2020版高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列 專(zhuān)題突破二 數(shù)列的單調(diào)性和最大(小)項(xiàng)課件 新人教B版必修5.ppt

專(zhuān)題突破二數(shù)列的單調(diào)性和最大(小)項(xiàng),第二章 數(shù)列,一、數(shù)列的單調(diào)性 (1)定義：若數(shù)列an滿(mǎn)足：對(duì)一切正整數(shù)n，都有an1an(或an1an)，則稱(chēng)數(shù)列an為遞增數(shù)列(或遞減數(shù)列). (2)判斷單調(diào)性的方法 轉(zhuǎn)化為函數(shù)，借助函數(shù)的單調(diào)性，如基本初等函數(shù)的單調(diào)性等，研究數(shù)列的單調(diào)性. 利用定義判斷：作差比較法，即作差比較an1與an的大??；作商比較法，即作商比較an1與an的大小，從而判斷出數(shù)列an的單調(diào)性.,例1已知函數(shù) f (x) (x1)，構(gòu)造數(shù)列anf (n)(nN).試判斷數(shù)列的單調(diào)性.,an1an. 數(shù)列an是遞減數(shù)列.,方法二設(shè)x1x21，則,x1x21，x110，x210，x2x10， f (x1)f (x2)0， 即f (x1)f (x2)， f (x)在1，)上為減函數(shù)， anf (n)為遞減數(shù)列.,反思感悟研究數(shù)列的單調(diào)性和最大(小)項(xiàng)，首選作差，其次可以考慮借助函數(shù)單調(diào)性.之所以首選作差，是因?yàn)檠芯繑?shù)列的單調(diào)性和研究函數(shù)單調(diào)性不一樣，函數(shù)單調(diào)性要設(shè)任意x1<x2，而數(shù)列只需研究相鄰兩項(xiàng)an1，an，證明難度是不一樣的.另需注意，函數(shù)f(x)在1，)上單調(diào)，則數(shù)列anf(n)一定單調(diào)，反之不成立.,跟蹤訓(xùn)練1數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an32n223n1，nN.求證：an為遞增數(shù)列.,證明an1an32n123n(32n223n1) 3(2n22n1)2(3n3n1) 32n243n1,an1an0，即an1an，nN. an是遞增數(shù)列.,二、求數(shù)列中的最大(或最小)項(xiàng)問(wèn)題 常見(jiàn)方法： (1)構(gòu)造函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)一步求出數(shù)列的最值.,45，44,故數(shù)列an在0<n44，nN時(shí)遞減，在n45時(shí)遞減，,反思感悟本題考查根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性求數(shù)列的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)，此類(lèi)題一般借助相關(guān)函數(shù)的單調(diào)性來(lái)研究數(shù)列的單調(diào)性，然后再判斷數(shù)列的最大項(xiàng)與最小項(xiàng).,跟蹤訓(xùn)練2已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式an (nN)，則an的最大項(xiàng)是 A.a3 B.a4C.a5 D.a6,且1n5時(shí)，an0，n6時(shí)，an<0. an的最大值為a5.,例3已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為ann25n4，nN. (1)數(shù)列中有多少項(xiàng)是負(fù)數(shù)？,解由n25n40，解得1n4. nN，n2，3. 數(shù)列中有兩項(xiàng)是負(fù)數(shù).,(2)n為何值時(shí)，an有最小值？并求出其最小值.,當(dāng)n2或n3時(shí)，an有最小值，其最小值為225242.,反思感悟有時(shí)也可借助函數(shù)最值來(lái)求數(shù)列最值.但應(yīng)注意函數(shù)最值點(diǎn)不是正整數(shù)的情形.,跟蹤訓(xùn)練3已知(1)na1 對(duì)任意nN恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 _.,解析設(shè)f(n)1 ，n1，則f(n)單調(diào)遞增. 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，有a1,當(dāng)n3，nN時(shí)，an1an0. 綜上，可知an在n1，2，3時(shí)，單調(diào)遞增； 在n4，5，6，7，時(shí)，單調(diào)遞減.所以存在最大項(xiàng).,反思感悟如果本例用函數(shù)單調(diào)性來(lái)解決，就會(huì)變得很麻煩.,當(dāng)n1，2，3，4，5時(shí)，bn1bn0，即b1b2b3b4b5. 當(dāng)n6，7，8，時(shí)，bn1bn0，即b6b7b8，,三、利用數(shù)列的單調(diào)性確定變量的取值范圍 常利用以下等價(jià)關(guān)系： 數(shù)列an遞增an1an恒成立；數(shù)列an遞減an1an恒成立，通過(guò)分離變量轉(zhuǎn)化為代數(shù)式的最值來(lái)解決.,例5已知數(shù)列an中，ann2n，nN. (1)若an是遞增數(shù)列，求的取值范圍.,解由an是遞增數(shù)列an(2n1)，nN3. 的取值范圍是(3，).,(2)若an的第7項(xiàng)是最小項(xiàng)，求的取值范圍.,解得1513，即的取值范圍是15，13.,k的取值范圍為(2，).,跟蹤訓(xùn)練5數(shù)列an中，an2n1k2n1，nN，若an是遞減數(shù)列，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.,解an12(n1)1k2n112n1k2n，an1an2k2n1. an是遞減數(shù)列， 對(duì)任意nN，有2k2n10，,達(dá)標(biāo)檢測(cè),DABIAOJIANCE,1,2,3,4,5,1.設(shè)an2n229n3，nN，則數(shù)列an的最大項(xiàng)是,當(dāng)n7時(shí)，an取得最大值， 最大值為a72722973108.故選D.,A.有最大項(xiàng)，沒(méi)有最小項(xiàng)B.有最小項(xiàng)，沒(méi)有最大項(xiàng) C.既有最大項(xiàng)又有最小項(xiàng)D.既沒(méi)有最大項(xiàng)也沒(méi)有最小項(xiàng),即t1時(shí)，an取最大值.,所以該數(shù)列既有最大項(xiàng)又有最小項(xiàng).,1,2,3,4,5,2,3,4,5,解析ann210n11是關(guān)于n的二次函數(shù)， 數(shù)列an是拋物線(xiàn)f(x)x210 x11上的一些離散的點(diǎn)， an前10項(xiàng)都是正數(shù)，第11項(xiàng)是0， 數(shù)列an前10項(xiàng)或前11項(xiàng)的和最大.故選C.,3.設(shè)ann210n11，則數(shù)列an從首項(xiàng)到第幾項(xiàng)的和最大 A.10 B.11 C.10或11 D.12,1,2,3,4,5,4.數(shù)列an中，a12，an2an1(nN，2n10)，則數(shù)列an的最大項(xiàng)的值為_(kāi).,1 024,解析a12，an2an1，an0，,anan1，即an單調(diào)遞增， an的最大項(xiàng)為a102a922a829a12922101 024.,1,(11，9),2,3,4,5,1,