2013屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題六 第2講 概率、隨機(jī)變量及其分布列教案

第2講概率、隨機(jī)變量及其分布列自主學(xué)習(xí)導(dǎo)引真題感悟1(2012·北京)設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域為D，在區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)取一個點，則此點到坐標(biāo)原點的距離大于2的概率是A.B.C.D.解析如圖，平面區(qū)域D是面積為4的正方形，D內(nèi)到坐標(biāo)原點的距離大于2的點所組成的區(qū)域為圖中陰影部分，其面積為4，故此點到坐標(biāo)原點的距離大于2的概率為，故選D.答案D2(2012·山東)現(xiàn)有甲、乙兩個靶，某射手向甲靶射擊一次，命中的概率為，命中得1分，沒有命中得0分；向乙靶射擊兩次，每次命中的概率為，每命中一次得2分，沒有命中得0分該射手每次射擊的結(jié)果相互獨立假設(shè)該射手完成以上三次射擊(1)求該射手恰好命中一次的概率；(2)求該射手的總得分X的分布列及數(shù)學(xué)期望EX.解析(1)記：“該射手恰好命中一次”為事件A，“該射手射擊甲靶命中”為事件B，“該射手第一次射擊乙靶命中”為事件C，“該射手第二次射擊乙靶命中”為事件D.由題意知P(B)，P(C)P(D)，由于ABCD，根據(jù)事件的獨立性和互斥性得P(A)P(BCD)P(B)P(C)P(D)P(B)P()P()P()P(C)P()P()P()P(D)×××××.(2)根據(jù)題意知X的所有可能取值為0,1,2,3,4,5.根據(jù)事件的獨立性和互斥性得P(X0)P()1P(B)1P(C)1P(D)××.P(X1)P(B)P(B)P()P()××，P(X2)P(CD)P(C)P(D)××××，P(X3)P(BCBD)P(BC)P(BD)××××，P(X4)P(CD)××，P(X5)P(BCD)××.故X的分布列為X012345P所以EX0×1×2×3×4×5×.考題分析本部分內(nèi)容的基礎(chǔ)是概率，高考試題中無論是以古典概型為背景的分布列，還是以獨立重復(fù)試驗為背景的分布列，都要求計算概率解此類問題的一個難點是正確的理解題意，需特別注意網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建高頻考點突破考點一：古典概型與幾何概型【例1】(1)(2012·衡水模擬)盒子中裝有形狀、大小完全相同的3個紅球和2個白球，從中隨機(jī)取出一個記下顏色后放回，當(dāng)紅球取到2次時停止取球那么取球次數(shù)恰為3次的概率是A.B.C.D.(2)(2012·海淀二模)在面積為1的正方形ABCD內(nèi)部隨機(jī)取一點P，則PAB的面積大于等于的概率是_審題導(dǎo)引(1)解題的關(guān)鍵是理解題意，應(yīng)用計數(shù)原理與排列組合公式計算基本事件的個數(shù)；(2)首先找到使PAB的面積等于的點P，然后據(jù)題意計算規(guī)范解答(1)設(shè)事件“取球次數(shù)恰為3次”為事件A，則P(A).2)如圖所示，設(shè)E、F分別是AD、BC的中點，則當(dāng)點P在線段EF上時，SPAB，要使SPAB，需點P位于矩形EFCD內(nèi)，故所求的概率為：P(A).