2020版高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列 專題突破三 數(shù)列通項(xiàng)公式的求法課件 新人教B版必修5.ppt

專題突破三數(shù)列通項(xiàng)公式的求法,第二章 數(shù)列,求數(shù)列的通項(xiàng)公式，是數(shù)列問題中的一類重要題型，在數(shù)列學(xué)習(xí)和考試中占有很重要的位置，本專題就來談?wù)剶?shù)列通項(xiàng)公式的求法.,一、通過數(shù)列前若干項(xiàng)歸納出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式 例1由數(shù)列的前n項(xiàng)，寫出通項(xiàng)公式： (1)3，5，3，5，3，5，；,解這個(gè)數(shù)列前6項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)擺動(dòng)數(shù)列，奇數(shù)項(xiàng)為3，偶數(shù)項(xiàng)為5. 所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an4(1)n，nN.,解數(shù)列中的項(xiàng)以分?jǐn)?shù)形式出現(xiàn)，分子為項(xiàng)數(shù)，分母比分子大1，,反思感悟這類數(shù)列通常是由基本數(shù)列如等差數(shù)列、等比數(shù)列通過加減乘除運(yùn)算得到，故解決這類問題可以根據(jù)所給數(shù)列的特點(diǎn)(遞增及增長速度、遞減及遞減速度、是否擺動(dòng)數(shù)列)聯(lián)想基本數(shù)列，再考察它與基本數(shù)列的關(guān)系.需要注意的是，對(duì)于無窮數(shù)列，利用前若干項(xiàng)歸納出的通項(xiàng)公式屬于“猜想”，而且表達(dá)式不一定唯一.,跟蹤訓(xùn)練1由數(shù)列的前幾項(xiàng)，寫出通項(xiàng)公式： (1)1，7，13，19，25，；,解數(shù)列每一項(xiàng)的絕對(duì)值構(gòu)成一個(gè)以1為首項(xiàng)，6為公差的等差數(shù)列， 且奇數(shù)項(xiàng)為正，偶數(shù)項(xiàng)為負(fù)， 所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an(1)n1(6n5)，nN.,二、利用遞推公式求通項(xiàng)公式 命題角度1累加、累乘 例2(1)數(shù)列an滿足a11，對(duì)任意的nN都有an1a1ann，求通項(xiàng)公式；,解an1ann1，an1ann1， 即a2a12，a3a23，anan1n(n2). 等式兩邊同時(shí)相加得ana1234n(n2).,反思感悟形如an1anf(n)的遞推公式求通項(xiàng)可以使用疊加法，步驟如下： 第一步將遞推公式寫成an1anf(n)； 第二步當(dāng)n2時(shí)，依次寫出anan1，a2a1，并將它們疊加起來； 第三步得到ana1的值，解出an； 第四步檢驗(yàn)a1是否滿足所求通項(xiàng)公式，若成立，則合并；若不成立，則寫出分段形式.疊乘法類似.,跟蹤訓(xùn)練2在數(shù)列an中，a11，anan1n1(n2，3，4，)，求an的通項(xiàng)公式.,解當(dāng)n1時(shí)，a11，,命題角度2構(gòu)造等差(比)數(shù)列 例3已知數(shù)列an滿足an13an2，且a11，則an_.,23n11,解析設(shè)an1A3(anA)，化簡得an13an2A. 又an13an2，2A2，即A1.,數(shù)列an1是等比數(shù)列，首項(xiàng)為a112，公比為3. 則an123n1，即an23n11.,反思感悟形如an1panq(其中p，q為常數(shù)，且pq(p1)0)可用待定系數(shù)法求得通項(xiàng)公式，步驟如下： 第一步假設(shè)遞推公式可改寫為an1tp(ant)；,第四步寫出數(shù)列an通項(xiàng)公式.,跟蹤訓(xùn)練3已知數(shù)列an滿足an12an35n，a16，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.,解設(shè)an15n12(an5n)， 將an12an35n代入式， 得2an35n5n12an25n， 等式兩邊消去2an，得35n5n125n， 兩邊除以5n，得352，則1， 代入式得an15n12(an5n). 