（福建專用）2013年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第八章第7課時(shí) 空間向量及其運(yùn)算課時(shí)闖關(guān)（含解析）

（福建專用）2013年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第八章第7課時(shí) 空間向量及其運(yùn)算課時(shí)闖關(guān)（含解析）一、選擇題1若向量a(1，2)，b(2,1,1)，a，b夾角的余弦值為，則等于()A1B1C±1 D2解析：選A.cosa，b，解得1.2(2012·三明調(diào)研)已知正方體ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)E為上底面A1C1的中心，若xy，則x，y的值分別為()Ax1，y1 Bx1，yCx，y Dx，y1解析：選C.如圖，()3設(shè)點(diǎn)C(2a1，a1,2)在點(diǎn)P(2,0,0)、A(1，3,2)、B(8，1，4)確定的平面上，則a等于()A16 B4C2 D8解析：選A.(1，3,2)，(6，1,4)根據(jù)共面向量定理，設(shè)xy(x、yR)，則(2a1，a1,2)x(1，3,2)y(6，1,4)(x6y，3xy,2x4y)，解得x7，y4，a16.4平行六面體ABCDA1B1C1D1中，x2y3z，則xyz等于()A. B1C. D.解析：，又，不共面，x1,2y1,3z1.x1，y，z.xyz1.答案：5已知空間四邊形ABCD的每條邊和對(duì)角線的長(zhǎng)都等于a，點(diǎn)E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，則·的值為()Aa2 B.a2C.a2 D.a2解析：選C.如圖所示，設(shè)a，b，c，則|a|b|c|a，且a，b，c三向量?jī)蓛蓨A角為60°.(ab)，c，·(ab)·c(a·cb·c)(a2cos60°a2cos60°)a2.二、填空題6(2010·高考廣東卷)若向量a(1,1，x)，b(1,2,1)，c(1,1,1)，滿足條件(ca)·(2b)2，則x_.解析：a(1,1，x)，b(1,2,1)，c(1,1,1)，ca(0,0,1x)，2b(2,4,2)(ca)·(2b)2(1x)2，x2.答案：27已知G是ABC的重心，O是平面ABC外的一點(diǎn)，若，則_.解析：如圖，正方體中，3，3.答案：38.(原創(chuàng)題)如圖，已知長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，ABAA12，BC3，M為AC1與CA1的交點(diǎn)，則M點(diǎn)的坐標(biāo)為_解析：由長(zhǎng)方體的幾何性質(zhì)得，M為AC1的中點(diǎn)，在所給的坐標(biāo)系中，A(0,0,0)，C1(2,3,2)，中點(diǎn)M 的坐標(biāo)為(1，1)答案：(1，1)三、解答題9.如圖，在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，O為AC的中點(diǎn)(1)化簡(jiǎn)：；(2)設(shè)E是棱DD1上的點(diǎn)，且，若xyz，試求x、y、z的值解：(1)，().(2)()，x，y，z.10.如圖所示，平行六面體ABCDA1B1C1D1中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都為1，且兩兩夾角為60°.(1)求AC1的長(zhǎng)；(2)求BD1與AC夾角的余弦值解：記a，b，c，則|a|b|c|1，a，bb，cc，a60°，a·bb·cc·a.(1)|2(abc)2a2b2c22(a·bb·cc·a)1112×()6，|，即AC1的長(zhǎng)為.(2)bca，ab，|1|，|，·(bca)·(ab)b2a2a·cb·c1.cos，.AC與BD1夾角的余弦值為.一、選擇題1(2012·寧德調(diào)研)已知點(diǎn)A(3，1，4)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為A1，點(diǎn)A在xOz平面上的射影為A2，則在y軸正方向上的投影為()A2 B1C1 D2解析：選B.A1的坐標(biāo)為(3,1,4)，A2的坐標(biāo)為(3,0，4)(6，1，8)，y軸正方向上的單位向量e(0,1,0)，投影為·e1.2(2012·寧德調(diào)研)O、A、B、C為空間四個(gè)點(diǎn)，又、為空間的一個(gè)基底，則()AO、A、B、C四點(diǎn)不共線BO、A、B、C四點(diǎn)共面，但不共線CO、A、B、C四點(diǎn)中任意三點(diǎn)不共線DO、A、B、C四點(diǎn)不共面解析：選D.由基底意義，、三個(gè)向量不共面，但A、B、C三種情形都有可能使、共面只有D才能使這三個(gè)向量不共面，故應(yīng)選D.二、填空題3(2011·高考大綱全國(guó)卷)已知點(diǎn)E、F分別在正方體ABCD­A1B1C1D1的棱BB1、CC1上，且B1E2EB，CF2FC1，則面AEF與面ABC所成的二面角的正切值等于_解析：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)面ABC的法向量為n1(0,0,1)，面AEF的法向量為n2(x，y，z)設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，A(1,0,0)，E，F(xiàn)，則取x1，則y1，z3，故n2(1，1,3)，cosn1，n2，面AEF與面ABC所成的二面角的平面角滿足cos ，sin ，tan .答案：4(2012·南平質(zhì)檢)正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，O是A1C1的中點(diǎn)，則點(diǎn)O到平面ABC1D1的距離為_解析：建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系可得C1(0,1,1)，O(，1)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，(，0)平面ABC1D1的法向量(1,0,1)，點(diǎn)O到平面ABC1D1的距離d.答案：三、解答題5.如圖，在四棱錐PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB2，BAD60°.(1)求證：BD平面PAC；(2)若PAAB，求PB與AC所成角的余弦值；(3)當(dāng)平面PBC與平面PDC垂直時(shí)，求PA的長(zhǎng)解：(1)證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，所以ACBD.又因?yàn)镻A平面ABCD，所以PABD.所以BD平面PAC.(2)設(shè)ACBDO，因?yàn)锽AD60°，PAAB2，所以BO1，AOCO.如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系O­xyz，則P(0，2)，A(0，0)，B(1,0,0)，C(0，0)所以P(1，2)，A(0,2，0)設(shè)PB與AC所成角為，則cos .(3)由(2)知B(1，0)設(shè)P(0，t)(t>0)，則B(1，t)設(shè)平面PBC的法向量m(x，y，z)，則B·m0，B·m0.所以令y，則x3，z.所以m.同理，平面PDC的法向量n.因?yàn)槠矫鍼BC平面PDC，所以m·n0，即60，解得t.所以PA.6.如圖，在梯形ABCD中，ABCD，ADC90°，3ADDC3，AB2，E是DC上的點(diǎn)，且滿足DE1，連結(jié)AE，將DAE沿AE折起到D1AE的位置，使得D1AB60°，設(shè)AC與BE的交點(diǎn)為O.(1)試用基向量，表示向量；(2)求異面直線OD1與AE所成角的余弦值；(3)判斷平面D1AE與平面ABCE是否垂直？并說(shuō)明理由解：(1)ABCE，ABCE2，四邊形ABCE是平行四邊形，O為BE的中點(diǎn)().(2)設(shè)異面直線OD1與AE所成的角為，則cos|cos，|，·()···|21××cos45°×2××cos45°×()21，| ，cos|.故異面直線OD1與AE所成角的余弦值為.(3)平面D1AE平面ABCE.證明如下：取AE的中點(diǎn)M，連結(jié)D1M，則，·()·|2·×()21××cos45°0.D1MAE.·()···××2×cos45°1×2×cos60°0，D1MAB.又AEABA，AE、AB平面ABCE，D1M平面ABCE.D1M平面D1AE，平面D1AE平面ABCE.