離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述.ppt

1,第3章離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述,為了研究離散系統(tǒng)的性能，需要給出離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型主要有差分方程、脈沖傳遞函數(shù)和離散狀態(tài)空間表達式三種。這些描述方法雖然形式不同，但在描述同一系統(tǒng)時卻是等價的，并且可以相互換算，離散系統(tǒng)的每一種數(shù)學(xué)描述相對連續(xù)系統(tǒng)均有類似的方法與之對應(yīng)。例如數(shù)字控制系統(tǒng)的時間脈沖序列對應(yīng)于連續(xù)系統(tǒng)的時間脈沖響應(yīng)；差分方程對應(yīng)于微分方程；脈沖傳遞函數(shù)對應(yīng)于傳遞函數(shù)；離散狀態(tài)空間表達式對應(yīng)于連續(xù)狀態(tài)空間表達式等等。,2,3.1 線性差分方程 3.2 脈沖傳遞函數(shù),第3章 離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述,3,3.1 線性差分方程,1離散系統(tǒng)的定義,一、離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)定義,將輸入序列 ，變換為輸出序列c(n)的一種變換關(guān)系，稱為離散系統(tǒng)，記作 （3-1） 式中：r(n)和c(n)可以理解為t=nT時,系統(tǒng)的輸入序列r(nT)和輸出序列c(nT) ，T為采樣周期。,說明：1）討論離散系統(tǒng)時, 僅關(guān)注采樣時刻上各信號間的關(guān)系;,2）離散系統(tǒng)反映的是輸入序列與輸出序列之間的一種變換關(guān)系，或者稱映射關(guān)系。,4,2線性離散系統(tǒng)的定義,若 , 且有 ,其中a，b為任意常數(shù)，則：,如果離散系統(tǒng)滿足疊加原理，則稱為線性離散系統(tǒng)，即有如下關(guān)系式：,3線性定常離散系統(tǒng)的定義,輸入與輸出關(guān)系不隨時間而改變的線性離散系統(tǒng)，稱為線性定常離散系統(tǒng)，也稱作線性時不變離散系統(tǒng)。,5,二、線性常系數(shù)差分方程及其解法,1線性常系數(shù)差分方程, 線性定常離散系統(tǒng)可用n階后向差分方程來描述：,即：,式中： 和 為常系數(shù)， ，上式稱為n階線性常系數(shù)差分方程，它在數(shù)學(xué)上代表一個線性定常離散系統(tǒng)。,（3-2）,說明：,1）上式所描述的系統(tǒng)實際上是一個因果系統(tǒng)；,2）差分方程中序號的最大差值稱為方程的階。,6, 線性定常離散系統(tǒng)也可用n階前向差分方程來描述 ：,說明： 1）后向差分方程：時間概念清楚，便于編制程序； 2）前向差分方程：便于討論系統(tǒng)階次，從而便于使用Z變換法計算線性常系數(shù)差分方程的解。,即,（3-3）,7,2線性常系數(shù)差分方程的解法,經(jīng)典法 迭代法 Z變換法,線性常系數(shù)差分方程的求解方法,后向差分方程或前向差分方程都可以使用迭代法求解。若已知差分方程（3-2）或（3-3），并且給定輸出序列的初值和輸入序列，則可以利用遞推關(guān)系，在計算機上一步一步地算出輸出序列。,1）迭代法（遞推法）,8,例4（P301例7-16）：已知差分方程 c(k) = r(k)+5c(k-1)-6c(k-2) 輸入序列r(k)=1，初始條件為c(0)=0，c(1)=1，試用迭代法求輸出序列c(k)，k=0,1,2,10.,解：根據(jù)初始條件及遞推關(guān)系，得：,c(0)=0 c(1)=1,說明：用遞推法求解差分方程，計算過于煩瑣，不易得到輸出序列c(k)的通項表達式。,9,2） Z變換法（）,主要思路：在已知輸出c(k)的初始值和輸入序列r(k)的情況下，對差分方程兩端取Z變換，并利用Z變換的實數(shù)位移定理，得到以z為變量的代數(shù)方程，計算出代數(shù)方程的解C(z)，再對C(z)取Z反變換，求出輸出序列c(k)。,具體步驟： 根據(jù)Z變換實數(shù)位移定理對差分方程逐項取Z 變換； 求差分方程解的Z變換表達式C(z)； 通過Z反變換求差分方程的時域解c(k)。,10,說明：使用Z變換法時，應(yīng)采用前向差分方程，利用超前定理將其轉(zhuǎn)換成以z為變量的代數(shù)方程。若給出的描述系統(tǒng)的差分方程是后向差分方程的話，應(yīng)該先將其轉(zhuǎn)換成前向差分方程，再利用超前定理將其轉(zhuǎn)換成以z為變量的代數(shù)方程。否則的話，若直接利用滯后定理將后向差分方程轉(zhuǎn)換為以z為變量的代數(shù)方程的話，計算得到的代數(shù)方程的解C(z)形式通常比較復(fù)雜，難以進行Z反變換。