（江蘇專用）2013年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第八章第8課時(shí) 圓錐曲線的綜合應(yīng)用課時(shí)闖關(guān)（含解析）

（江蘇專用）2013年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第八章第8課時(shí) 圓錐曲線的綜合應(yīng)用 課時(shí)闖關(guān)（含解析）A級(jí)雙基鞏固1.橢圓M：1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，P為橢圓M上任一點(diǎn)，且|·|的最大值的取值范圍是2c2,3c2，其中c.求橢圓離心率的取值范圍解：|·|2a2，則2c2a23c2,2e213e2，e.橢圓M離心率的取值范圍是.2已知橢圓長(zhǎng)軸、短軸及焦距之和為8，求長(zhǎng)半軸長(zhǎng)的最小值解：法一：abc4，bc4a.又b2c2a2，b2c2a2，解得a4(1)法二：由a2b2c2，設(shè)bacos，casin，則a(cossin1)4，a4(1)此橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)的最小值為4(1)3.如圖所示，曲線G的方程為y22x(y0)以原點(diǎn)為圓心，以t(t>0)為半徑的圓分別與曲線G和y軸的正半軸相交于點(diǎn)A與點(diǎn)B.直線AB與x軸相交于點(diǎn)C.(1)求點(diǎn)A的橫坐標(biāo)a與點(diǎn)C的橫坐標(biāo)c的關(guān)系式；(2)設(shè)曲線G上點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為a2，求證：直線CD的斜率為定值解：(1)由題意知，A(a，)因?yàn)閨OA|t，所以a22at2.由于t>0，故有t，由點(diǎn)B(0，t)，C(c,0)的坐標(biāo)知，直線BC的方程為1.又因點(diǎn)A在直線BC上，故有1，將代入上式，得1解得ca2.(2)因?yàn)镈(a2，)，所以直線CD的斜率為kCD1.所以直線CD的斜率為定值4.如圖：A、B是定拋物線y22px(p>0是定值)的兩個(gè)定點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)且·0.求證直線AB必過(guò)定點(diǎn)，并求出這個(gè)定點(diǎn)解：顯然OA，OB必有斜率且斜率均不為零設(shè)OA的斜率為k，則OA：ykx.當(dāng)k±1時(shí)，由得A，同理B(2pk2，2pk)kAB.AB的方程為：y2pk(x2pk2)，整理得：yk2(2px)ky0.(*)令即則(*)對(duì)于一切實(shí)數(shù)k均成立，故直線AB過(guò)定點(diǎn)(2p,0)當(dāng)k±1時(shí)，ABx軸，其方程為x2p.它也經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2p,0)，故直線AB必過(guò)定點(diǎn)(2p,0)5在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓心在第二象限、半徑為2的圓C與直線yx相切于坐標(biāo)原點(diǎn)O.橢圓1與圓C的一個(gè)交點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和為10.(1)求圓C的方程；(2)試探究圓C上是否存在異于原點(diǎn)的點(diǎn)Q，使Q到橢圓右焦點(diǎn)F的距離等于線段OF的長(zhǎng)若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解：(1)設(shè)圓心坐標(biāo)為(m，n)(m<0，n>0)，則該圓的方程為(xm)2(yn)28已知該圓與直線yx相切，那么圓心到該直線的距離等于圓的半徑，則2，即|mn|4.又圓與直線切于原點(diǎn)，將點(diǎn)(0,0)代入得m2n28.聯(lián)立方程和組成方程組解得故圓的方程為(x2)2(y2)28.(2)|a|5，a225，則橢圓的方程為1，其焦距c4，右焦點(diǎn)為(4,0)，那么OF4.