概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題 三解析【哈工大版】

習 題 三 1擲一枚非均質(zhì)的硬幣，出現(xiàn)正面的概率為，若以表示直至擲到正、反面都出現(xiàn)時為止所需投擲次數(shù)，求的分布列。 解 表示事件：前次出現(xiàn)正面，第次出現(xiàn)反面，或前次出現(xiàn)反面，第次出現(xiàn)正面，所以 2袋中有個黑球個白球，從袋中任意取出個球，求個球中黑球個數(shù)的分布列。 解 從個球中任取個球共有種取法，個球中有個黑球的取法有，所以的分布列為 ， 此乃因為，如果，則個球中可以全是白球，沒有黑球，即；如果則個球中至少有個黑球，此時應從開始。 3一實習生用一臺機器接連生產(chǎn)了三個同種零件，第個零件是不合格品的概率，以表示三個零件中合格品的個數(shù)，求的分布列。 解 設第個零件是合格品。則 ， ， ， .即的分布列為 . 4一汽車沿一街道行駛，需通過三個設有紅綠信號燈的路口，每個信號燈為紅或綠與其他信號燈為紅或綠相互獨立，且每一信號燈紅綠兩種信號顯示的概率均為，以表示該汽車首次遇到紅燈前已通過的路口的個數(shù)，求的概率分布。 解 (第一個路口即為紅燈), (第一個路口為綠燈，第二個路口為紅燈)，依此類推，得的分布列為 . 5將一枚硬幣連擲次，以表示這次中出現(xiàn)正面的次數(shù)，求的分布列。 解 為重貝努里試驗中成功出現(xiàn)的次數(shù)，故，的分布列為 6一電話交換臺每分鐘接到的呼叫次數(shù)服從參數(shù)為4的泊松分布，求（1）每分鐘恰有8次呼叫的概率；（2）每分鐘的呼叫次數(shù)大于10的概率。 解 設為每分鐘接到的呼叫次數(shù)，則 （1） （2） 7某商店每月銷售某種商品的數(shù)量服從參數(shù)為5的泊松分布，問在月初至少庫存多少此種商品，才能保證當月不脫銷的概率為0.99977以上。 解 設為該商品的銷售量，為庫存量，由題意 即 查泊松分布表知，故月初要庫存14件以上，才能保證當月不脫銷的概率在0.99977以上。 8已知離散型隨機變量的分布列為：，試寫出的分布函數(shù)。 解 的分布列為 所以的分布函數(shù)為 9設隨機變量的概率密度為 求：（1）常數(shù)；（2）使成立的. 解 （1），； （2）， 可見 ， 。 10設隨機變量的分布函數(shù)為 ，求：（1）系數(shù)與；（2）；（3）的概率密度。 解 （1）由分布函數(shù)的性質(zhì) 于是 ，所以的分布函數(shù)為 ， （2）； （3）的概率密度為， . 11已知隨機變量的概率密度為，.求的分布函數(shù). 解 12設隨機變量的概率密度為 求的分布函數(shù). 解 的圖形為 的分布函數(shù)為 012x(1，1)f(x) 13 13設電子管壽命的概率密度為若一架收音機上裝有三個這種管子，求（1）使用的最初150小時內(nèi)，至少有兩個電了管被燒壞的概率；（2）在使用的最初150小時內(nèi)燒壞的電子管數(shù)的分布列；（3）的分布函數(shù)。 解 為在使用的最初150小時內(nèi)燒壞的電子管數(shù)，其中 ， （1）所求概率為 ； （2）的分布列為，即 . （3）的分布函數(shù)為 14設隨機變量的概率密度為 現(xiàn)對進行次獨立重復觀測，以表示觀測值不大于0.1的觀測次數(shù)，試求隨機變量的概率分布。 解 ，其中 ，所以的概率分布列為 . 15設隨機變量，求方程有實根的概率. 解 設方程有實根，則 發(fā)生 即 ，因，所以 發(fā)生所以 . 16設隨機變量，現(xiàn)對進行3次獨立觀測，試求至少有兩次觀測值大于3的概率. 解 設為三次觀測中，觀測值大于3的觀測次數(shù)，則，其中 ，所求概率為. 17設顧客在某銀行窗口等待服務的時間（單位：分），服從參數(shù)為的指數(shù)分布。