,11,注意：在應(yīng)用Z變換法求差分方程的解之前，必須先判斷以下兩個問題：1）判斷差分方程的類型：若是前向差分方程，只需直接應(yīng)用超前定理進行Z變換；若是后向差分方程，通常需先將其轉(zhuǎn)換成前向差分方程，再利用超前定理進行Z變換。2）判斷差分方程的階數(shù)，確定計算中所需的的初值個數(shù)：由于應(yīng)用Z變換法計算差分方程的解時，計算中所需的的初值個數(shù)等于差分方程的階數(shù)，所以需要判斷差分方程的階數(shù)。例如一個二階差分方程，需已知兩個初值c(0)，c(1)才能進行后續(xù)計算。若題目中所給的已知的初值條件不足，必須先設(shè)法計算出所需的全部初值，才能進行后續(xù)計算。,12,例6（P301例7-17）：用Z變換法解下列差分方程,設(shè)初始條件為c(0)=0，c(1)=1。,例7（P347 習(xí)題7-8 (1)）：用Z變換法求解下列差分方程,已知,13,例9：已知某離散系統(tǒng)的運動方程由下列差分方程描述：,其中： 試求系統(tǒng)的響應(yīng)c (kT)。,例8：已知差分方程 輸入序列r(k)=1，初始條件為c(0)=0，c(1)=1，試用Z變換法計算輸出序列c(k) （k0）。,思考題：,14,3.2 脈沖傳遞函數(shù)（）,一、 脈沖傳遞函數(shù)定義,圖3-1 開環(huán)離散系統(tǒng),脈沖傳遞函數(shù)定義(P302) （） ：在零初始條件下，系統(tǒng)輸出采樣信號的Z變換與輸入采樣信號的Z變換之比（在輸入端必須有采樣開關(guān)），即,圖3-2 實際的開環(huán)離散系統(tǒng),15,二、脈沖傳遞函數(shù)的物理意義,1. 脈沖傳遞函數(shù)的含義是(P303)：系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)G(z)，就等于單位脈沖響應(yīng)序列K(nT)的Z變換，即,2. 脈沖傳遞函數(shù)G(z)與差分方程的關(guān)系:,Z變換,16,三、脈沖傳遞函數(shù)求法,1. 連續(xù)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)G(z)，可以通過其傳遞函數(shù)G(s)來求取，具體步驟是：,2) 將K(t)按采樣周期離散化，得K(nT);,1)用拉氏反變換求脈沖響應(yīng)K(t)，即,3) 應(yīng)用Z變換定義求脈沖傳遞函數(shù)G(z) ，即：,2. 根據(jù)Z變換表，可以直接從G(s)得到G(z) ，而不必逐步推導(dǎo)，即定義G(s)的Z變換：,17,例11（P305 例7-19）：設(shè)圖3-2中所示開環(huán)系統(tǒng)中的,圖3-2 實際的開環(huán)離散系統(tǒng),試求相應(yīng)的脈沖傳遞函數(shù)G(z)。,解：將G(s)展成部分分式,查Z變換表得,18,例12： 已知系統(tǒng)差分方程如下，計算G(z)。,解：對差分方程兩邊取Z變換，應(yīng)用滯后定理得：,整理得：,所以系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)為：,19,四、 開環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù),注意：在研究系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)時，要特別關(guān)注采樣開關(guān)的數(shù)目和位置，它們直接影響著脈沖傳遞函數(shù)的形式。,從以下幾個方面討論： 1）有串聯(lián)環(huán)節(jié)時的開環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)； 2）（）有零階保持器時的開環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)。 3）有并聯(lián)環(huán)節(jié)時的開環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)（補充）；,20,1采樣拉氏變換的兩個重要性質(zhì),（1） 采樣函數(shù)的拉氏變換具有周期性，即,（2）（）(P305)若采樣函數(shù)的拉氏變換E*(s)與連續(xù)函數(shù)的拉氏變換G(s)相乘后再離散化，則E*(s)可以從離散符號中提出來，即,21,2有串聯(lián)環(huán)節(jié)時的開環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù),當開環(huán)離散系統(tǒng)由幾個環(huán)節(jié)串聯(lián)組成時，其脈沖傳遞函數(shù)的求法與連續(xù)系統(tǒng)情況不完全相同。