第二節(jié) 洛必達(dá)法則

1第二節(jié)第二節(jié) 洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則 在函數(shù)商的極限中，如果分子分母同是無窮小在函數(shù)商的極限中，如果分子分母同是無窮小量或同是無窮大量，那么極限可能存在，也可能不量或同是無窮大量，那么極限可能存在，也可能不存在，這種極限稱為存在，這種極限稱為未定式未定式，記為，記為洛必達(dá)法則是求函數(shù)極限的一種重要方法洛必達(dá)法則是求函數(shù)極限的一種重要方法.，00.及及2(1 1)0)(lim)(lim xgxfaxax；(2 2)(xf和和)(xg在在點(diǎn)點(diǎn)0 x的的某某去去心心鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)，且且0)(xg；則則 Axgxfax)()(lim(或或).(3 3)Axgxfax )()(lim(或或),00設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xf和和)(xg在在點(diǎn)點(diǎn)ax 的的 定理定理(洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則)(證略證略)某某去心鄰域內(nèi)有定義且可導(dǎo)去心鄰域內(nèi)有定義且可導(dǎo),且滿足下列條件：且滿足下列條件：00 和和型型未定式未定式一、一、3)()(lim)()(limxgxfxgxfaxax 1 1.ax 可可改改為為 x；2 2.)(lim)(limxgxfaxax時(shí)時(shí)洛洛必必達(dá)達(dá)法法則則仍仍成成立立；3 3.若若不不是是“00”或或“”未未定定式式,不不能能使使用用洛洛必必達(dá)達(dá)法法則則；4 4.當(dāng)當(dāng))()(limxgxf 不不存存在在時(shí)時(shí),且且不不是是 ,不不能能斷斷言言)()(limxgxf不不存存在在,說明說明：5.5.洛必達(dá)法則可多次使用。洛必達(dá)法則可多次使用。只能說此時(shí)使用洛必達(dá)法則失敗只能說此時(shí)使用洛必達(dá)法則失敗,需另想它法；需另想它法；)()(lim)()(limxgxfxgxfxx 4例例13245lim241 xxxxx12333lim221 xxxx266lim1 xxx.23)00(用用“洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則”求極限例求極限例題題練習(xí)練習(xí):123lim2331 xxxxxx2254lim31 xxx.41 比較比較:因式分解，因式分解，)3)(1()4)(1(lim231 xxxxxxx原原式式.41 5例例2xxx1)1(lim0 1)1(lim10 xx.)00(比較比較:xxxxx)1ln()1ln(1)1(lim0 原式原式,1)1(tx 令令,)1ln()1ln(tx 則則.0,0tx時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng).xxttxt)1ln(lim)1ln(lim00 )0(6練習(xí)練習(xí):2031)cos(sinlimxxx xxxx6cos)sin(sinlim0 .61 2031)cos(sinlimxxx 22032/sinlimxxx .61 或解或解等價(jià)無窮等價(jià)無窮小替換小替換7例例3xxx1sinarctan2lim 22111limxxx 221limxxx .1)00(xxx1arctan2lim 8例例4)00(xxxx10)1(elim ，xxy1)1(，xxy)1ln(ln 2)1ln(1xxxxyy )1()1ln()1()1(lim210 xxxxxxxx 2010)1ln()1(lim1)1(limxxxxxxxxx xxx2)1ln(lime0 .2e 及時(shí)分離非零因子及時(shí)分離非零因子 9例例5)(注注:0lnlim xxx,0 .xxxlnlim xxx211lim xx2lim .0 注注:xxxelim,0 .例例65elimxxx )(45elimxxx .!5elimxx 10例例6xxx3tantanlim2 xxx3sec3seclim222 xxx222cos3coslim31 xxxxxsincos23sin3cos6lim312 xxxxxxsin3sinlimcos3coslim22 .3)(或解或解：xxx3tantanlim2 xxxxxxcos3coslim3sinsinlim22 xxxsin3sin3lim2 .3 及時(shí)及時(shí)分離分離非零非零因子因子 xxxsin3sin3lim2 0011例例7解解.coslimxxxx 求求1sin1limxx 原式原式)sin1(limxx 洛必達(dá)法則失效。洛必達(dá)法則失效。)cos11(limxxx 原式原式.1.1lim2xxx 求求練習(xí)練習(xí)不能使用洛必達(dá)法則。