求與虛軸的交點(diǎn)。,解 方法一：將s=j代入特征方程，得,經(jīng)整理為：,解得：,4.2 繪制根軌跡的基本條件和基本規(guī)則,方法二：由特征方程可知，該系統(tǒng)為三階系統(tǒng)，列勞斯表,若根軌跡與虛軸相交，則表示系統(tǒng)存在純虛根，該點(diǎn)對應(yīng)的Kg使系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)，因此,又因?yàn)橐粚兲摳貫閿?shù)值相同，符號(hào)相反的根，所以用勞斯表s2行的系數(shù)可以構(gòu)成輔助方程。,4.2 繪制根軌跡的基本條件和基本規(guī)則,9 出射角與入射角,出射角：根軌跡離開開環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)處切線與正實(shí)軸的夾角。,入射角：根軌跡進(jìn)入開環(huán)復(fù)數(shù)零點(diǎn)處的切線與正實(shí)軸的夾角。,4.2 繪制根軌跡的基本條件和基本規(guī)則,zj除被測終點(diǎn)外，所有開環(huán)有限零點(diǎn)到該點(diǎn)矢量的相角； pi除被測起點(diǎn)外，所有開環(huán)極點(diǎn)到被測極點(diǎn)矢量的相角。,例 系統(tǒng)零極點(diǎn)分布如圖，試確定根軌跡離開復(fù)數(shù)共軛極點(diǎn)的起始角。p1=-1+j1，p2=-1-j1，p3=0，p4=-3，z1=-2,根據(jù)對稱性，可知 p2點(diǎn)的出射角為：,注意：相角要注意符號(hào)：逆時(shí)針為正，順時(shí)針為負(fù)； 注意矢量的方向。,解：,tanj 1=1,j 1=45,2=90,3=135,tan4=0.5,4=26.6,取k=0(考慮到周期性)： p1= -26.6,p2 = -p1= 26.6,4.2 繪制根軌跡的基本條件和基本規(guī)則,例 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試?yán)L制該系統(tǒng)概略根軌跡。,3.漸近線：,解：,2.實(shí)軸上的根軌跡：,1.開環(huán)零極點(diǎn)：,n-m=1，只有一條180o漸進(jìn)線。,4.分離點(diǎn)：,無分離點(diǎn)。,(，-2.5 -1.5，0,4.2 繪制根軌跡的基本條件和基本規(guī)則,5.出射角：,4.2 繪制根軌跡的基本條件和基本規(guī)則,入射角：,4.2 繪制根軌跡的基本條件和基本規(guī)則,概略根軌跡圖,4.2 繪制根軌跡的基本條件和基本規(guī)則,4.2 繪制根軌跡的基本條件和基本規(guī)則,10 走向,設(shè)系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為,當(dāng)n-m=2 時(shí)，根之和為不變系數(shù)，即,所以當(dāng)開環(huán)增益Kg增大時(shí)，若閉環(huán)某些根在S平面上向左移動(dòng)，則另一部分根必向右移動(dòng)。這對于判斷根軌跡的走向很有意義。,4.2 繪制根軌跡的基本條件和基本規(guī)則,4.2 繪制根軌跡的基本條件和基本規(guī)則,1、,求出S值（即可能的分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)）,2、,3、 s對應(yīng)的Kg值為正時(shí)，才是實(shí)際的分離或會(huì)合點(diǎn)。,除被測終點(diǎn)外，所有開環(huán)有限零點(diǎn)到該點(diǎn)矢量的相角。 除被測起點(diǎn)外，所有開環(huán)極點(diǎn)到被測極點(diǎn)矢量的相角。,