2013高考數(shù)學(xué) 秒殺必備 數(shù)列通項(xiàng)公式的若干求法及轉(zhuǎn)化思想論文

數(shù)列通項(xiàng)公式的若干求法及轉(zhuǎn)化思想求通項(xiàng)公式是學(xué)習(xí)數(shù)列時(shí)的一個(gè)難點(diǎn)。由于求通項(xiàng)公式時(shí)滲透多種數(shù)學(xué)思想方法，因此求解過程中往往顯得方法多、靈活度大、技巧性強(qiáng)?，F(xiàn)舉數(shù)例。一 觀察法已知數(shù)列前若干項(xiàng)，求該數(shù)列的通項(xiàng)時(shí)，一般對(duì)所給的項(xiàng)觀察分析，尋找規(guī)律，從而根據(jù)規(guī)律寫出此數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)。例1 ：已知數(shù)列 寫出此數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式。例2：根據(jù)數(shù)列的前4項(xiàng)，寫出它的一個(gè)通項(xiàng)公式：（1）4，44，444，4444，（2）（3）（4）二 公式法（1）當(dāng)已知數(shù)列為等差或等比數(shù)列時(shí)，可直接利用等差或等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，只需求得首項(xiàng)及公差公比。例1： 已知數(shù)列an是公差為d的等差數(shù)列，數(shù)列bn是公比為q的(qR且q1)的等比數(shù)列，若函數(shù)f (x) = (x1)2，且a1 = f (d1)，a3 = f (d+1)，b1 = f (q+1)，b3 = f (q1)，求數(shù)列 a n 和 b n 的通項(xiàng)公式；（2）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和求通項(xiàng)時(shí)，通常用公式。用此公式時(shí)要注意結(jié)論有兩種可能，一種是“一分為二”，即分段式；另一種是“合二為一”即a1和an合為一個(gè)表達(dá)式。例1、已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為： 求數(shù)列的通項(xiàng)公式。三 由遞推式求數(shù)列通項(xiàng)對(duì)于遞推公式確定的數(shù)列的求解，通?？梢酝ㄟ^遞推公式的變換，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列問題，有時(shí)也用到一些特殊的轉(zhuǎn)化方法與特殊數(shù)列。稱輔助數(shù)列法。例題：已知數(shù)列中，寫出數(shù)列的前5項(xiàng)。（課本習(xí)題）。變式1：已知數(shù)列中，。求變式2：已知數(shù)列中，。求變式3：已知數(shù)列中，。求變式4：已知數(shù)列中，。求變式5：已知數(shù)列中，。求變式3：已知數(shù)列中，。求變式6：已知數(shù)列中，。求變式7：已知數(shù)列中，。求變式8：已知數(shù)列中，。求類型：（一階遞歸）由等差，等比演化而來的“差型”，“商型”遞推關(guān)系等差數(shù)列：由此推廣成差型遞推關(guān)系：累加：= ，于是只要可以求和就行。類型1 遞推公式為解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，（特殊情形：.（差后等差數(shù)列） （差后等比數(shù)列）利用累加法求解。例1已知滿足，且，求例2已知滿足，且，求例3已知滿足，且，求例4. 已知數(shù)列滿足，求。等比數(shù)列：由此推廣成商型遞推關(guān)系：累乘：類型2遞推公式為解法：（1）把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，利用累乘法求解。例1已知滿足，且，求例2已知滿足，且，求例4（1）. 已知數(shù)列滿足，求。例題1。已知數(shù)列滿足：求證： 是偶數(shù) （由和確定的遞推數(shù)列的通項(xiàng)可如下求得：（2）由已知遞推式有依次向前代入，得 ，簡(jiǎn)記為。這就是疊代法的基本模式。例3已知，求。解： 。1、已知數(shù)列an滿足，求an的通項(xiàng)公式類型3 遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)，）。解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為：其中，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解。例1. 已知數(shù)列中，求。類型4 遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)，）。