概率論與數(shù)理統(tǒng)計3章.ppt

第3章隨機變量,隨機變量的產(chǎn)生一維隨機變量的分布函數(shù)離散型隨機變量二項分布與泊松分布連續(xù)型隨機變量正態(tài)分布一維隨機變量函數(shù)的分布,3.1隨機變量的產(chǎn)生,樣本空間太任意，難以把握，需要將其數(shù)量化。要求問題涉及的事件與變量相關(guān)，這樣可以將概率和函數(shù)建立聯(lián)系。,定義稱定義在樣本空間上的實函數(shù)=()，是隨機變量，如對任意實數(shù)x，集合()<x都是一隨機事件。,注：一般()簡單記為，()<x記為<x,隨機變量,3.2一維隨機變量的分布函數(shù),分布函數(shù),設(shè)是一個隨機變量，x是任意實數(shù)，函數(shù)F(x)=P()<x稱為隨機變量的分布函數(shù)，記作F(x)或F(x)。,的分布函數(shù)也常簡記為F(x)=P<x,分布函數(shù)的性質(zhì),任一隨機變量的分布函數(shù)F(x)，x(，)，具有下列性質(zhì)：,(1)單調(diào)不減性若x1<x2，則F(x1)F(x2),根據(jù)概率的性質(zhì)，得P<x2P<x1即F(x2)F(x1),證明：若x1<x2，則有,(2)0F(x)1，且,(3)左連續(xù)性對任意實數(shù)x0，有,如某實函數(shù)具有上述3個性質(zhì)，則它可作為某隨機變量的分布函數(shù),由分布函數(shù)，可以計算如下概率：,離散型隨機變量,如隨機變量的取值只有有限個或可列多個，則稱它為離散型隨機變量。,3.3離散型隨機變量,隨機試驗：接連進行兩次射擊，表示未擊中目標，表示擊中目標。樣本空間：,現(xiàn)在我們設(shè)定隨機變量表示擊中目標的次數(shù)，則,隨機試驗：觀察某電話交換臺單位時間內(nèi)接到的呼喚次數(shù)。樣本空間=0,1,2,，以表示接到的呼喚次數(shù)，那么，=()=，是離散型隨機變量。,設(shè)離散型隨機變量的全部取值為x1,x2,xn,且P(=xi)=pi，i=1,2,則稱上式為的概率分布律。也可寫作：,離散型隨機變量的分布列,稱為的分布列,顯然,在試驗1中，假設(shè)兩次射擊是相互獨立的，且是否命中目標的概率各為0.5，則的分布列為,例,退化分布,如隨機變量只取常數(shù)C，則稱服從退化分布。顯然P(=C)=1,退化分布也稱為單點分布,3.4二項分布與泊松分布,二項概率公式,設(shè)在一次試驗中，事件出現(xiàn)的概率為p(0<p<1)，則在n重伯努利試驗中，事件出現(xiàn)次數(shù)的分布律為,隨機變量所服從的分布稱為二項分布。以B(n，p)表示。,若B(n，p)，則有下式成立：,1),2),3),定理1,兩點分布,特別，稱n=1的二項分布為兩點分布，其分布列為,定理2,設(shè)B(n,p)，令k0=Int(n+1)p則k=k0時，b(k;n,p)的值最大。若(n+1)p為整數(shù)，則b(k0;n,p)=b(k01;n,p),證明：,故,例1已知發(fā)射一枚地對空導(dǎo)彈可“擊中”來犯敵機的概率是0.96，問在同樣條件下需發(fā)射多少枚導(dǎo)彈才能保證至少有一枚導(dǎo)彈擊中敵機的概率大于0.999?,解設(shè)需要發(fā)射n枚導(dǎo)彈，則擊中敵機的導(dǎo)彈數(shù)是隨機變量B（n，0.96）由題意有P（1）=1-(1-0.96)n0.999故nlg0.001/lg0.04=2.15取n=3，即需要發(fā)射3枚導(dǎo)彈。,例2（漁佬問題）漁佬想知道自己承包的魚塘中魚的條數(shù)。