2011年高考數(shù)學(xué) 考點42曲線與方程、圓錐曲線的綜合應(yīng)用

考點42 曲線與方程、圓錐曲線的綜合應(yīng)用一、選擇題1.（2011·山東高考理科·8）已知雙曲線（a>0,b>0）的兩條漸近線均和圓C：x2+y2-6x+5=0相切，且雙曲線的右焦點為圓C的圓心，則該雙曲線的方程為（A） （B）（C） （D）【思路點撥】先求出圓C的圓心坐標(biāo)（3,0），半徑r=2，再求出漸近線方程，由圓心到漸近線的距離等于半徑即可得到a,b的關(guān)系，再由雙曲線的右焦點為圓C的圓心知c=2，即可求出結(jié)果.【精講精析】選A.雙曲線的漸近線方程為bx+ay=0和bx-ay=0，圓心為（3,0），半徑r=2.由圓心到直線的距離為所以4a2=5b2又因為雙曲線的右焦點為圓C的圓心，所以c=3，即9=a2+b2 所以，a2=5，b2=4.2（2011·福建卷理科·7）設(shè)圓錐曲線的兩個焦點分別為F1，F(xiàn)2，若曲線上存在點P滿足=4:3:2，則曲線的離心率等于( )（A） （B）或2 （C）2 （D）【思路點撥】根據(jù)=4:3:2，設(shè)出，然后按曲線為橢圓或者雙曲線，在中分別利用定義求離心率.【精講精析】 選A. =4:3:2，其中，.若圓錐曲線為橢圓，則，若圓錐曲線為雙曲線，則3. （2011·福建卷文科·11）設(shè)圓錐曲線的兩個焦點分別為F1， F2，若曲線上存在點P滿足：= 4:3:2，則曲線的離心率等于（ ）（A） （B）（C） （D）【思路點撥】根據(jù)=4:3:2，設(shè)出，然后按曲線為橢圓或者雙曲線，在中分別利用定義求離心率.【精講精析】選A. =4:3:2，其中，.若圓錐曲線為橢圓，則，若圓錐曲線為雙曲線，則二、填空題4.（2011·山東高考文科·15）已知雙曲線和橢圓有相同的焦點，且雙曲線的離心率是橢圓離心率的兩倍，則雙曲線的方程為 .【思路點撥】先求橢圓焦點，即雙曲線的焦點，再由雙曲線的離心率是橢圓離心率的兩倍求出b，然后寫出雙曲線的方程.【精講精析】由題意知雙曲線的焦點為（-，0）、（，0），即c=，又因為雙曲線的離心率為，所以a=2,故b2=3，所以雙曲線的方程為5.（2011·北京高考理科·T14）曲線C是平面內(nèi)與兩個定點和的距離的積等于常數(shù)的點的軌跡.給出下列三個結(jié)論：曲線C過坐標(biāo)原點；曲線C關(guān)于坐標(biāo)原點對稱；若點P在曲線C上，則的面積不大于.其中所有正確的結(jié)論的序號是 .【思路點撥】寫出曲線C的方程，再逐個驗證三個結(jié)論.【精講精析】.設(shè)P(x,y)為曲線C上任意一點，則由得，C:把（0，0）代入方程可得，與矛盾，故不正確；當(dāng)M(x,y)在曲線C上時，點M關(guān)于原點的對稱點，也滿足方程，故曲線C關(guān)于原點對稱，故正確；，故正確.6（2011·安徽高考理科·21）若，點A的坐標(biāo)為（1,1），點B在拋物線上運動，點Q滿足，經(jīng)過點Q與x軸垂直的直線交拋物線于點M，點P滿足,求點P的軌跡方程.【思路點撥】設(shè)出點坐標(biāo)，通過，等中間量建立方程，消去中間量，的點的軌跡方程【精講精析】解：由知Q,M,P三點在同一條垂直于x軸的直線上，故可設(shè)P(x,y),Q(x,),M(x,x),則即 再設(shè)由，即解得 將式代入式，消去，得 又點B在拋物線上，所以，再將式代入，得因為，兩邊同時除以得故所求點P的軌跡方程為.7. （2011·新課標(biāo)全國高考理科·20）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點A(0,-1)，B點在直線y = -3上，M點滿足， ，M點的軌跡為曲線C.（）求C的方程；（）P為C上的動點，l為C在P點處得切線，求O點到l距離的最小值. 【思路點撥】第（1）問，求點的軌跡，可設(shè)點坐標(biāo)為，然后利用條件得到點B的坐標(biāo)，最后將條件轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)關(guān)系，得到滿足的關(guān)系式，化簡整理即得的方程；第（2）問，設(shè)出點的坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)求出切線的斜率，表示出的方程，再利用點到直線的距離公式求得點到距離的函數(shù)，然后利用函數(shù)的知識求出最值即可.