即使兩個開環(huán)離散系統(tǒng)的組成環(huán)節(jié)完全相同，但由于采樣開關(guān)的數(shù)目和位置不同，求出的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)也會截然不同。因此計算時要特別注意：環(huán)節(jié)之間有無采樣開關(guān)及開關(guān)位置?？紤]由兩個串聯(lián)環(huán)節(jié)構(gòu)成的開環(huán)離散系統(tǒng)，有兩種不同的情況：,（1）串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有采樣開關(guān);,（2）串聯(lián)環(huán)節(jié)之間無采樣開關(guān)。,22,（1）串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有采樣開關(guān),圖3-3 串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有采樣開關(guān),開環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)：,即有理想采樣開關(guān)隔開的兩個線性連續(xù)環(huán)節(jié)串聯(lián)時的脈沖傳遞函數(shù)，等于這兩個環(huán)節(jié)各自脈沖傳遞函數(shù)之積。,圖3-4 圖3-3的等效離散系統(tǒng)方框圖,23,（2）串聯(lián)環(huán)節(jié)之間無采樣開關(guān),圖3-5串聯(lián)環(huán)節(jié)之間無采樣開關(guān),開環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)為：,沒有理想采樣開關(guān)隔開的兩個線性連續(xù)環(huán)節(jié)串聯(lián)時的脈沖傳遞函數(shù)，等于這兩個環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)乘積后的相應(yīng)Z變換。,圖3-6 圖3-5的等效離散系統(tǒng)方框圖,24,例13（P307例7-20）：設(shè)開環(huán)離散系統(tǒng)如圖3-3和圖3-5所示，其中： ， ，輸入信號 ，試求兩個系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)G(z)和輸出的Z變換C(z)。,解：,圖3-3:有采樣開關(guān)隔開,圖3-5：無采樣開關(guān)隔開,在串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有無同步采樣開關(guān)隔離時， 其總的脈沖傳遞函數(shù)和輸出Z變換是不同的。 但是，不同之處僅表現(xiàn)在其零點不同， 極點仍然一樣，這也是離散系統(tǒng)的特有的現(xiàn)象。,25,3有零階保持器時的開環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)（）,圖3-7 零階保持器的開環(huán)離散系統(tǒng),圖3-8 圖3-7的等效開環(huán)系統(tǒng),（）,26,例14（P308例7-21）：設(shè)離散系統(tǒng)如圖3-7所示， 已知：,求系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù) G(z)。,解：,結(jié)論:零階保持器不影響離 散系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)的極點,27,例15：（Z變換測試題）已知:,采樣周期T = 1秒，計算 。,解：,28,4有并聯(lián)環(huán)節(jié)時的開環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)（補充）,圖3-9 并聯(lián)環(huán)節(jié)的開環(huán)離散系統(tǒng),并聯(lián)環(huán)節(jié)的開環(huán)系統(tǒng)脈沖傳函為:,即：輸入端具有采樣開關(guān)的并聯(lián)環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)等于各環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)之和 。,圖3-10 圖3-9的等效離散系統(tǒng)方框圖,29,五、閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)（）,對于線性離散控制系統(tǒng)，由于采樣開關(guān)的數(shù)目和位置不同，使得閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)不像連續(xù)系統(tǒng)那樣具有統(tǒng)一的形式。