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人教版八下數(shù)學(xué) 第18章 平行四邊形 微專題七 以正方形為背景的證明與計算

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人教版八下數(shù)學(xué) 第18章 平行四邊形 微專題七 以正方形為背景的證明與計算

人教版八下數(shù)學(xué) 第18章 平行四邊形 微專題七 以正方形為背景的證明與計算1. 如圖,四邊形 ABCD 是正方形,E 是邊 BC 的中點,AEF=90,且 EF 交正方形外角的平分線 CF 于點 F求證:AE=EF(提示:取 AB 的中點 G,連接 EG)2. 數(shù)學(xué)課上,李老師出示了問題:如圖,四邊形 ABCD 是正方形,點 E 是邊 BC 上的點,過點 E 作 EFAE,過點 F 作 FGBC 交 BC 的延長線于點 G(1) 求證:BAE=FEG;(2) 同學(xué)們很快做出了解答,之后李老師將題目修改成:如圖,四邊形 ABCD 是正方形,點 E 是邊 BC 上(除 B,C 外)的任意一點,AEF=90,且 EF 交正方形外角 DCG 的平分線于點 F,求證:AE=EF3. 已知正方形 ABCD 的對角線 AC,BD 相交于點 O如圖,E,G 分別是 OB,OC 上的點,CE 與 DG 的延長線相交于點 F若 DFCE,求證:OE=OG4. 如圖,在 RtABC 中,ACB=90,過點 C 的直線 mAB,D 為 AB 邊上一點,過點 D 作 DEBC,交直線 m 于點 E,垂足為點 F,連接 BE(1) 求證:CE=AD(2) 如圖,當(dāng)點 D 是 AB 中點時,連接 CD四邊形 BECD 是什么特殊四邊形?請說明理由;當(dāng) A= 時,四邊形 BECD 是正方形5. 在平面內(nèi),正方形 ABCD 與正方形 CEFH 按如圖放置,連接 DE,BH 交于點 M求證:(1) BH=DE(2) BHDE6. 如圖,在正方形 ABCD 的內(nèi)部,作 DAE=ABF=BCG=CDH,根據(jù)三角形全等的條件,易得 DAEABFBCGCDH,從而得到四邊形 EFGH 是正方形類比探究:如圖,在正三角形 ABC 的內(nèi)部,作 BAD=CBE=ACF,AD,BE,CF 兩兩相交于 D,E,F(xiàn) 三點(D,E,F(xiàn) 三點不重合)(1) ABD,BCE,CAF 是否全等?如果是,請選擇其中一對進(jìn)行證明;(2) DEF 是否為正三角形?請說明理由;(3) 進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn),ABD 的三邊存在一定的等量關(guān)系如圖,設(shè) BD=a,AD=b,AB=c,請?zhí)剿?a,b,c 滿足的等量關(guān)系7. 已知,正方形 ABCD 中,MAN=45,MAN 繞點 A 順時針旋轉(zhuǎn),它的兩邊分別交 CB,DC(或它們的延長線)于點 M,N,AHMN 于點 H(1) 如圖,當(dāng) MAN 繞點 A 旋轉(zhuǎn)到 BM=DN 時,請你直接寫出 AH 與 AB 的數(shù)量關(guān)系: ;(2) 如圖,當(dāng) MAN 繞點 A 旋轉(zhuǎn)到 BMDN 時,(1)中發(fā)現(xiàn)的 AH 與 AB 的數(shù)量關(guān)系還成立嗎?如果不成立請寫出理由;如果成立請證明;(3) 如圖,已知 MAN=45,AHMN 于點 H,且 MH=2,NH=3,求 AH 的長(可利用(2)得到的結(jié)論)答案1. 【答案】答圖略,取 AB 的中點 G,連接 EG AEF=90, CEF+AEB=90, 四邊形 ABCD 是正方形, GAE+AEB=90, GAE=CEF, E 是 BC 的中點,G 是 AB 的中點, BG=BE,AG=EC, BGE=45, CF 是 DCH 的平分線, FCH=45, AGE=ECF=135,在 AGE 和 ECF 中, GAE=CEF,AG=EC,AGE=ECF, AGEECFASA, AE=EF2. 