要探求是否存在異于原點(diǎn)的點(diǎn)Q，使得該點(diǎn)到右焦點(diǎn)F的距離等于|OF|的長(zhǎng)度4，我們可以轉(zhuǎn)化為探求以右焦點(diǎn)F為圓心，半徑為4的圓(x4)2y216與(1)所求的圓的交點(diǎn)數(shù)通過(guò)聯(lián)立兩圓的方程解得x，y，即存在異于原點(diǎn)的點(diǎn)Q，使得該點(diǎn)到右焦點(diǎn)F的距離等于OF的長(zhǎng)6已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的橢圓過(guò)M，N兩點(diǎn)(1)求橢圓的方程；(2)在橢圓上是否存在點(diǎn)P(x，y)，使P到定點(diǎn)A(a,0)(其中0<a<3)的距離的最小值為1？若存在，求出a的值及點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)給出證明解：(1)設(shè)橢圓方程為mx2ny21(m>0，n>0，且mn)，橢圓過(guò)M，N兩點(diǎn)，橢圓方程為1.(2)設(shè)存在點(diǎn)P(x，y)滿足題設(shè)條件，|AP|2(xa)2y2，又1，y24.|AP|2(xa)2424a2(|x|3)，若3，即0<a時(shí)，|AP|2的最小值為4a2，依題意，4a21a±；若a>3，即<a<3時(shí)，當(dāng)x3時(shí)，|AP|2的最小值為(3a)2，依題意(3a)21.a2，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)是(3,0)故當(dāng)a2時(shí)，存在這樣的點(diǎn)P滿足條件，P點(diǎn)的坐標(biāo)是(3,0)7(2012·鹽城質(zhì)檢)已知在ABC中，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為(2,0)和(2,0)，點(diǎn)C在x軸上方(1)若點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,3)，求以A、B為焦點(diǎn)且經(jīng)過(guò)點(diǎn)C的橢圓的方程；(2)若ACB45°，求ABC的外接圓的方程；(3)若在給定直線yxt上任取一點(diǎn)P，從點(diǎn)P向(2)中圓引一條切線，切點(diǎn)為Q，問(wèn)是否存在一個(gè)定點(diǎn)M，恒有PMPQ？請(qǐng)說(shuō)明理由解：(1)因?yàn)锳C5，BC3，所以橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)2aACBC8.又c2，所以b2，故所求橢圓的方程為1.(2)2R，2R4，R2.又圓心在AB的垂直平分線上，故可知圓心為(0，s)(s>0)，則由4s28.s2，故ABC的外接圓的方程為x2(y2)28.(3)假設(shè)存在這樣的點(diǎn)M(m，n)，設(shè)點(diǎn)P(x，xt)，因?yàn)楹阌蠵MPQ，所以(xm)2(xtn)2x2(xt2)28，即(2m2n4)x(m2n22nt4t4)0對(duì)xR恒成立從而消去m，得n2(t2)n(2t4)0(*)，因?yàn)榉匠?*)的判別式為t24t12，所以當(dāng)2<t<6時(shí)，因?yàn)榉匠?*)無(wú)實(shí)數(shù)解，所以不存在這樣的點(diǎn)M.當(dāng)t6或t2時(shí)，因?yàn)榉匠?*)有實(shí)數(shù)解，且此時(shí)直線yxt與圓相離或相切，故此時(shí)這樣的點(diǎn)M存在B級(jí)能力提升1在直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3，)，且與x軸交于點(diǎn)F(2,0)(1)求直線l的方程；(2)如果一個(gè)橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，且以點(diǎn)F為它的一個(gè)焦點(diǎn)，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(3)若在(1)、(2)情形下，設(shè)直線l與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為Q，且，當(dāng)|最小時(shí)，求對(duì)應(yīng)的值解：(1)P(3，)，F(xiàn)(2,0)，根據(jù)兩點(diǎn)式得，所求直線l的方程為，即y(x2)直線l的方程是y(x2)(2)設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a>b>0)，一個(gè)焦點(diǎn)F(2,0)，c2，即a2b24.