漁佬先從塘中網(wǎng)起100條魚做上記號后放回塘里，過一段時間（使其均勻）再從中網(wǎng)起80條，發(fā)現(xiàn)其中有記號者為2條，求魚的總數(shù)N。,解設(shè)有記號的魚的條數(shù)為，則服從二項分布B(80，100/N)。,由定理2，撈起的魚最有可能是Int(n+1)p)條，因此(80+1)100/N=2由此解得N=4050（條）,若離散型隨機變量的分布律為,其中0是常數(shù)，則稱服從泊松分布。記為P()，稱為參數(shù)。,泊松分布,因為0，故有P(=k)0。(k=0,1,2,),即泊松分布的分布律，具備概率函數(shù)兩性質(zhì)。,在任給一段固定的時間間隔內(nèi)，來到公共設(shè)施（公共汽車站、商店、電話交換臺等）要求給予服務(wù)的顧客個數(shù)；炸彈爆炸后落在平面上某區(qū)域的碎彈片個數(shù)；落在顯微鏡片上的某種細菌個數(shù),在實際問題中，有很多隨機變量都近似服從泊松分布。例如:,由定理知：泊松分布是二項分布的極限分布,設(shè)隨機變量n服從二項分布B(n,pn)(n=1,2,)，其中概率pn與有關(guān)，并且滿足,泊松定理,證明：,其中為一個定數(shù)。,對任意固定的非負整數(shù)，有,故得,在應(yīng)用中，當很大（n10），很小(0.1)，我們有下面的泊松近似公式,其中=np,解設(shè)為擊中目標的彈數(shù)，則B(5000,0.001)，,例3設(shè)每次擊中目標的概率為0.001，且各次射擊是否中目標可看作相互沒有影響，如果射擊5000次，試求：()擊中12彈的概率；()至少擊中12彈的概率。,下面用近似公式計算。其中=np=50000.001=5,（）至少擊中12彈的概率為：,（）擊中12彈的概率為：,例4設(shè)有同類設(shè)備臺，各臺工作相互獨立的，發(fā)生故障的概率都是0.01，并且一臺設(shè)備的故障可由一個人來處理，試求（）一個人負責維修臺設(shè)備時，設(shè)備發(fā)生故障而不能及時維修的概率；（）由三個人共同負責維修臺設(shè)備時，設(shè)備發(fā)生故障而不能及時維修的概率。,解：(1)設(shè)表示同一時刻發(fā)生故障的設(shè)備臺數(shù)。在同一時刻至少有臺設(shè)備發(fā)生故障，便不能及時處理。,若用泊松近似公式(=np=200.01=0.2)，則有,（2）設(shè)表示同一時刻發(fā)生故障的設(shè)備數(shù)，則B(80,0.01)。當同一時刻至少有臺設(shè)備發(fā)生故障時，就不能及時維修。用泊松近似公式(=np=800.01=0.8)，得,計算結(jié)果表明，由三人共同負責維修臺，每人平均約維修臺，比一個單獨維修臺更好，既節(jié)約了人力又提高了工作效率。,例5某商店由過去的銷售記錄表明，某種商品每月的銷售件數(shù)可以用參數(shù)=7的泊松分布來描述，為了以0.999以上的把握保證不脫銷，問該商店在月底至少應(yīng)進這種商品多少件？,解：設(shè)該商店每月銷售件，月底進貨為a件，則當a時，就不會脫銷。根據(jù)P(7)得,查表得a+1=17即a=16,這家商店至少要在月底進16件這種商品。,幾何分布,在“成功”概率是p的貝努利試驗中，若以記首次出現(xiàn)“成功”的試驗次數(shù)。則所服從的分布便是幾何分布。,顯然,例6一個人要開門，他共有n把鑰匙，其中僅有一把是能開此門的，現(xiàn)隨機地從中取出一把鑰匙來試開門，在試開時每一把鑰匙均以1/n的概率被取用，問此人直到第S次試開時方才成功的概率是多少？