【答案】(1) AEF=90, AEB+FEG=90,又 RtABE 中,BAE+AEB=90, BAE=FEG(2) 答圖略,在 AB 上取一點 M,使 AM=EC,連接 ME 正方形 ABCD 中,AB=BC, BM=BE, BME=45, AME=135, CF 是外角平分線, DCF=45, ECF=135, AME=ECF, AEB+BAE=90,AEB+CEF=90, BAE=CEF, 在 AME 和 ECF 中, MAE=CEF,AM=EC,AME=ECF, AMEECFASA, AE=EF3. 【答案】 四邊形 ABCD 是正方形, ACBD,OD=OC, DOG=COE=90, OEC+OCE=90, DFCE, OEC+ODG=90, OCE=ODG, DOGCOE, OE=OG4. 【答案】(1) 連接 CD,答圖略, mAB, ECAD, ACB=90, ACBC, DEBC, DEAC, 四邊形 DECA 是平行四邊形, CE=DA(2) 四邊形 BECD 是菱形理由: 由(1)知:四邊形 DECA 是平行四邊形, CE=DA,CEAD,在 RtABC 中, 點 D 是 AB 的中點, BD=DC=DA, CEBD,CE=BD, 四邊形 BECD 是平行四邊形,又 BD=DC, 四邊形 BECD 是菱形 45 【解析】(2) 當(dāng) A=45 時,由于四邊形 DECA 是平行四邊形, EDB=A=45,又 BE=BD, BED=EDB=45, EBD=90 四邊形 BECD 是菱形 四邊形 BECD 是正方形5. 【答案】(1) 四邊形 ABCD 和四邊形 CEFH 都是正方形, CB=CD,CE=CH,BCD=ECH=90, BCH=90+DCH,DCE=90+DCH, BCH=DCE, BCHDCESAS, BH=DE(2) 答圖略,BH 交 CD 于點 N, BCHDCE, CBH=CDE, CBH+BNC=90,BNC=DNM, CDE+DNM=90, CDE+DNM+DMN=180, DMN=90, BHDE6. 【答案】(1) 是證明: ABC 是正三角形, CAB=ABC=BCA=60,AB=BC ABD=ABC-2,BCE=ACB-3,而 2=3 ABD=BCE,又 1=2, ABDBCE(2) DEF 是正三角形理由: ABDBCECAF, ADB=BEC=CFA FDE=DEF=EFD, DEF 是正三角形(3) 答圖略,作 AGBD,交 BD 延長線于 G DEF 是正三角形, ADG=60, 在 RtADG 中,DG=12b,AG=32b,在 RtABG 中,c2=a+12b2+32b2, c2=a2+ab+b27. 【答案】(1) AH=AB (2) 數(shù)量關(guān)系成立、答圖略,延長 CB 至 E,使 BE=DN 四邊形 ABCD 是正方形, AB=AD,D=ABE=90在 RtAEB 和 RtAND 中,AB=AD,ABE=ADN,BE=DN, RtAEBRtAND, AE=AN,EAB=NAD, DAN+BAM=45, EAB+BAM=45, EAM=45, EAM=NAM=45在 AEM 和 ANM 中,AE=AN,EAM=NAM,AM=AM, AEMANM SAEM=SANM,EM=MN, AB,AH 是 AEM 和 ANM 對應(yīng)邊上的高, AB=AH;(3) 答圖略,分別沿 AM,AN 翻折 AMH 和 ANH,得到 AMB 和 AND, BM=2,DN=3,B=D=BAD=90分別延長 BM 和 DN 交于點 C,得正方形 ABCD,由(2)可知,AH=AB=BC=CD=AD設(shè) AH=x,則 MC=x-2,NC=x-3,在 RtMCN 中,由勾股定理,得 MN2=MC2+NC2, 52=x-22+x-32,解得 x1=6,x2=-1(不符合題意,舍去) AH=6

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