由a1516510及式得an5n0，,則數(shù)列an5n是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列， 則an5n2n1，故an2n15n(nN).,命題角度3預(yù)設(shè)階梯轉(zhuǎn)化為等差(比)數(shù)列 例4在數(shù)列an中，a12，an14an3n1，nN. (1)證明：數(shù)列ann是等比數(shù)列；,證明由an14an3n1， 得an1(n1)4(ann)，nN.,所以數(shù)列ann是首項(xiàng)為1，公比為4的等比數(shù)列.,(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.,解由(1)，可知ann4n1，nN， 于是數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an4n1n，nN.,反思感悟課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)遞推公式要求不高，故對(duì)遞推公式的考查也比較簡單，一般先構(gòu)造好等差(比)數(shù)列讓學(xué)者證明，再在此基礎(chǔ)上求出通項(xiàng)公式，故同學(xué)們不必在此處挖掘過深.,跟蹤訓(xùn)練4在數(shù)列an中，a11，3anan1anan10(n2，nN).,證明由3anan1anan10(n2)，,(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.,三、利用前n項(xiàng)和Sn與an 的關(guān)系求通項(xiàng)公式 例5已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn2an4，nN，則an等于 A.2n1 B.2n C.2n1 D.2n2,解析因?yàn)镾n2an4，所以n2時(shí)，Sn12an14， 兩式相減可得SnSn12an2an1，即an2an2an1，整理得an2an1，,所以數(shù)列an是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列，則an42n12n1，故選A.,反思感悟已知Snf(an)或Snf(n)的解題步驟： 第一步利用Sn滿足條件p，寫出當(dāng)n2時(shí)，Sn1的表達(dá)式； 第二步利用anSnSn1(n2)，求出an或者轉(zhuǎn)化為an的遞推公式的形式； 第三步若求出n2時(shí)的an的通項(xiàng)公式，則根據(jù)a1S1求出a1，并代入n2時(shí)的an的通項(xiàng)公式進(jìn)行驗(yàn)證，若成立，則合并；若不成立，則寫出分段形式.如果求出的是an的遞推公式，則問題化歸為例3形式的問題.,得(n1)an13nan(n2)， 即數(shù)列nan從第二項(xiàng)起是公比為3的等比數(shù)列，且a11，a21， 于是2a22，故當(dāng)n2時(shí)，nan23n2.,達(dá)標(biāo)檢測(cè),DABIAOJIANCE,1.已知數(shù)列的前4項(xiàng)為2，0，2，0，則依此歸納該數(shù)列的通項(xiàng)不可能是,1,2,3,4,5,6,7,解析注意到分子0，2，4，6都是偶數(shù)，對(duì)照選項(xiàng)排除即可.,1,2,3,4,5,6,7,以上(n1)個(gè)式子相乘得,1,2,3,4,5,6,7,4.數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Snn23n1，nN，則它的通項(xiàng)公式為_.,解析當(dāng)n1時(shí)，a1S15； 當(dāng)n2時(shí)，anSnSn12n2.,1,2,3,4,5,6,7,5.在等比數(shù)列an中，若公比q4，且前三項(xiàng)之和等于21，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式是_.,an4n1,解析依題意a14a142a121， 所以a11， 所以ana1qn14n1.,1,2,3,4,5,6,7,6.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn2n23n.求an的通項(xiàng)公式.,解因?yàn)镾n2n23n， 所以當(dāng)n2時(shí)， Sn12(n1)23(n1)2n27n5， 所以anSnSn14n5，n2， 又當(dāng)n1時(shí)，a1S11，滿足an4n5， 所以an4n5，nN.,1,2,3,4,5,6,7,7.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn1an，其中0.證明an是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式.,1,2,3,4,5,6,7,由Sn1an，Sn11an1， 得an1an1an， 即an1(1)an. 由a10，0得an0，,1,2,3,4,5,6,7,