不能使用洛必達(dá)法則。.111lim20 xx原式原式解解極限不存在極限不存在221lim1limxxxxxx xxx21lim 12二、其它類型的未定式二、其它類型的未定式,0 例例8)0(解法：轉(zhuǎn)解法：轉(zhuǎn)化為化為 或或 型不定式。型不定式。00 型型）0 1 步驟步驟:,10 .0100 或或xxxlnlim0 (0 )xxxlnlim010/1lim xxx xx 0lim1.0,00,1 0 13例例9)(0101 0000 型型）2步驟步驟:xxx1)1ln(1lim0)1ln()1ln(lim0 xxxxx 20)1ln(limxxxx xxx2111lim0 )1(21lim0 xx )00(.21 14步驟步驟:型型00,1,0)3 ln01ln0ln01000取對數(shù)取對數(shù).0 例例10)0(00e.1 xxxtan0lim xxxlntanlim0e xxx20sinlime xxxlntan0elim 對數(shù)恒等式對數(shù)恒等式xxlne xxxcotlnlim0e 15例例11xxx 111lim)1(xxxln111elim xxx 1lnlim1e11 lim1e xx.e1 或解或解(重要極限法重要極限法)：xxx 111lim xxx 111)1(1lim.e1 16例例12.)(cotlimln10 xxx)(0,ln)ln(cotln xxy 取取對對數(shù)數(shù)得得xxxln)ln(cotlim0 xxxx1csccot1lim20 xxxxsincoslim0 ,1 .e1 原式原式,)(cotln1xxy 令令解解17.)arctan2(lim xxx 求求.e2 所所以以原原極極限限例例13解解,)arctan2(xxy 設(shè)設(shè),)arctanln2ln(ln xxy 則則所以所以)arctanln2ln(limlnlimxxyxx xxx/1arctanln2lnlim 22111arctan1limxxxx xxxxarctan11lim22 ,2 18練習(xí)練習(xí))1(解解,)sin(21xxxy 記記200lnsinlnlimlnlimxxxyxx xxxxxxsin2sincoslim20 206cossincoslimxxxxxx ,61 .)sin(lim210 xxxx求求.e 61 原式原式xxxxx21sincoslim0 302sincoslimxxxxx 19求求 nnnnba)2(lim ,0(a,)0 b.解解,1xn 令令，原式原式xxxxba10)2(lim ，令令xxxbay1)2(，則則xbayxx2ln)ln(ln )1(2)ln(e ab 原式原式xxxxxbabbaa lnlnlim0 xbayxxxx2ln)ln(limlnlim00 )00(，2)ln(ab.ab 例例14 這是數(shù)列極限這是數(shù)列極限,不能直接使用洛必達(dá)法則不能直接使用洛必達(dá)法則,要先化為函數(shù)極限要先化為函數(shù)極限.20或解或解xxxxba10)2(lim 原式原式xxxxba10)2111(lim xbabaxxxxxxxba2111120)2111(lim xbaxxx211lim0e 2lnlneba .ab axaxln1)0(x求求 nnnnba)2(lim ,0(a,)0 b.例例1421小結(jié)小結(jié)洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則型型00,1,0 型型 型型 0型型00型型 gfgf1 fgfggf1111 取取對對數(shù)數(shù)令令gfy 223.3.若若 不存在時(shí)不存在時(shí),不能斷定原極限是否存在不能斷定原極限是否存在,此時(shí)法則失效此時(shí)法則失效,改用其它方法改用其它方法.洛必達(dá)法則并不能解洛必達(dá)法則并不能解決一切未定式的極限問題決一切未定式的極限問題.)()(limxgxfax 應(yīng)用洛必達(dá)法則應(yīng)注意的幾個問題應(yīng)用洛必達(dá)法則應(yīng)注意的幾個問題:1.1.應(yīng)用洛必達(dá)法則時(shí)要應(yīng)用洛必達(dá)法則時(shí)要分別求分子及分母的導(dǎo)數(shù)分別求分子及分母的導(dǎo)數(shù),切忌不要把函數(shù)切忌不要把函數(shù)當(dāng)做整個分式當(dāng)做整個分式來求導(dǎo)來求導(dǎo).2.2.洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則可以累次使用可以累次使用,但必須注意但必須注意,每次使每次使用前需確定它是否為用前需確定它是否為未定式未定式.4.4.使用洛必達(dá)法則時(shí)使用洛必達(dá)法則時(shí),要靈活結(jié)合其它方法要靈活結(jié)合其它方法,如等價(jià)如等價(jià)無窮小替換、湊重要極限、分離非零因子、恒等變無窮小替換、湊重要極限、分離非零因子、恒等變形、換元等形、換元等.23P148 習(xí)題四習(xí)題四練習(xí)練習(xí)：