答案(1)B(2)【規(guī)律總結(jié)】解答幾何概型、古典概型問題時的注意事項(1)有關(guān)古典概型的概率問題，關(guān)鍵是正確求出基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件數(shù)，這常用到計數(shù)原理與排列、組合的相關(guān)知識(2)在求基本事件的個數(shù)時，要準(zhǔn)確理解基本事件的構(gòu)成，這樣才能保證所求事件所包含的基本事件數(shù)的求法與基本事件總數(shù)的求法的一致性(3)當(dāng)構(gòu)成試驗的結(jié)果的區(qū)域為長度、面積、體積、弧長、夾角等時，應(yīng)考慮使用幾何概型求解(4)利用幾何概型求概率時，關(guān)鍵是構(gòu)成試驗的全部結(jié)果的區(qū)域和事件發(fā)生的區(qū)域的尋找，有時需要設(shè)出變量，在坐標(biāo)系中表示所需要的區(qū)域【變式訓(xùn)練】1(1)(2012·石景山一模)如圖，圓O：x2y22內(nèi)的正弦曲線ysin x與x軸圍成的區(qū)域記為M(圖中陰影部分)，隨機(jī)往圓O內(nèi)投一個點A，則點A落在區(qū)域M內(nèi)的概率是_解析陰影部分的面積為S陰2sin xdx2cos x4，故P答案2(2012·廣州模擬)從3名男生和n名女生中，任選3人參加比賽，已知3人中至少有1名女生的概率為，則n_.解析據(jù)題意知，所選3人中都是男生的概率為，至少有1名女生的概率為1，n4.答案4考點二：相互獨立事件的概率與條件概率【例2】(1)甲射擊命中目標(biāo)的概率為，乙射擊命中目標(biāo)的概率為，當(dāng)兩人同時射擊同一目標(biāo)時，該目標(biāo)被擊中的概率為A. B1 C. D.(2)從1,2,3,4,5中任取2個不同的數(shù)，事件A“取到的2個數(shù)之和為偶數(shù)”，事件B“取到的2個數(shù)均為偶數(shù)”，則P(B|A)A. B. C. D.審題導(dǎo)引(1)把事件“目標(biāo)被擊中”分解為三個互斥事件求解；(2)據(jù)古典概型的概率分別求出P(A)與P(AB)，然后利用公式求P(B|A)規(guī)范解答(1)解法一設(shè)甲、乙射擊命中目標(biāo)分別記作事件A、B，則P(A)，P(B)，則該目標(biāo)被擊中的概率為P(A)P(B)P(AB)×××.解法二若采用間接法，則目標(biāo)未被擊中的概率為P( )×，則目標(biāo)被擊中的概率為1P( )1.(2)P(A)，P(AB).由條件概率計算公式，得P(B|A).【規(guī)律總結(jié)】(1)求復(fù)雜事件的概率，要正確分析復(fù)雜事件的構(gòu)成，看復(fù)雜事件能轉(zhuǎn)化為幾個彼此互斥的事件的和事件還是能轉(zhuǎn)化為幾個相互獨立事件同時發(fā)生的積事件，然后用概率公式求解(2)一個復(fù)雜事件若正面情況比較多，反面情況較少，則一般利用對立事件進(jìn)行求解對于“至少”“至多”等問題往往用這種方法求解(3)注意辨別獨立重復(fù)試驗的基本特征：在每次試驗中，試驗結(jié)果只有發(fā)生與不發(fā)生兩種情況；在每次試驗中，事件發(fā)生的概率相同(4)牢記公式Pn(k)Cpk(1p)nk，k0,1,2，n，并深刻理解其含義2解答條件概率問題時應(yīng)注意的問題(1)正確理解事件之間的關(guān)系是解答此類題目的關(guān)鍵(2)在求P(AB)時，要判斷事件A與事件B之間的關(guān)系，以便采用不同的方法求P(AB)其中，若BA，則P(AB)P(B)，從而P(B|A).【變式訓(xùn)練】3(2012·宜賓模擬)設(shè)某氣象站天氣預(yù)報準(zhǔn)確率為0.9，則在4次預(yù)報中恰有3次預(yù)報準(zhǔn)確的概率是A0.287 6 B0.072 9C0.312 4 D0.291 6解析據(jù)題意知在4次預(yù)報中恰有3次預(yù)報準(zhǔn)確的概率為C·0.93·0.10.291 6.答案D4(2012·棗莊模擬)如圖，CDEF是以圓O為圓心，半徑為1的圓的內(nèi)接正方形，將一顆豆子隨機(jī)地扔到該圓內(nèi)，用A表示事件“豆子落在扇形OCFH內(nèi)”(點H將劣弧二等分)，B表示事件“豆子落在正方形CDEF內(nèi)”，則P(B|A)A. B.C. D.解析圓的半徑為1，則正方形的邊長為，P(A)，P(AB)，則P(B|A).