若等待時間超過10分鐘，則他就離開。設他一個月內(nèi)要來銀行5次，以表示一個月內(nèi)他沒有等到服務而離開窗口的次數(shù)，求的分布列及。 解 由題意，其中 ，于是的分布為 . 18一大型設備在任何長為的時間內(nèi)發(fā)生故障的次數(shù)服從參數(shù)為的泊松分布。（1）求相繼兩次故障之間時間間隔的概率分布；（2）求在設備已經(jīng)無故障工作了8小時的情況下，再無故障運行8小時的概率。 解 （1）設的分布函數(shù)為，則 事件表示兩次故障的間隔時間超過，也就是說在時間內(nèi)沒有發(fā)生故障，故，于是，可見，的分布函數(shù)為 即服從參數(shù)為的指數(shù)分布。 （2）所求概率為. 19設隨機變量。求 （1）；（2）常數(shù)，使； （3）常數(shù)，使。 解 （1） ； （2），查表知 ，所以； （3） 所以 ，查正態(tài)分布表知 ，故 。 20設隨機變量，且，求。 解 ，所以 ，。 21某地抽樣結(jié)果表明，考生的外語成績（百分制）近似服從正態(tài)分布，平均成績（即參數(shù)之值）為72分，96分以上的占考生總數(shù)的2.3%，試求考生的外語成績在60分至84分之間的概率。 解 所求概率為 22假設測量的隨機誤差，試求在100次重復測量中，至少有三次測量誤差的絕對值大于19.6的概率，并利用泊松分布求出的近似值。 解 設為誤差的絕對值大于19.6的測量次數(shù)，則，其中 ，所求概率為利用泊松定理. 23在電源電壓不超過，在和超過三種情況下，某種電子元件，損壞的概率分別為0.1，0.001和0.2，假設電源電壓服從正態(tài)分布，試求：（1）該電子元件損壞的概率；（2）該電子元件損壞時，電源電壓在200240的概率。 解 設電子元件損壞，電源電壓在第檔，則 （1） （2）. 24假設隨機變量的絕對值不大于1；，在事件出現(xiàn)的條件下，在內(nèi)任意子區(qū)間上取值的概率與該子區(qū)間的長度成正比。試求：（1）的分布函數(shù)；（2）取負值的概率. 解1 設的分布函數(shù)為，則 當 時，且， 當 時， ， 當 時，由題意 ，而 ，所以 。于是 此時 ，故的分布函數(shù)為 （2）. 解2 設的分布函數(shù)為，則 當 時， 且 當 時， 當時，設，且，由題意 ，即 由此得 ，兩邊同除以得 令取極限得 兩邊積分得 ，由及得 解之得 故 ，綜上所述，的分布函數(shù)為 （2） 25已知離散型隨機變量的分布列為 求的分布列. 解 的分布列為 . 26設隨機變量的概率密度為 求的概率密度 解1 當時函數(shù)單調(diào)增，反函數(shù)為，于是的概率密度為 解2 設的分布函數(shù)為，則 27設隨機變量的概率密度為 求隨機變量的概率密度 解1 函數(shù)嚴格單調(diào)，反函數(shù)為，則 解2 設的分布函數(shù)為，則 ，所以。 28設，求（1）的概率密度；（2）的概率密度。 解 的密度為 （1）在上單調(diào)增，反函數(shù)為，所以的密度為 （2）在上單調(diào)減，反函數(shù)為，所以的密度為 29設，求的概率密度。 解1 函數(shù)在上單調(diào)減，反函數(shù)為， 在上單調(diào)增，反函數(shù)為，所以的密度為 即 30設隨機變量服從參數(shù)為2的指數(shù)分布，試證在區(qū)間上服從均勻分布。 證 只須證明的分布函數(shù)為 31設隨機變量的概率密度為 求的概率密度. 解1 函數(shù)在上單調(diào)增，反函數(shù)為 在上單調(diào)減，反函數(shù)為.的概率密度為： 解2 設的分布函數(shù)為，則 所以 32設隨機變量的分布函數(shù)連續(xù)，且嚴格單調(diào)增加，求的概率密度. 解 設的分布函數(shù)為，則 ，當時，當時，故 于是的概率密度為 ·34·