【精講精析】()設(shè)M(x,y),由已知得B(x,-3),A(0,-1).所以=（-x,-1-y）, =(0,-3-y), =(x,-2).再由題意可知（+） =0, 即（-x,-4-2y） (x,-2)=0.所以曲線C的方程式為y=x-2.()設(shè)P(x,y)為曲線C：y=x -2上一點，因為y=x,所以的斜率為x因此直線的方程為，即.則O點到的距離.又，所以當(dāng)=0時取等號，所以O(shè)點到距離的最小值為2.8.（2011·山東高考理科·22）（本小題滿分14分）已知直線l與橢圓C: 交于P（x1,y1），Q(x2,y2)兩不同點，且OPQ的面積,其中O為坐標(biāo)原點.（）證明x12+x22和y12+y22均為定值（）設(shè)線段PQ的中點為M，求的最大值；（）橢圓C上是否存在點D,E,G，使得若存在，判斷DEG的形狀；若不存在，請說明理由.【思路點撥】本題重點考察學(xué)生的計算能力，相比較去年的圓錐曲線題目，今年的題目難度要大一些，是一道較好的選拔優(yōu)秀學(xué)生的題目.（1）分斜率存在和不存在兩種情況討論.（2）利用第一問的結(jié)論，再應(yīng)用基本不等式容易得出結(jié)論.（3）利用反證法，假設(shè)存在這樣的點，經(jīng)推理得出矛盾，從而證明原結(jié)論成立.【精講精析】（）當(dāng)直線的斜率不存在時，兩點關(guān)于軸對稱，則，由在橢圓上，則，而，則.于是，.當(dāng)直線的斜率存在，設(shè)直線為，代入可得，即，由得，化簡得，則，滿足，綜上可知，.（）當(dāng)直線的斜率不存在時，由（）知當(dāng)直線的斜率存在時，由（）知，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，綜上可知的最大值為.（）假設(shè)橢圓上存在三點，使得，由（）知，.解得,，因此只能從中選取，只能從中選取，因此只能從中選取三個不同點，而這三點的兩兩連線必有一個過原點，這與相矛盾，故橢圓上不存在三點，使得.9.（2011·山東高考文科·22）（本小題滿分14分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓.如圖所示，斜率為且不過原點的直線交橢圓于，兩點，線段的中點為，射線交橢圓于點，交直線于點.（）求的最小值；（）若，（i）求證：直線過定點；（ii）試問點，能否關(guān)于軸對稱？若能，求出此時的外接圓方程；若不能，請說明理由.【思路點撥】本題重點考察學(xué)生的計算能力，相比較去年的圓錐曲線題目，今年的題目難度要大一些，是一道較好的選拔優(yōu)秀學(xué)生的題目.（I）設(shè)直線，聯(lián)立方程，在由韋達(dá)定理得出中點E的坐標(biāo)，由3點共線，可知解得，由基本不等式得出最小值.（II）（i）注意先求出k和n的關(guān)系，再由交點直線系方程得出l過定點. （ii）可先假設(shè)對稱，然后通過運算驗證這樣的圓是否存在.【精講精析】（）由題意:設(shè)直線,由消y得:,設(shè)A、B,AB的中點E,則由韋達(dá)定理得: =,即,所以中點E的坐標(biāo)為,因為O、E、D三點在同一直線上，所以，即，解得，所以=,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,即的最小值為2.（）（i）證明:由題意知:n>0,因為直線OD的方程為,所以由得交點G的縱坐標(biāo)為,又因為,且，所以,又由（）知: ,所以解得,所以直線的方程為,即有,令得,y=0,與實數(shù)k無關(guān),所以直線過定點(-1,0).（ii）假設(shè)點，關(guān)于軸對稱,則有的外接圓的圓心在x軸上,又在線段AB的中垂線上,由（i）知點G,所以點B,又因為直線過定點(-1,0),所以直線的斜率為，又因為，所以解得或，又因為,所以舍去,即，此時k=1，m=1，E（），.AB的中垂線為2x+2y+1=0，圓心坐標(biāo)為，圓半徑為，圓的方程為.綜上所述, 點，關(guān)于軸對稱,此時的外接圓的方程為: .10.