第二講 和差倍問題

第二講 和、差與倍數(shù)的應(yīng)用題做應(yīng)用題是一種很好的思維鍛煉.做應(yīng)用題不但要會算，而且要 多思考，善于發(fā)現(xiàn)題目中的數(shù)量關(guān)系，可以說做應(yīng)用題是運用數(shù)學(xué)的開始.加、減、乘是最基本的運算，和、差、倍數(shù)是兩數(shù)之間最簡單的數(shù)量關(guān)系.應(yīng)用題的訓(xùn)練，就從這一、和差問題說到“和差問題”，小學(xué)高年級的同學(xué)，人人都會說：“我會！”和差問題的計算太簡單了.是的，知道兩個數(shù)的和與差，求兩數(shù)，有計算公式：大數(shù)=（和+差）÷2小數(shù)=（和-差）÷2會算，還要會靈活運用，要把某些應(yīng)用題轉(zhuǎn)化成和差問題來算.先看幾個簡單的例子.例1張明在期末考試時，語文、數(shù)學(xué)兩門功課的平均得分是95分，數(shù)學(xué)比語文多得8分，張明這兩門功課的成績各是多少分？解：95乘以2，就是數(shù)學(xué)與語文兩門得分之和，又知道數(shù)學(xué)與語文得分之差是8.因此數(shù)學(xué)得分=（95×28）÷299.語文得分=(95×2-8）÷2 91.答：張明數(shù)學(xué)得99分，語文得91分.注：也可以從 95×2-9991求出語文得分.例2有 A，B，C三個數(shù)，A加 B等于 252，B加 C等于 197， C加 A等于 149，求這三個數(shù).解：從B+C197與A+C149，就知道B與A的差是197-149，題目又告訴我們，B與A之和是252.因此B=（252 197-149）÷ 2 150，A252-150102，C149-10247.答：A，B，C三數(shù)分別是102，150，47.注：還有一種更簡單的方法（A+B）（BC）（CA）2×（ABC）.上面式子說明，三數(shù)相加再除以2，就是三數(shù)之和.ABC（252197149）÷2299.因此C299-25247，B299-149150，A299-197102.例3 甲、乙兩筐共裝蘋果75千克，從甲筐取出5千克蘋果放入乙筐里，甲筐蘋果還比乙筐多7千克.甲、乙兩筐原各有蘋果多少千克？解：畫一張簡單的示意圖，就可以看出，原來甲筐蘋果比乙筐多57 5 17（千克）因此，甲、乙兩數(shù)之和是 75，差為17.甲筐蘋果數(shù)=（7517）÷2 46（千克）.乙筐蘋果數(shù)=75-4629（千克）.答：原來甲筐有蘋果46千克，乙筐有蘋果29千克.例4 張強用270元買了一件外衣，一頂帽子和一雙鞋子.外衣比鞋貴140元，買外衣和鞋比帽子多花210元，張強買這雙鞋花多少錢？解：我們先把外衣和鞋看成一件東西，它與帽子的價格和是 270元，差是 210元.外衣和鞋價之和=（270 210）÷2 240（元）.外衣價與鞋價之差是140，因此鞋價=（240-140）÷250（元）.答：買這雙鞋花50元.再舉出三個較復(fù)雜的例子.如果你也能像下面的解答那樣計算，那么就可以說，“和差問題”的解法，你已能靈活運用了.例5 李叔叔要在下午3點鐘上班，他估計快到上班時間了，到屋里看鐘，可是鐘早在12點10分就停了.他開足發(fā)條卻忘了撥指針，匆匆離家，到工廠一看鐘，離上班時間還有10分鐘.夜里11點下班，李叔叔馬上離廠回到家里，一看鐘才9點整.假定李叔叔上班和下班在路上用的時間相同，那么他家的鐘停了多少時間（上發(fā)條所用時間忽略不計）？解：到廠時看鐘是2點50分，離家看鐘是12點10分，相差2小時40分，這是停鐘的時間和路上走的時間加在一起產(chǎn)生的.就有鐘停的時間+路上用的時間=160（分鐘）.晚上下班時，廠里鐘是11點，到家看鐘是9點，相差2小時.這是由于鐘停的時間中，有一部分時間，被回家路上所用時間抵消了.因此鐘停的時間-路上用的時間=120（分鐘）.現(xiàn)在已把問題轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)的和差問題了.鐘停的時間=（160120）÷ 2 140（分鐘）.路上用的時間=160-14020（ 分鐘）.答：李叔叔的鐘停了2小時20分.