答案B考點三：離散型隨機(jī)變量的分布列、期望、方差【例3】(2012·合肥模擬)某公司設(shè)有自行車租車點，租車的收費標(biāo)準(zhǔn)是每小時2元(不足1小時的部分按1小時計算)甲、乙兩人各租一輛自行車，若甲、乙不超過一小時還車的概率分別為、；一小時以上且不超過兩小時還車的概率分別為、；兩人租車時間都不會超過三小時(1)求甲、乙兩人所付租車費用相同的概率；(2)設(shè)甲、乙兩人所付的租車費用之和為隨機(jī)變量，求的分布列與數(shù)學(xué)期望E.審題導(dǎo)引(1)把事件“甲、乙兩人所付租車費用相同”分解為三個互斥事件：租車費用為2元、租車費用為4元、租車費用為6元，分別求其概率，然后求和；(2)甲、乙兩人所付的租車費用之和可能為4元、6元、8元、10元、12元，分別求出取上述各值的概率即可得到其概率分布列規(guī)范解答(1)甲、乙兩人所付費用相同即為2,4,6元都付2元的概率為P1×；都付4元的概率為P2×；都付6元的概率為P3×；故所付費用相同的概率為PP1P2P3.(2)依題意，的可能取值為4,6,8,10,12.P(4)；P(6)××；P(8)×××；P(10)××；P(12)×.故的分布列為4681012P所求數(shù)學(xué)期望E4×6×8×10×12×【規(guī)律總結(jié)】解答離散型隨機(jī)變量的分布列及相關(guān)問題的一般思路(1)明確隨機(jī)變量可能取哪些值(2)結(jié)合事件特點選取恰當(dāng)?shù)挠嬎惴椒ㄓ嬎氵@些可能取值的概率值(3)根據(jù)分布列和期望、方差公式求解注意解題中要善于透過問題的實際背景發(fā)現(xiàn)其中的數(shù)學(xué)規(guī)律，以便使用我們掌握的離散型隨機(jī)變量及其分布列的知識來解決實際問題【變式訓(xùn)練】5(2012·西城二模)甲、乙兩人參加某種選拔測試在備選的10道題中，甲答對其中每道題的概率都是，乙能答對其中的5道題規(guī)定每次考試都從備選的10道題中隨機(jī)抽出3道題進(jìn)行測試，答對一題加10分，答錯一題(不答視為答錯)減5分，至少得15分才能入選(1)求乙得分的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)求甲、乙兩人中至少有一人入選的概率解析(1)設(shè)乙答題所得分?jǐn)?shù)為X，則X的可能取值為15,0,15,30.P(X15)；P(X0)；P(X15)；P(X30).乙得分的分布列如下：X1501530PEX×(15)×0×15×30.(2)由已知甲、乙至少答對2題才能入選，記甲入選為事件A，乙入選為事件B.則P(A)C23，P(B).故甲乙兩人至少有一人入選的概率P1P(·)1×.名師押題高考【押題1】在不等式組所表示的平面區(qū)域內(nèi)，點(x，y)落在x1,2區(qū)域內(nèi)的概率是_解析如圖所示，不等式組所表示的平面區(qū)域的面積是，在這個區(qū)域中，x1,2區(qū)域的面積是1，故所求的概率是.答案押題依據(jù)幾何概型與線性規(guī)劃問題都是高考的熱點，二者結(jié)合命題，立意新穎、內(nèi)涵豐富，能夠很好地考查基礎(chǔ)知識與基本能力，故押此題【押題2】乒乓球單打比賽在甲、乙兩名運動員間進(jìn)行，比賽采用7局4勝制(即先勝4局者獲勝，比賽結(jié)束)，假設(shè)兩人在每一局比賽中獲勝的可能性相同(1)求甲以4比1獲勝的概率；(2)求乙獲勝且比賽局?jǐn)?shù)多于5局的概率；(3)求比賽局?jǐn)?shù)的分布列解析(1)由已知，甲、乙兩名運動員在每一局比賽中獲勝的概率都是.記“甲以4比1獲勝”為事件A，則P(A)C343.(2)記“乙獲勝且比賽局?jǐn)?shù)多于5局”為事件B.因為，乙以4比2獲勝的概率為P1C353，乙以4比3獲勝的概率為P2C363，所以P(B)P1P2.(3)設(shè)比賽的局?jǐn)?shù)為X，則X的可能取值為4,5,6,7.P(X4)2C4，P(X5)2C343，P(X6)2C352·，P(X7)2C363·.比賽局?jǐn)?shù)的分布列為：X4567P押題依據(jù)獨立重復(fù)試驗以相互獨立事件同時發(fā)生的概率的求解是高考的熱點，而且以比賽為模型的概率問題又是高考的經(jīng)典題型，故押此題