點(diǎn)P(3，)在橢圓1(a>b>0)上，1.由解得a212，b28，所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(3)由題意得方程組解得或Q(0，2)，(3，3)(3，3)，(33，3)|，當(dāng)時(shí)，|最小2.如圖，已知O過(guò)定點(diǎn)A(0，p)(p>0)，圓心O在拋物線x22py上運(yùn)動(dòng)，MN為圓O在x軸上截得的弦，令A(yù)Md1，ANd2，MAN.(1)當(dāng)O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，MN是否有變化？請(qǐng)證明你的結(jié)論；(2)求的最大值及取得最大值時(shí)的的值解：設(shè)圓心O(x0，y0)，則圓O的方程為(xx0)2(yy0)2x(y0p)2.令y0，得x22x0xxp2，解得xMx0p，xNx0p.所以MNxNxM2p，即MN是定值(2)d(x0p)2p2，d(x0p)2p2，d1d2，所以2.當(dāng)且僅當(dāng)x2p2時(shí)，等式成立，即x0±p(y0p)時(shí)，取得最大值此時(shí)MON90°，所以45°.3一束光線從點(diǎn)F1(1,0)出發(fā)，經(jīng)直線l：2xy30上一點(diǎn)P反射后，恰好穿過(guò)點(diǎn)F2(1,0)(1)求P點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求以F1、F2為焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)P的橢圓C的方程；(3)由(2)，設(shè)點(diǎn)Q是橢圓C上除長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，試問(wèn)在x軸上是否存在兩定點(diǎn)A、B，使得直線QA、QB的斜率之積為定值？若存在，請(qǐng)求出定值，并求出所有滿足條件下的定點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解：(1)設(shè)F1關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)為F(m，n)，解得m，n，即F，故直線F2F的方程為x7y10.由解得P.(2)因?yàn)镻F1PF，根據(jù)橢圓定義，得2aPF1PF2PFPF2FF22，所以a.又c1，所以b1.所以橢圓C的方程為y21.(3)假設(shè)存在兩定點(diǎn)為A(s,0)，B(t,0)，使得對(duì)于橢圓上任意一點(diǎn)Q(x，y)(除長(zhǎng)軸兩端點(diǎn))都有kQA·kQBk(k為定值)，即·k，將y21代入并整理得x2k(st)xkst10(*)由題意，(*)式對(duì)任意x(，)恒成立，所以，解之得或.所以有且只有兩定點(diǎn)(，0)，(，0)，使得kQA·kQB為定值.4已知橢圓C：1(a>b>0)的離心率為，過(guò)右頂點(diǎn)A的直線l與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)，且B(1，3)(1)求橢圓C和直線l的方程；(2)記曲線C在直線l下方部分與線段AB所圍成的平面區(qū)域(含邊界)為D.若曲線x22mxy24ym240與D有公共點(diǎn)，試求實(shí)數(shù)m的最小值解：(1)由離心率e，得，即a23b2.又點(diǎn)B(1，3)在橢圓C：1上，即1.解得a212，b24.故所求橢圓方程為1.由A(2,0)，B(1，3)得直線l的方程為yx2.(2)曲線x22mxy24ym240，即圓(xm)2(y2)28，其圓心坐標(biāo)為G(m，2)，半徑r2，表示圓心在直線y2上，半徑為2的動(dòng)圓由于要求實(shí)數(shù)m的最小值，由圖可知，只需考慮m<0的情形設(shè)G與直線l相切于點(diǎn)T，則由2，得m±4，當(dāng)m4時(shí)，過(guò)點(diǎn)G(4，2)與直線l垂直的直線l的方程為xy60，解方程組得T(2，4)因?yàn)閰^(qū)域D內(nèi)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的最小值與最大值分別為1,2，所以切點(diǎn)TD.由圖可知當(dāng)G過(guò)點(diǎn)B時(shí)，m取得最小值，即(1m)2(32)28，解得mmin1.