,解,A=試開門成功,幾何分布具有如下特征：如的分布律為g(k;p)，則對任意正整數(shù)s、t，有P(s+ts)=P(t)稱幾何分布具有“無記憶”性。,下面證明上式。,證明,超幾何分布,例7在一箱N件裝的產(chǎn)品中混進了M件次品，今從中抽取n件(nM)，求從中查出次品的件數(shù)的概率分布.,解,負二項分布,在“成功”概率是p的貝努利試驗中，出現(xiàn)第r次成功時所作的試驗次數(shù)所服從的分布稱為負二項分布.,由于f(k;r,p)是負指數(shù)二項式展開式中的項，故所服從的分布稱為負二項分布。由此也可以證明,證明,例8兩個同類型的系統(tǒng)，開始時各有N個備件，一旦出現(xiàn)故障，就要更換一個備件。假定兩個系統(tǒng)的運行條件相同，不同時發(fā)生故障。試求當一個系統(tǒng)需用備件而發(fā)現(xiàn)備件已用光時，另一系統(tǒng)尚有r個備件的概率Ur.(r=0,1,N),解只考慮出故障的時刻,故障的出現(xiàn)看作是貝努利試驗，有,要第一個系統(tǒng)缺備件而第二個系統(tǒng)剩r件，應(yīng)該是A出現(xiàn)N1次（前N次用去所有N個備件，最后一次故障發(fā)生時缺乏調(diào)換的備件）而A出現(xiàn)Nr次，這事件的概率為：,對于第二個系統(tǒng)先缺備件的情況可同樣考慮，因此所求概率Ur為：,連續(xù)型隨機變量,定義設(shè)隨機變量的分布函數(shù)為F(x)，若存在非負函數(shù)f(x)，使得對一切實數(shù)，關(guān)系式,3.5連續(xù)型隨機變量,都成立，則稱為連續(xù)型隨機變量，f(x)稱為的密度函數(shù)。,可以證明，連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)是連續(xù)函數(shù)。,密度函數(shù)的性質(zhì),定理密度函數(shù)f(x)具有下列性質(zhì)：（1）（2）（3）（4）若f(x)在點處連續(xù)，則有F(x)=f(x),證明（）由定義知f(x)0顯然。,（）由分布函數(shù)性質(zhì)知，,由廣義積分概念與定義知，,（）,對任意類型的隨機變量均成立,(),例：設(shè)是連續(xù)型隨機變量，c為任意常數(shù)，試證Pc0,證明對任意的h，有,注：由Pc0，可知連續(xù)型隨機變量有,（）求常數(shù)、；（）判斷是否是連續(xù)型隨機變量；（）求P1<1/2,例：設(shè)隨機變量的分布函數(shù)為,解：（）由分布函數(shù)性質(zhì)得,（）因為所以F(x)不是連續(xù)函數(shù)，從而不是連續(xù)型隨機變量。,（）,均勻分布,設(shè)a、b為有限數(shù)，且a<b。如果隨機變量分布密度為,則稱在a,b上服從均勻分布，記作U(a，b),均勻分布隨機變量的分布函數(shù)為：,3.6正態(tài)分布,若隨機變量的分布密度,其中、0為常數(shù)，則稱服從參數(shù)為、的正態(tài)分布，簡記為N(,2)。,的分布函數(shù)為,特別地稱N(0,1)為標準正態(tài)分布，其概率密度及分布函數(shù)常記為：,如N(,2)，有,證明：,證明：,例：設(shè)N(1，4)，求P1<<2,解：,即x軸是f(x)的漸近線。,正態(tài)分布的密度函數(shù)與分布函數(shù)有下列性質(zhì)：,（1）f(x)和F(x)處處大于零，且具有各階連續(xù)導(dǎo)數(shù)；,（2）f(x)在區(qū)間(，)內(nèi)單調(diào)增加，在區(qū)間(，+)內(nèi)單調(diào)減少，在x=處取得最大值,x=,f(x),x,（3）f(x)的圖形關(guān)于直線x=對稱，即,（4）F(x)=1F(u+x),特別,特別,（5）,(x),x=,固定時，的值越小，f(x)的圖形就愈尖、越狹。