高等數(shù)學第一章函數(shù)1-1一元函數(shù).ppt

,高等數(shù)學,教師：孟雅琴 個人郵箱: 工作郵箱: 電話：15921365639,經(jīng)典數(shù)學的研究對象是現(xiàn)實世界中的數(shù)量關(guān)系和空間形式。,數(shù)學形成兩大分支：幾何學和代數(shù)學,在古希臘時代（大約公元前5世紀-公元前3世紀）數(shù)學就成為一門獨立的、理性的學科發(fā)展起來了。它的最杰出的代表作是Eulid的幾何原本，至今已有兩千多年的歷史了。,初等數(shù)學時期：公元前3世紀到17世紀,-常量數(shù)學時期,主要研究對象： 勻速的運動（速度不變） 勻加速運動（速度勻速變化） 直邊圖形（不彎曲） 圓弧邊圖形（均勻彎曲） 有限次四則運算,17世紀微積分的創(chuàng)造開始了高等數(shù)學時期 -變量數(shù)學時期,微積分最初解決的四類問題： 1 變速直線運動物體的瞬時速度與加速度 2 求曲線的切線問題 3 求函數(shù)的最值問題 4 求不規(guī)則圖形的面積,微積分Calculus（無窮小分析）分為微分和積分兩大部分，微分和積分是一對逆運算，歷史上是先產(chǎn)生積分學后產(chǎn)生的微分學。,微分學的主要內(nèi)容：極限理論、導數(shù)、微分等。,積分學的主要內(nèi)容：定積分、不定積分等。,第一章,高等數(shù)學的基礎,函數(shù),極限, 研究的對象, 研究的方法,一元函數(shù),第一節(jié),一元函數(shù),二、函數(shù)的概念及圖形,四、反函數(shù)與復合函數(shù),五、函數(shù)的運算,六、基本初等函數(shù),三、函數(shù)可能具有的幾種特性,第一章,七、初等函數(shù),一、實數(shù)集 鄰域,一、實數(shù)集 鄰域,集合的定義,集合的運算,并，交，差,數(shù)集分類:,N-自然數(shù)集,Z-整數(shù)集,Q-有理數(shù)集,R-實數(shù)集,數(shù)集間的關(guān)系:,不含任何元素的集合稱為空集.,鄰域,.,(,),二、函數(shù)的概念及圖形,1.常量與變量,在某過程中數(shù)值保持不變的量稱為 常量,通常用字母a, b, c等表示常量,而數(shù)值變化的量稱為 變量.,常量與變量的表示方法：,用字母x, y, t等表示變量.,2. 函數(shù)的概念,定義1 設非空數(shù)集,x 稱為自變量,y 稱為因變量 ,D 稱為定義域 ,y 的全體 稱為值域 .,函數(shù)圖形:,稱點集,為函數(shù) f 的圖形.,變量 y 按照一定法則總有唯一確定的數(shù)值和它對應,則稱 y 是 x 的函數(shù)，記為,注 1 函數(shù)的二要素 定義域 D 對應法則 f,Rf,對應法則 f,自變量,因變量,例1,下列各組函數(shù)是否相同？,(1),答：不同, 因為二者定義域不同. 前者的定義域為,(2),而后者的定義域為,答：不同, 因為二者的 對應法則不同.,注,答：相同.,(3),兩個函數(shù)是否相同，僅取決與D 和 f，而與f 的表達形式無關(guān)，也與變量的記號無關(guān)!,2 定義域：,使表達式及實際問題都有意義的自變量所能取得的一切實數(shù)值所組成的集合.,例2,解,3 函數(shù)的表示方法:,解析法,、圖象法,、列表法.,(1)符號函數(shù),3. 幾個特殊的函數(shù)舉例,(2) 絕對值函數(shù),(3) 取整函數(shù) y = x, x R,階梯曲線,x表示不超過 x 的最大整數(shù).,(4) 狄利克雷函數(shù),(5) 數(shù)列,數(shù)列也是一類函數(shù), 它的定義域是全體正整數(shù),它的圖形是平面上的一些孤,構(gòu)成的集合,立點的集合.,三、函數(shù)可能具有的幾種特性,設函數(shù),又數(shù)集,1. 有界性,為有界函數(shù).,有,若,則稱 f (x)為偶函數(shù);,若,則稱 f (x)為奇函數(shù).,說明: 若,在 x = 0 有定義 ,則當,為奇函數(shù)時,2. 奇偶性,偶函數(shù)的圖形關(guān)于y 軸對稱 奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點對稱,例4,證 令,則,由,消去,得,顯然,又,在 I 上單調(diào)減少.,當,時,稱,在 I 上單調(diào)增加；,稱,單調(diào)增加或單調(diào)減少的函數(shù) 統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù).,3. 單調(diào)性,注 函數(shù)單調(diào)與否同所論區(qū)間有關(guān).,4. 