還有一種解法，可以很快算出李叔叔路上所用時間：以李叔叔家的鐘計算，他在12點10分出門，晚上9點到家，在外共8小時50分鐘，其中8小時上班，10分鐘等待上班，剩下的時間就是他上班來回共用的時間，所以上班路上所用時間=（8小時50分鐘-8小時-10分鐘）÷220（分鐘）.鐘停時間=2小時 40分鐘-20分鐘=2小時20分鐘.例6 小明用21.4元去買兩種賀卡，甲卡每張1.5元，乙卡每張0.7元，錢恰好用完.可是售貨員把甲卡張數(shù)算作乙卡張數(shù)，把乙卡張數(shù)算作甲卡張數(shù)，要找還小明3.2元.問小明買甲、乙卡各幾張？解：甲卡與乙卡每張相差 1.5-0.7 0. 8（元），售貨員錯找還小明3.2元，就知小明買的甲卡比乙卡多3.2÷0.84（張）.現(xiàn)在已有兩種卡張數(shù)之差，只要求出兩種卡張數(shù)之和問題就解決了.如何求呢？請注意1.5×甲卡張數(shù)+0.7×乙卡張數(shù)=21.4.1.5×乙卡張數(shù)+0.7×甲卡張數(shù)=21.4-3.2.從上面兩個算式可以看出，兩種卡張數(shù)之和是21.4（21.4-3.2）÷（1.5 0.7） 18（張）.因此，甲卡張數(shù)是（18 4）÷ 2 11（張）.乙卡張數(shù)是 18-11 7（張）.答：小明買甲卡11張、乙卡7張.注：此題還可用雞兔同籠方法做，請見下一講.例7有兩個一樣大小的長方形，拼合成兩種大長方形，如右圖.大長方形（A）的周長是240厘米，大長形（B）的周長是258厘米，求原長方形的長與寬各為多少厘米？解：大長方形（A）的周長是原長方形的長×2+寬×4.大長方形（B）的周長是原長方形的長×4+寬×2.因此，240+258是原長方形的長×6+寬×6.原長方形的長與寬之和是（240258）÷683（厘米）.原長方形的長與寬之差是（258-240）÷29（厘米）.因此，原長方形的長與寬是長：（83 9）÷2 46（厘米）.寬：（83-9）÷237（厘米）.答：原長方形的長是46厘米、寬是37厘米二、倍數(shù)問題當(dāng)知道了兩個數(shù)的和或者差，又知道這兩個數(shù)之間的倍數(shù)關(guān)系，就能立即求出這兩個數(shù).小學(xué)算術(shù)中常見的“年齡問題”是這類問題的典型.先看幾個基礎(chǔ)性的例子.例8 有兩堆棋子，第一堆有87個，第二堆有69個.那么從第一堆拿多少個棋子到第二堆，就能使第二堆棋子數(shù)是第一堆的3倍.解：兩堆棋子共有8769156（個）.為了使第二堆棋子數(shù)是第一堆的3倍，就要把156個棋子分成134（份），即每份有棋子156 ÷（13）39（個）.第一堆應(yīng)留下棋子39個，其余棋子都應(yīng)拿到第二堆去.因此從第一堆拿到第二堆的棋子數(shù)是87-3948（個）.答：應(yīng)從第一堆拿48個棋子到第二堆去.例9 有兩層書架，共有書173本.從第一層拿走38本書后，第二層的書比第一層的2倍還多6本.問第二層有多少本書？解：我們畫出下列示意圖：我們把第一層（拿走38本后）余下的書算作1“份”，那么第二層的書是2份還多6本.再去掉這6本，即173-38-6129（本）恰好是3份，每一份是129÷3=43（本）.因此，第二層的書共有43×2 + 692（本）.答：書架的第二層有92本書.說明：我們先設(shè)立“1份”，使計算有了很方便的計算單位.這是解應(yīng)用題常用的方法，特別對倍數(shù)問題極為有效.把份數(shù)表示在示意圖上，更是一目了然.例10 某小學(xué)有學(xué)生975人.全校男生人數(shù)是六年級學(xué)生人數(shù)的4倍少23人，全校女生人數(shù)是六年級學(xué)生人數(shù)的3倍多11人.問全校有男、女生各多少人？解：設(shè)六年級學(xué)生人數(shù)是“1份”.男生是4份-23人.女生是3份+11人.全校是7份-（23-11）人.每份是（975+12）÷7141（人）.男生人數(shù)=141×4-23541（人）.女生人數(shù)=975-541434（人）.答：有男生541人、女生434人.例9與例10是一個類型的問題，但稍有差別.請讀者想一想，“差別”在哪里？70雙皮鞋.此時皮鞋數(shù)恰好是旅游鞋數(shù)的2倍.問原來兩種鞋各有幾雙？解：為了計算方便，把原來旅游鞋算作4份，售出1份，還有3份.