高等數(shù)學(xué)(同濟(jì)第六版)課件第一章10.閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)性質(zhì).ppt

第十節(jié) 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),定理1(最值定理),設(shè)函數(shù) f(x)閉區(qū)間a,b上連續(xù),則 f(x)在a,b上一定有最大值和最小值.,即,一、有界性與最大值最小值定理,使得,有,推論(有界性定理),若 f(x)閉區(qū)間a,b上連續(xù),則 f(x)在a,b上有界.,注意: 若區(qū)間是開區(qū)間, 定理不一定成立;,定理2 (零點(diǎn)定理),且f(a)f(b)<0,則至少存在一點(diǎn)(a,b),使f()=0,設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù),二、零點(diǎn)定理與介值定理,例1 證明方程 在區(qū)間(0,1)內(nèi),證 令,由零點(diǎn)定理,至少有一個(gè)實(shí)根。,則f(x)在0,1上連續(xù)。,使,即,故方程 在區(qū)間(0,1)內(nèi),至少有一個(gè)實(shí)根。,例2 設(shè)函數(shù) f(x)閉區(qū)間a,b上連續(xù),且 f(a)<a ,且 f(b)b ,證明至少存在一點(diǎn)(a,b),使,f()=,證 令,由零點(diǎn)定理,則F(x)在a,b上連續(xù)。,使,即,定理2 (介值定理),且f(a)=A,且f(b)=B,AB,則對(duì)于A與B之間的任一個(gè)數(shù)C，,則至少存在一點(diǎn)(a,b),使f()=C.,證 設(shè),設(shè)函數(shù) f(x)閉區(qū)間a,b上連續(xù),則 在a,b上連續(xù),證：記 f(x1) = M, f(x2) = m, x1, x2a,b, 不妨設(shè)x1< x2,推論 設(shè) f(x)在a,b上連續(xù), 其最大值為M最小值為m， m < C < M，,則至少存在一點(diǎn)(a,b), 使f()=C.,則 f(x) 在x1, x2上連續(xù)， 又f(x2) < C < f(x1),至少存在一點(diǎn)(x1, x2),使f()=C.,故至少存在一點(diǎn)(a,b), 使f()=C.,例3 設(shè) f(x)在a,b上連續(xù), a< x1< x2< x3 <b,證明在(x1, x3)內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使,證 f(x)在a,b上連續(xù), 故在x1, x3上連續(xù).,記 f(x)在x1, x3的最大值為M最小值為m，,（1）若,則由推論知：在(x1, x3)內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使,（1）若,則,則,成立,（2）同理可證當(dāng) 時(shí)，,結(jié)論成立。,