解法：該類型較類型3要復(fù)雜一些。一般地，要先在原遞推公式兩邊同除以，得：引入輔助數(shù)列（其中），得：再應(yīng)用類型3的方法解決。例1. 已知數(shù)列中，求。例2. 已知數(shù)列中，求。類型5。型的利用轉(zhuǎn)化為型，或型即混合型的轉(zhuǎn)化為純粹型的例題1 已知數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn滿足 ()寫出數(shù)列的前3項(xiàng)()求數(shù)列的通項(xiàng)公式;分析：-由得-由得，得-由得，得-用代得 -：即- -例題2。數(shù)列的前n項(xiàng)和記為Sn，已知證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（全國卷（二）理科19題）方法1 整理得 所以 故是以2為公比 的等比數(shù)列.方法2：事實(shí)上，我們也可以轉(zhuǎn)化為，為一個(gè)商型的遞推關(guān)系，由=1是正數(shù)組成的數(shù)列，前n項(xiàng)和為，對(duì)所有的n，與2的等差中項(xiàng)等于與2的等比中項(xiàng)（1）寫出的前三項(xiàng)；（2）求的通項(xiàng)。 2在數(shù)列中，已知，求3已知數(shù)列an的前n和滿足求此數(shù)列的通項(xiàng)公式。4 已知數(shù)列前n項(xiàng)和。（1）求與的關(guān)系；（2）求通項(xiàng)公式。5（北京卷)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，且，求： （）的值及數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）的值. （ ） 由遞推數(shù)列公式求數(shù)列通項(xiàng)公式的解題方法是數(shù)學(xué)中針對(duì)性較強(qiáng)的一種數(shù)學(xué)解題方法，它從一個(gè)側(cè)面體現(xiàn)數(shù)學(xué)的研究方法，體現(xiàn)了新課程標(biāo)準(zhǔn)理念，是培養(yǎng)學(xué)生思維深刻性的極好的范例。注意一題多解；例1：已知數(shù)列滿足，（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； 解法1：（構(gòu)造法），是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，即解法2：（構(gòu)造法） 、兩式相減得是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，即解法3：（階差法）由， 可得：以上n式相加得即解法五：（迭代法）由， 可得：即總之，以上方法融會(huì)貫通可以解決關(guān)于遞推數(shù)列公式求數(shù)列通項(xiàng)公式變形問題，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力，把握數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法。同式題：.已知數(shù)列，則 當(dāng)然，還有一些轉(zhuǎn)化的方法和技巧，如基本的式的變換，象因式分解，取倒數(shù)、對(duì)數(shù)等還是要求掌握的。四、轉(zhuǎn)化為常見類型求解：（1）倒數(shù)變換法：形如 （為常數(shù)，且）的遞推公式，可令。則可轉(zhuǎn)化為型；例1：數(shù)列中，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）對(duì)數(shù)變換法：例：已知數(shù)列滿足，求。當(dāng)然，轉(zhuǎn)化方法不是一成不變的，但其本質(zhì)是構(gòu)造、轉(zhuǎn)化為上述常見形式數(shù)列問題求解。如比例變換；例1、設(shè)數(shù)列滿足下列條件，求。（可化為，再取對(duì)數(shù)）例2、設(shè)數(shù)列滿足下列條件，試求各通項(xiàng)：（1）（2）（3）解：（1）令則，本題用除遞推式兩邊，再進(jìn)行變量代換，就可轉(zhuǎn)化為“型”，可得（2）遞推式兩邊同除以，得，就可轉(zhuǎn)化為“型”，當(dāng)然，也可以在遞推式兩邊同除以，得，則可轉(zhuǎn)化為“型”，所以得（3）遞推式兩邊同取對(duì)數(shù)，得令，則，已轉(zhuǎn)化為“型”，由累乘相消法可得一般掌握下列轉(zhuǎn)化思想即可；尤其對(duì)分式型遞推關(guān)系。