因此，在求離散控制系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)時，要根據(jù)采樣開關(guān)的實際情況進行具體分析。,對偏差信號進行采樣的系統(tǒng),不對偏差信號進行采樣的系統(tǒng),30,（a）系統(tǒng)框圖,1對偏差信號進行采樣的系統(tǒng),（b）等效離散系統(tǒng)框圖 圖3-12 對誤差進行采樣的閉環(huán)離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖,誤差脈沖傳遞函數(shù) ：,脈沖傳遞函數(shù)：,閉環(huán)離散系統(tǒng)的特征方程 ：,-,31,注意1：對偏差信號進行采樣的離散系統(tǒng)其閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)與連續(xù)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)形式上很相似，但要注意：由于采樣開關(guān)在閉環(huán)系統(tǒng)中有多種配置形式，所以 決不能對 取Z變換得來，即,注意2：P312表7-3給出了采樣開關(guān)在閉環(huán)系統(tǒng)中具有各種配置的閉環(huán)離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，及其輸出采樣信號的Z變換函數(shù)C(z)，顯然表中1，3，4，7，8項是對偏差進行采樣的系統(tǒng)框圖。,32,例17（P310例7-22）：設(shè)閉環(huán)離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下圖所示,試證其閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為：,圖3-13(a),-,r*(t),y*(t),y(t),c*(t),33,解：由圖3-13(a)可見，每兩個采樣開關(guān)之間有如下關(guān)系式：,圖3-13(b) 與圖3-13(a)等效的離散系統(tǒng)框圖,34,2不對偏差信號進行采樣的系統(tǒng),(a) 系統(tǒng)框圖,（b）系統(tǒng)的等效框圖,圖3-14 不對偏差信號采樣的閉環(huán)離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖,RG1*(s),Y*(s),Y(s),35,由3-14（b）可得：,式中：,圖3-14(c) 與圖3-14(b)等效的離散系統(tǒng)框圖,36,注意1：由于不對偏差信號進行采樣，使得R(z)不能獨立出來，此時不可能求出閉環(huán)離散系統(tǒng)對于輸入量的脈沖傳遞函數(shù)，而只能求出輸出采樣信號的Z變換函數(shù)C(z), 但這并不妨礙對C*(t)的研究. 注意2：P312表7-3中2，5，6項是不對偏差進行采樣的系統(tǒng)框圖。,37,例18（P311例7-23）：設(shè)閉環(huán)離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖3-15所示，試證其輸出采樣信號的Z變換函數(shù),圖3-15(a),38,解：法1（教材P311）,法2：,圖3-15(b) 圖3-15(a)的等效框圖,圖3-15(c) 圖3-15(b)的等效離散系統(tǒng)框圖,39,例19（P347 習(xí)題7-10（a） 求下列閉環(huán)離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)。,解：虛設(shè)采樣開關(guān)，各信號之間的Z變換關(guān)系式為：,40,(2)、(3)代入(4)得：,(5)代入(1)得：,(5),圖3-16(b) 圖3-16(a)的等效離散系統(tǒng)框圖,41,六、Z變換法的局限性及修正Z變換（簡介）,1Z變換法的局限性（P313）,（1）Z變換的推導(dǎo)是建立在假定采樣信號可以用理想脈沖序列來近似的基礎(chǔ)上，每個理想脈沖的面積，就等于采樣瞬時上的時間函數(shù)。這種假定，只有當采樣持續(xù)時間與系統(tǒng)的最大時間常數(shù)相比是很小的時候，才能成立。,42,（2）輸出Z變換函數(shù)C(z)，只確定了時間函數(shù)c(t)在采樣瞬時上的數(shù)值，不能反映c(t)在采樣間隔中的信息，因此對于任何C(z) ，Z反變換c(nT)只能代表c(t)在采樣瞬時t =nT (n=1,2,)的數(shù)值。,（3）用Z變換法分析離散系統(tǒng)時，系統(tǒng)連續(xù)部分傳遞函數(shù)Gp(s)的極點數(shù)至少要比其零點數(shù)多兩個（即G(s)的脈沖過渡函數(shù)K(t)在t =0時必須沒有跳躍），或滿足 。否則，用Z變換法得到的系統(tǒng)采樣輸出c*(t)與實際連續(xù)輸出c(t)差別較大，甚至完全不同。,43,2修正Z變換法(P314),