的值越大，f(x)的圖形就愈平、越寬。,證明：,證明：,例1：設(shè)N(0,1)，借助于標準正態(tài)分布的分布函數(shù)(x)的表計算：,（1）,解：,（2）,設(shè)N(0,1)，求使Px=0.1的x。,例2,解：,x=1.645,例3設(shè)已知測量誤差N（0，102），現(xiàn)獨立重復(fù)進行100次測量，求誤差絕對值超過19.6的次數(shù)不少于3的概率。,解：,第一步:以A表示一次測量中“誤差絕對值超過19.6”的事件，則有,第二步:以表示100次獨立重復(fù)測量中，事件A發(fā)生的次數(shù)，則B（100，0.05），所求概率是P（3）=1P（<3）,第三步:由于n=100較大而p=0.05很小，故二項分布可用=np=5的泊松分布近似代替，查泊松分布表可得,例4公共汽車車門的高度是按男子與車門頂碰頭的機會在0.01以下來設(shè)計的，設(shè)男子身高服從=170cm、=6cm的正態(tài)分布，即N（170，62），試確定車門的高度。,解：,設(shè)車門的高度為hcm，根據(jù)設(shè)計要求應(yīng)有,例5：從南郊某地乘車前往北區(qū)火車站搭火車有兩條路線可走，第一條穿過市區(qū)，路程較短，但交通擁擠，所需時間（單位分鐘）服從正態(tài)分布N(50,100)，第二條沿環(huán)城公路走，路線較長，但意外堵塞較少，所需時間（單位分鐘）服從正態(tài)分布N(60,16)，（1）如有70分鐘可用，問應(yīng)走哪一條路線？（2）如只有65分鐘可用，問應(yīng)走哪一條路線？,解：,指數(shù)分布,若隨機變量具有分布密度為,則稱服從參數(shù)為a的指數(shù)分布，容易求得它的分布函數(shù)為,例6設(shè)到某服務(wù)窗口辦事，需排隊等候。若等待的時間是指數(shù)分布隨機變量（單位:min），則其概率密度為,某人到此窗口辦事，在等待15分鐘后仍未能得到接待時，他就憤然離去，若此人在一個月內(nèi)共去該處10次。,試求:（1）有2次憤然離去的概率;（2）最多有2次憤然離去的概率;（3）至少有2次憤然離去的概率。,解首先可求出他在任一次排隊服務(wù)時，以憤然離去而告終的概率。,在10次排隊中憤然離去的次數(shù)B（10，p），即服從n=10，p=0.2231的二項分布，于是所求的概率分別為,3.7一維隨機變量函數(shù)的分布,如是隨機變量，在y=f(x)連續(xù)、分段連續(xù)或單調(diào)時，則=f()也是隨機變量。,例1設(shè)的分布律為,解,將表中取相同值的部分作適當并項得,0.2,0,將表中取相同值的部分作適當并項得,0.4,0.4,P,4,1,2,P,2-1,0.25,3,0.2,1,0.2,0.2,0.15,1,3,5,將表中取相同值的部分作適當并項得,0.4,0.4,0.2,P,3,2,1,+1,例2設(shè)隨機變量具有連續(xù)的分布密度(y)，試求=a+b（其中a，b是常數(shù)，并且a0）的分布密度(y)。,解：,例3設(shè)隨機變量服從正態(tài)分布N(,2)，求的分布密度(y)。,解：,證明：,例4,作業(yè)：,4、5、7、15、18、22、27,作業(yè)評講,1、解,2、解,12、解,以表示300臺分機中，向總機要外線的分機數(shù)。,14、解,15、解,16、解,18、解,19、解,23、解,25、解,27、解,28、解,29、解,30、解,