1、利用倒數(shù)轉(zhuǎn)化為：（1）；（2）2、求前若干項(xiàng)觀察項(xiàng)間周期性等練習(xí)：1、已知 求：2、已知a1=1, an+1= ，求an 3、已知數(shù)列an滿足：a10，且，則（ A ）A 0；B ；C ；D 變式：（1）、已知數(shù)列an滿足：a10，且，Sn表示數(shù)列an的n前項(xiàng)和則（2）、已知滿足，則數(shù)列前26項(xiàng)的和為：（B ）A0B1C8D10（3）、已知數(shù)列an滿足：a13，且，An表示數(shù)列an的n前項(xiàng)和則33、（2006年江西卷）已知數(shù)列an滿足：a1，且an（1） 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；解：將條件變?yōu)椋?，因此1為一個(gè)等比數(shù)列，其首項(xiàng)為1，公比，從而1，據(jù)此得an（n³1）1°練習(xí)：設(shè)數(shù)列滿足下列條件，試求各通項(xiàng)：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）類型：=p+q (p、q均為常數(shù))（二階遞歸）=p+q -（-）解出、因此-是G.P特殊地 型分析： 是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列例1、， ，求 例2：a1=1，a2= =-,求數(shù)列的通項(xiàng)公式。-（-）解得：1、-（-）， a2-a1= -= （-）+（-）+（a2-a1）+a1=+1=3-.3-同式題：已知a1=1, a2=3，an+2=3an+1-2 an ， 求an雙數(shù)列型解法：根據(jù)所給兩個(gè)數(shù)列遞推公式的關(guān)系，靈活采用累加、累乘、化歸等方法求解。例7. 已知數(shù)列中，；數(shù)列中，。當(dāng)時(shí)，求。解：因所以即又因?yàn)樗约从?lt;1>、<2>得：例9數(shù)列中，且滿足求數(shù)列的通項(xiàng)公式；設(shè)，求；設(shè)=，是否存在最大的整數(shù)，使得對(duì)任意，均有成立？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由。3、已知數(shù)列中，是其前項(xiàng)和，并且，設(shè)數(shù)列，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；設(shè)數(shù)列，求證：數(shù)列是等差數(shù)列；求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和。分析：由于b和c中的項(xiàng)都和a中的項(xiàng)有關(guān)，a中又有S=4a+2，可由S-S作切入點(diǎn)探索解題的途徑解：(1)由S=4a，S=4a+2，兩式相減，得S-S=4(a-a)，即a=4a-4a(根據(jù)b的構(gòu)造，如何把該式表示成b與b的關(guān)系是證明的關(guān)鍵，注意加強(qiáng)恒等變形能力的訓(xùn)練)a-2a=2(a-2a)，又b=a-2a，所以b=2b 已知S=4a+2，a=1，a+a=4a+2，解得a=5，b=a-2a=3 由和得，數(shù)列b是首項(xiàng)為3，公比為2的等比數(shù)列，故b=3·2（2006年江蘇卷）設(shè)數(shù)列、滿足：，（n=1,2,3,），證明：為等差數(shù)列的充分必要條件是為等差數(shù)列且（n=1,2,3,）證明：必要性：設(shè)數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，則：=-=0，（n=1,2,3,）成立；又=6（常數(shù)）（n=1,2,3,）數(shù)列為等差數(shù)列。充分性：設(shè)數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，且（n=1,2,3,）， 得：= 從而有得：，由得：（n=1,2,3,），由此，不妨設(shè)（n=1,2,3,），則（常數(shù)）故從而得：，故（常數(shù)）（n=1,2,3,），數(shù)列為等差數(shù)列。綜上所述：為等差數(shù)列的充分必要條件是為等差數(shù)列且（n=1,2,3,）。又稱派生數(shù)列【高考熱點(diǎn)】1. 所謂派生數(shù)列，是指利用一個(gè)或幾個(gè)已知數(shù)列產(chǎn)生新數(shù)列。例如，從一個(gè)數(shù)列中按一定的規(guī)律抽取一部分項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列（子數(shù)列）；又如數(shù)列的前n項(xiàng)的和數(shù)列、或由構(gòu)成新的數(shù)列、或由兩個(gè)數(shù)列、構(gòu)成新的數(shù)列等等。2. 派生數(shù)列是綜合性的問題，一般可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列，或用數(shù)列中的常用思想方法求解。