（2011·遼寧高考理科·20）（本小題滿分12分）如圖，已知橢圓C1的中心在原點O，長軸左、右端點M，N在x軸上，橢圓C2的短軸為MN，且C1，C2的離心率都為e，直線MN，l與C1交于兩點，與C2交于兩點，這四點按縱坐標(biāo)從大到小依次為A，B，C，D（I）設(shè)，求與的比值；（II）當(dāng)e變化時，是否存在直線l，使得BOAN，并說明理由【思路點撥】（I）先利用離心率相同設(shè)出的方程和直線的方程，再求出的坐標(biāo)，然后計算與的長度就可求出比值；（II）先考慮直線過原點的情況，再考慮直線不過原點的情況，此時利用斜率相等（即）建立等式關(guān)系，再考慮的因素，可得到關(guān)于的不等式，求解說明即可【精講精析】()因為的離心率相同，故依題意可設(shè) ：，：，（， 設(shè)直線：，分別與，的方程聯(lián)立，求得 4分當(dāng)時，分別用表示A，B的縱坐標(biāo)，可知 :=. 6分 （）時的不符合題意時，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)男甭逝c的斜率相等，即，解得 ，因為，又，所以，解得，所以當(dāng)時，不存在直線，使得；當(dāng)時，存在直線，使得. 12分11（2011·湖南高考理科·T21）（13分）如圖7，橢圓x軸被曲線：-b截得的線段長等于的長半軸長.（）求的方程；（）設(shè)與y軸的交點為M，過坐標(biāo)原點O的直線l與相交于點A，B，直線MA，MB分別與相交于點D，E.（i）證明：MD；（ii）記的面積分別為.問：是否存在直線l，使得？請說明理由.【思路點撥】本題以橢圓和拋物線為載體，考查兩曲線的基本知識.題中通過求曲線的方程考查兩曲線的基本知識點的關(guān)系.第二問通過證明的考查考查邏輯思維能力和探索參數(shù)的存在考查方程.解決本題需要較強(qiáng)的綜合運用知識的能力.考查了數(shù)形結(jié)合思想、等價轉(zhuǎn)化思想和方程思想.【精講精析】（I）由題意知，從而，又，解得。故，的方程分別為。（II）（i）由題意知，直線的斜率存在，設(shè)為，則直線的方程為.由得，設(shè)，則是上述方程的兩個實根，于是。又點的坐標(biāo)為，所以故，即。（ii）設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為，由解得或，則點的坐標(biāo)為又直線的斜率為 ，同理可得點B的坐標(biāo)為.于是由得，解得或，則點的坐標(biāo)為；又直線的斜率為，同理可得點的坐標(biāo)于是因此由題意知，解得 或。又由點的坐標(biāo)可知，所以故滿足條件的直線存在，且有兩條，其方程分別為和。12（2011·湖南高考文科T21）（本小題滿分13分）已知平面內(nèi)一動點P到點F(1,0)的距離與點P到y(tǒng)軸的距離的差等于1.（）求動點P的軌跡C的方程；（）過點F作兩條斜率存在且互相垂直的直線，設(shè)與軌跡C相交于點A，B，與軌跡C相交于點D，E，求的最小值.【思路點撥】本題考查求曲線的方程，考查利用代數(shù)方法研究幾何問題的基本方法，考查數(shù)形結(jié)合思想.考查運算能力，考查分析問題、解決問題的能力.【精講精析】（I）設(shè)動點的坐標(biāo)為，由題意為化簡得當(dāng)、所以動點P的軌跡C的方程為（II）由題意知，直線的斜率存在且不為0，設(shè)為，則的方程為由，得設(shè)則是上述方程的兩個實根，于是 因為，所以的斜率為設(shè)則同理可得故當(dāng)且僅當(dāng)即時，取最小值1613（2011·陜西高考理科·T17）（本小題滿分12分）如圖，設(shè)P是圓上的動點，點D是P在軸上投影，M為PD上一點，且（）當(dāng)P在圓上運動時，求點M的軌跡C的方程；（）求過點（3，0）且斜率為的直線被C所截線段的長度【思路點撥】（1）動點M通過點P與已知圓相聯(lián)系，所以把點P的坐標(biāo)用點M的坐標(biāo)表示，然后代入已知圓的方程即可；（2）直線方程和橢圓方程組成方程組，可以求解，也可以利用根與系數(shù)關(guān)系；結(jié)合兩點的距離公式計算【精講精析】（）設(shè)點M的坐標(biāo)是，P的坐標(biāo)是，因為點D是P在軸上投影，M為PD上一點，且，所以，且，P在圓上，整理得，即C的方程是（）過點（3，0）且斜率為的直線方程是，設(shè)此直線與C的交點為，將直線方程代入C的方程得：，化簡得，所以線段AB的長度是，即所截線段的長度是