那么原有皮鞋增加70雙后將是3×2=6（份）.40070將是 3+1610（份）.每份是（40070）÷1047（雙）.原有旅游鞋 47×4=188（雙）.原有皮鞋 47×6-70212 （雙）.答：原有旅游鞋188雙，皮鞋212雙.設(shè)整數(shù)的份數(shù)，使計算簡單方便.小學(xué)算術(shù)中小數(shù)、分?jǐn)?shù)盡可能整數(shù)化，使思考、計算都較簡捷.因此，“盡可能整數(shù)化”將會貫穿在以后的章節(jié)中.下面例子將是本節(jié)的主要內(nèi)容年齡問題.年齡問題是小學(xué)算術(shù)中常見的一類問題，這類題目中常常有“倍數(shù)”這一條件.解年齡問題最關(guān)鍵的一點是：兩個人的年齡差總保持不變.例12 父親現(xiàn)年50歲，女兒現(xiàn)年14歲.問幾年前，父親的年齡是女兒年齡的5倍？解：父女相差36歲，這個差是不變的.幾年前還是相差36歲.當(dāng)父親的年齡恰好是女兒年齡的5倍時，父親仍比女兒大36歲.這36歲是女兒年齡的（5-1）倍.36÷（5-1）9.當(dāng)時女兒是9歲，14-95，也就是5年前.答：5年前，父親年齡是女兒年齡的5倍.例13 有大、小兩個水池，大水池里已有水 300立方米.小水池里已有水70立方米.現(xiàn)在往兩個水池里注入同樣多的水后，大水池水量是小水池水量的3倍.問每個水池注入了多少立方米的水.解：畫出下面示意圖：我們把小水池注入水后的水量算作1份，大水池注入水后的水量就是3份.從圖上可以看出，因為注入兩個水池的水量相等，所以大水池比小水池多的水量（300-70）是2份.因此每份是（300-70）÷2 115（立方米）.要注入的水量是115-70=45 （立方米）·答：每個水池要注入45立方米的水.例13與年齡問題是完全一樣的問題.“注入水”相當(dāng)于年齡問題中的“幾年后”.例14 今年哥倆的歲數(shù)加起來是55歲.曾經(jīng)有一年，哥哥的歲數(shù)與今年弟弟的歲數(shù)相同，那時哥哥的歲數(shù)恰好是弟弟歲數(shù)的兩倍.哥哥今年幾歲？解：當(dāng)哥哥的歲數(shù)恰好是弟弟歲數(shù)的2倍時，我們設(shè)那時弟弟的歲數(shù)是1份，哥哥的歲數(shù)是2份，那么哥哥與弟弟的歲數(shù)之差是1份.兩人的歲數(shù)之差是不會變的，今年他們的年齡仍相差1份.題目又告訴我們，那時哥哥歲數(shù)，與今年弟弟的歲數(shù)相同，因此今年弟弟的歲數(shù)也是2份，而哥哥今年的歲數(shù)應(yīng)是213（份）.今年，哥弟倆年齡之和是32=5（份）.每份是 55÷5 11（歲）.哥哥今年的歲數(shù)是 11×333（歲）.答：哥哥今年33歲.作為本節(jié)最后一個例子，我們將年齡問題進(jìn)行一點變化.例15 父年38歲，母年36歲，兒子年齡為11歲.問多少年后，父母年齡之和是兒子年齡的4倍？解：現(xiàn)在父母年齡之和是38 36 74.現(xiàn)在兒子年齡的 4倍是 11×444.相差74-44 30.從4倍來考慮，以后每年長1×44，而父母年齡之和每年長112.為追上相差的30，要30÷（4-2）15（年）·答：15年后，父母年齡之和是兒子年齡的4倍.請讀者用例15的解題思路，解習(xí)題二的第7題.也許就能完全掌握這一解題技巧了.請讀者想一想，例15的解法，與例12的解法，是否不一樣？各有什么特點？我們也可以用例15解法來解例12.具體做法有下面算式：（14 ×5-50）÷（5-1） 5（年）.不過要注意 14×5比 50多，因此是 5年前.三、盈不足問題在我國古代的算書中，九章算術(shù)是內(nèi)容最豐富多彩的一本.在它的第七章，講了一類盈不足問題，其中第一題，用現(xiàn)代的語言來敘述，就是下面的例題.例16 有一些人共同買一些東西，每人出8元，就多了3元；每人出7元，就少了4元。那么有多少人？物價是多少？解：“多3元”與“少4元”兩者相差347（元）.每個人要多出 8-71（元）.因此就知道，共有7÷17（人），物價是8×7-353（元）.答：共有 7個人一起買，物價是 53元.上面的34可以說是兩個總數(shù)的相差數(shù).而8-7是每份的相差數(shù).計算公式是總數(shù)相差數(shù)÷每份相差數(shù)=份數(shù)這樣的問題在內(nèi)容上有很多變化，形成了一類問題，我們通稱為“盈不足”問題.