【課前預(yù)習(xí)】 1 若數(shù)列是等差數(shù)列，則有數(shù)列也為等差數(shù)列，類比上述性質(zhì)，相應(yīng)的，若數(shù)列是等比數(shù)列，且，則有_ 也是等比數(shù)列。2 在等差數(shù)列中，公差，則（ B ）A40 B45 C50 D553 在數(shù)列an中，a1=2，則a5等于 （ C ）A12 B14 C20 D224 有限數(shù)列，為其前項(xiàng)和，若定義為的“凱森和”如有99項(xiàng)的數(shù)列的“凱森和”為1000，則有100項(xiàng)的數(shù)列的“凱森和”為 （B ）A1001 B991 C999 D9905 已知公差不為零的等差數(shù)列的第、項(xiàng)依次構(gòu)成等比數(shù)列的連續(xù)三項(xiàng)，則此等比數(shù)列的公比q是 （ ）A B C D6（04北京）定義“等和數(shù)列”：在一個(gè)數(shù)列中，如果每一項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的和都為同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做該數(shù)列的公和。已知數(shù)列是等和數(shù)列，且，公和為5，那么的值為_3_，這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和的計(jì)算公式為_ .【典型例題】例1 （1）已知數(shù)列，其中，且數(shù)列為等比數(shù)列，求常數(shù)（2）設(shè)，是公比不相等的兩個(gè)等比數(shù)列，證明數(shù)列不是等比數(shù)列例2 Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和.(nN*)（1） 若數(shù)列an單調(diào)遞增，且a2是a1、a5的等比中項(xiàng)，證明：（2） 設(shè)an的首項(xiàng)為a1，公差為d，且，問是否存在正常數(shù)c，使對(duì)任意自然數(shù)n都成立，若存在，求出c（用d表示）；若不存在，說明理由.（）【本課小結(jié)】【課后作業(yè)】1 已知數(shù)列a是首項(xiàng)a10，q-1且q0的等比數(shù)列，設(shè)數(shù)列b的通項(xiàng)b=aka （nN），數(shù)列a、b的前n項(xiàng)和分別為S、T如果TkS對(duì)一切自然數(shù)n都成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍2 已知拋物線，過原點(diǎn)作斜率1的直線交拋物線于第一象限內(nèi)一點(diǎn)，又過點(diǎn)作斜率為的直線交拋物線于點(diǎn)，再過作斜率為的直線交拋物線于點(diǎn)，如此繼續(xù)，一般地，過點(diǎn)作斜率為的直線交拋物線于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)（1） 令，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，試比較與的大小數(shù)列的通項(xiàng)及遞推關(guān)系一、基礎(chǔ)題：1. 數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為2. 數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)為3. 數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)為_.4. 的一個(gè)通項(xiàng)為_.5. 數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)為_.6. 已知數(shù)列滿足：，則7. 已知數(shù)列中，且，則8. 已知數(shù)列中，則二、解答題：1. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，求通項(xiàng)公式.2. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，根據(jù)下列條件，求.；.3. 已知數(shù)列滿足：，求數(shù)列的通項(xiàng).4. 在數(shù)列中，已知，且，求的通項(xiàng)公式.5. 已知數(shù)列中，是它們的前項(xiàng)和，并且，設(shè)，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；設(shè)，求證：是等差數(shù)列；求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式.