周期性,且,則稱,為周期函數(shù) ,若,稱 T 為周期.,周期為 ,周期為,( 通常說周期函數(shù)的周期是指其最小正周期 ).,例如: 常量函數(shù), 狄里克雷函數(shù),x 為有理數(shù),x 為無理數(shù);,注,并非任何一個周期函數(shù)都有最小正周期.,每一個正數(shù)都是其周期.,每一個正有理數(shù)都是其周期.,這兩個函數(shù)均無最小正周期!,例5 設函數(shù),的圖形關(guān)于,均對稱, 求證,是周期函數(shù).,證,由,的對稱性知,于是,故,是周期函數(shù) ,周期為,四、 反函數(shù)與復合函數(shù),1. 反函數(shù)的定義及性質(zhì),定義,對于以D為定義域，f (D)為值域的函數(shù)y =f (x),習慣上 ,的反函數(shù)記成,例如, 函數(shù),其反函數(shù)為,性質(zhì):,(1) 函數(shù),與其反函數(shù),的圖形關(guān)于,直線,對稱 .,其反函數(shù),(減),(減) .,(2) 單調(diào)遞增,也單調(diào),遞增,例如 ,對數(shù)函數(shù),互為反函數(shù) ,它們都單調(diào)遞增,其圖形關(guān)于直線,對稱 .,指數(shù)函數(shù),例6,解,分段函數(shù)的反函數(shù)應當逐段求：,解得,反函數(shù)為,解得,反函數(shù)為,又對于直接函數(shù) y = x 3 來說其值域為 1, 8 ，,故反函數(shù) 的定義域為 1, 8 ;,x 1, 8 ;,解得,反函數(shù)為,綜上所述，所求反函數(shù)為,2. 復合函數(shù),定義:,注,1 并非任何兩個 函數(shù)都能構(gòu)成復合函數(shù)， 函數(shù)的復合是有條件的.,條件：,如：,解,故,例7,統(tǒng)稱為 基本初等函數(shù).,冪函數(shù)、,指數(shù)函數(shù)、,對數(shù)函數(shù)、,三角函數(shù)、,反三角函數(shù),五、基本初等函數(shù),1、冪函數(shù),2、指數(shù)函數(shù),3、對數(shù)函數(shù),4、三角函數(shù),正割函數(shù),余割函數(shù),5、反三角函數(shù),六、初等函數(shù),由常數(shù)及基本初等函數(shù),稱為初等函數(shù) . 否則稱為非初等函數(shù) .,例如 ,并可用一個式子表示的函數(shù) ,經(jīng)過有限次四則運算和,復合步驟所構(gòu)成 ,可表為,故為初等函數(shù).,為奇函數(shù),(1) 雙曲正弦,記,1. 雙曲函數(shù),(2) 雙曲余弦,為偶函數(shù),記,工程中常用的一類初等函數(shù):,為奇函數(shù),(3) 雙曲正切,記,內(nèi)容小結(jié),定義域 對應規(guī)律,2. 函數(shù)的特性,有界性, 奇偶性, 單調(diào)性, 周期性,3. 初等函數(shù)的結(jié)構(gòu),1. 函數(shù)的定義及函數(shù)的二要素,例3-1 已知函數(shù),求,及,解,函數(shù)無定義,并寫出定義域及值域 .,定義域,值 域,例4-1,證明,設f(x)是定義在(-a,a)內(nèi)的任意函數(shù)，證明 （1）f(x)+f(-x)是偶函數(shù)； （2）f(x)-f(-x)是奇函數(shù)； （3）f(x)總可以表示為一個偶函數(shù)與一個 奇函數(shù)之和.,(1)令F(x)=f(x)+f(-x),因為在對稱區(qū)間(a,-a)內(nèi)，,有 F(-x)=f(-x)+f(x),=f(x)+f(-x)=F(x),所以，F(xiàn)(x)=f(x)+f(-x)是偶函數(shù).,(2)令F(x)=f(x)-f(-x),所以,F(x)=f(x)-f(-x)是奇函數(shù).,(3)作以上兩個函數(shù)的線形組合,可得,f(x)=,即 f(x)表示一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)之和.,F(-x)=f(-x)-f(x),=-f(x)-f(-x)=-F(x),例6 -1 求,的反函數(shù)及其定義域.,解,當,時,則,當,時,則,當,時,則,反函數(shù),定義域為,令,則,故,解,例7-1,例7-2,解,例7-3,解,例7-4,解,0,1,-1,x,y,例7-5,已知,解,故,又因,所以,積分學的歷史可追溯到遙遠的古希臘，從歐多克索斯（柏拉圖時代最偉大的數(shù)學家和天文學家）的窮竭法，阿基米德的平衡法，到中國古代科學家劉徽的割圓術(shù)，縱跨了二千年的時間。,窮竭法：如果從任意一個量中減去一個不小于其一半的部分，再從余下的部分減去一個不小于其一半的部分，等等一直下去，則最終將剩下一個比任意事先給定的一個同類量為小的量,割圓術(shù)：割之彌細，所失彌少，割之又割，以致不可割。,萊布尼茲1646年出生在德國的萊比錫，15歲進入大學學習法律，畢業(yè)之后從事外交工作，26歲時與荷蘭數(shù)學家物理學家天文學家惠更斯的會晤，激起了他對數(shù)學的興趣。,他是數(shù)學史上最偉大的符號學者，他在創(chuàng)造微積分的過程中花了很多的時間去選擇精巧的符號，現(xiàn)在微積分的符號基本上都是他創(chuàng)造的。,