請再看一些例子.例17 把一袋糖分給小朋友們，每人分10粒，正好分完；如果每人分16粒，就有3個小朋友分不到糖.這袋糖有多少粒？解一：3位小朋友本來每人可以分到10粒，他們共有的 10 ×3 30（粒），分給其余小朋友，每人就可以增加16-10=6（粒），因此其余小朋友有10×3÷（16-10） 5（人）.再加上這 3位小朋友，共有小朋友 53 8（人）.這袋糖有10×（5 3） 80（粒）.解二：如果我們再增加 16×3粒糖，每人都可以增加（1-10）粒，因此共有小朋友16×3÷（16-10）=8（人）·這袋糖有80粒.答：這袋糖有80粒.這里， 16×3是總差，（16-10）是每份差， 8是份數(shù).例18 有一個班的同學(xué)去劃船，他們算了一下，如果增加一條船，每條船正好坐6人；如果減少一條船，每條船正好坐9人.這個班共有多少名同學(xué)？解：如果每條船坐6人，就要增加一條船，也就是現(xiàn)在有6個人無船坐；如果每條船坐9人，可以減少一條船，也就是還可以多來9個人坐船.可以坐船的人數(shù)，兩者相差 6 9 15（人）.這是由于每條船多坐（9-6）人產(chǎn)生的，因此共有船（6 9）÷(9-6） 5（條）·這個班的同學(xué)有 6×5 6 36（人）.答：這個班有36人.例19 小明從家去學(xué)校，如果每分鐘走 80米，能在上課前6分鐘到校，如果每分鐘走50米，就要遲到3分鐘，那么小明的家到學(xué)校的路程有多遠(yuǎn)？解一：以小明從家出發(fā)到上課這一段時間來算，兩種不同速度所走的距離，與小明家到學(xué)校的距離進(jìn)行比較：如果每分鐘走 80米，就可以多走 80×6（米）；如果每分鐘走 50米，就要少走 50×3（米）.請看如下示意圖：因此我們可以求出，小明從家出發(fā)到上課這段時間是（80×6 50×3） ÷（80- 50） 21（分鐘）.家至學(xué)校距離是800×（21-6） 1200（米）·或 50 ×（21+3） 1200（米）.答：小明家到學(xué)校的路程是1200米.解二：以每分鐘80米走完家到學(xué)校這段路程所需時間，作為思考的出發(fā)點.用每分鐘 50米速度，就要多用 63= 9（分種）.這9分鐘所走的 50×9（米），恰好補上前面少走的.因此每分鐘80米所需時間是50×（63）÷（80- 50） 15（分鐘）·再看兩個稍復(fù)雜的例子.例20 一些桔子分給若干個人，每人5個還多余10個桔子.如果人數(shù)增加到3倍還少5個人，那么每人分2個桔子還缺少8個，問有桔子多少個？解：使人感到困難的是條件“3倍還少5人”.先要轉(zhuǎn)化這一條件.假設(shè)還有 10個桔子， 10 2×5，就可以多有 5個人，把“少5人”這一條件暫時擱置一邊，只考慮3倍人數(shù)，也相當(dāng)于按原人數(shù)每人給2×3=6（個）.每人給5個與給6個，總數(shù)相差10 10 8 28 (個）.所以原有人數(shù) 28÷（6-5)=28（人）.桔子總數(shù)是 5 ×28 10 150（個）.答：有桔子150個.例21 有一些蘋果和梨.如果按每1個蘋果2個梨分堆，梨分完時還剩5個蘋果，如果按每3個蘋果5個梨分堆，蘋果分完了還剩5個梨.問蘋果和梨各多少？解一：我們設(shè)想再有10個梨，與剩下5個蘋果一起，按“1個蘋果、2個梨”前一種分堆，都分完.以后一種“3個蘋果、5個梨”分堆來看，蘋果總數(shù)能被3整除.因此可以把前一種分堆，每3堆并成一大堆，每堆有3個蘋果，2×36（個）梨.與后一種分堆比較：每堆蘋果都是3個.而梨多1個（6-51）.梨的總數(shù)相差設(shè)想增加 10個+剩下5個=15個.（10 5）÷（6- 5） 15.就知有15個大堆，蘋果總數(shù)是15×3 45（個）.梨的總數(shù)是（455）×280（個）.答：有蘋果45個、梨80個.解二：用圖解法.前一種分堆，在圖上用梨2份，蘋果1份多5個來表示.后一種分堆，只要添上3個蘋果，就可與剩的5個梨又組成一堆.梨算作5份，蘋果恰好是3份.將上、下兩圖對照比較，就可看出， 5 3 8（個）是下圖中“半份”，即 1份是 16.梨是 5份，共有 16×5 80（個）.蘋果有 16×2.5 5 45（個）.