《博弈論：原理、模型與教程》Nash 均衡第02節(jié)重復(fù)剔除劣戰(zhàn)略行為

博弈論：原理、模型與教程 第一部分 完全信息靜態(tài)博弈第2章 Nash 均衡第2.1節(jié) 占優(yōu)行為第2.2節(jié) 反復(fù)剔除劣戰(zhàn)略行為第2.3節(jié) Nash均衡2.2 反復(fù)剔除劣戰(zhàn)略行為（已精細(xì)訂正?。?、定義2-3 【例2-3】【例2-4】【例2-5】2、定義2-4 在“囚徒困境”中，“坦白”是小偷的占優(yōu)戰(zhàn)略，也就是說，相對于戰(zhàn)略“抵賴”，“坦白”在任何狀況下都是小偷的最優(yōu)選擇。因此，小偷只會選擇戰(zhàn)略“坦白”。反過來也可以這樣理解：相對于戰(zhàn)略“坦白”，小偷選擇“抵賴”所得到的支付都要不不小于選擇“坦白”所的得到的。既然選擇“抵賴”的所得總是不不小于選擇“坦白”的所得，小偷固然就不會選擇“抵賴”，這也就相稱于小偷將戰(zhàn)略“抵賴”從自己的選擇中剔除掉了。考察更一般的人博弈情形。在人博弈中，如果存在參與人的占優(yōu)戰(zhàn)略，那么她在博弈中的戰(zhàn)略選擇問題就很簡樸：選擇占優(yōu)戰(zhàn)略。但在大多數(shù)博弈問題中，參與人的占優(yōu)戰(zhàn)略并不存在。雖然不存在占優(yōu)戰(zhàn)略，但在某些博弈問題中，參與人在對自己的戰(zhàn)略進(jìn)行比較時，也許會發(fā)現(xiàn)這樣的情形：存在兩個戰(zhàn)略和（，），雖然不是占優(yōu)戰(zhàn)略，但與相比，自己在任何狀況下選擇的所得都要不小于選擇的所得。在這種狀況下，理性參與人的選擇又有什么樣的特點呢？雖然不能擬定參與人最后會選擇什么樣的戰(zhàn)略，但可以肯定的是，理性參與人絕對不會選擇戰(zhàn)略。由于參與人選擇戰(zhàn)略，還不如直接選擇戰(zhàn)略（由于參與人在任何狀況下選擇的所得都要不小于選擇的所得）。定義2-3 在人博弈中，如對于參與人，存在戰(zhàn)略，對，有則稱戰(zhàn)略為參與人的劣戰(zhàn)略，或者說戰(zhàn)略相對于戰(zhàn)略占優(yōu)。在博弈中，如果戰(zhàn)略是參與人劣戰(zhàn)略，那么參與人肯定不會選擇戰(zhàn)略。這也是相稱于參與人將戰(zhàn)略從自己的戰(zhàn)略集剔除掉，直接從戰(zhàn)略集中選擇自己的戰(zhàn)略。參與人的這種選擇行為稱之為剔除劣戰(zhàn)略行為。剔除劣行為也是理性參與人選擇行為的基本特性之一。考察戰(zhàn)略式博弈。如果戰(zhàn)略是參與人的劣戰(zhàn)略 ，那么參與人將只會從戰(zhàn)略集中選擇自己的戰(zhàn)略。令，構(gòu)造一種新的戰(zhàn)略式博弈。此時，對戰(zhàn)略式博弈的求解問題就可以轉(zhuǎn)換為對的求解?！纠?-3】 考察圖2-4中的戰(zhàn)略式博弈，其中參與人1有兩個戰(zhàn)略和，參與人2有三個戰(zhàn)略，和。 1，0 參與人1 3，2 1，1 2，2 2，0 0，1 圖2-4 戰(zhàn)略式博弈參與人2從圖2-4中可以看出：戰(zhàn)略相對于戰(zhàn)略占優(yōu)，也就是說是參與人2的劣戰(zhàn)略。因此，對圖2-4中博弈問題的求解就可以轉(zhuǎn)換為對圖2-5中博弈的求解。 1，0 參與人1 3，2 2，2 0，1 圖2-5 戰(zhàn)略式博弈參與人2遵循上面的求解思路，如果在新構(gòu)造出來的戰(zhàn)略式博弈中，存在參與人的某個劣戰(zhàn)略，那么又可以構(gòu)造出一種新的戰(zhàn)略式博弈，其中參與人的戰(zhàn)略集為。此時，對戰(zhàn)略式博弈的求解問題就可以轉(zhuǎn)換為對的求解。而參與人的這種不斷剔除劣戰(zhàn)略的行為稱為反復(fù)剔除劣戰(zhàn)略行為?！纠?-4】 考察圖2-6中的戰(zhàn)略式博弈，其中參與人1有三個博弈，和，參與人2有三個戰(zhàn)略，和。 1，0 參與人1 3，2 1，1 3，2 2，0 2，1 圖2-6 戰(zhàn)略式博弈參與人2 2，1 1，3 3，2從圖2-6中可以看出：戰(zhàn)略是參與人2的劣戰(zhàn)略。因此，對圖2-6中博弈問題的求解就可以轉(zhuǎn)換為對圖2-7中博弈的求解。 1，0 參與人1 3，3 3，2 2，1 圖2-7 戰(zhàn)略式博弈參與人22，1 1，3從圖2-7中又可以看出：戰(zhàn)略是參與人1的劣戰(zhàn)略。因此，對圖2-7中博弈問題的求解就可以轉(zhuǎn)換為對圖2-8中博弈的求解。也就是對圖2-6中原博弈問題的求解就可以轉(zhuǎn)換為對圖2-8中博弈的求解。 1，0 參與人1 3，2 3，2 2，1 圖2-8 戰(zhàn)略式博弈參與人2如果以上反復(fù)剔除劣戰(zhàn)略的過程可以不斷進(jìn)行下去，直到新構(gòu)造出來的博弈中每個參與人都只有一種戰(zhàn)略，那么由所有的參與人剩余的唯一戰(zhàn)略所構(gòu)成的戰(zhàn)略組合就是原博弈問題的解，稱之為“反復(fù)剔除的占優(yōu)均衡”。此時，也稱原博弈問題是“反復(fù)剔除劣戰(zhàn)略可解的”。【例2-5】 考察圖2-9中的戰(zhàn)略式博弈，其中參與人1有三個戰(zhàn)略、和，參與人2有三個戰(zhàn)略，和。 1，0 參與人1 3，1 1，1 3，3 2，0 2，2 圖2-9 戰(zhàn)略式博弈參與人2 2，4 1，3 3，2從圖2-9中可以看出：戰(zhàn)略是參與人2的劣戰(zhàn)略。因此，對圖2-9中博弈問題的求解就可以轉(zhuǎn)換為對圖2-10中博弈的求解。從圖2-10中又可以看出：戰(zhàn)略是參與人1的劣戰(zhàn)略。因此，對圖2-10中博弈問題的求解就可以轉(zhuǎn)換為對圖2-11中博弈的求解。 1，0 參與人1 3，1 3，3 2，2 圖2-10 戰(zhàn)略式博弈參與人22，4 1，3 1，0 參與人1 3，1 3，3 2，2 圖2-11 戰(zhàn)略式博弈 參與人2從圖2-11中又可以看出：戰(zhàn)略是參與人2的劣戰(zhàn)略。因此，對圖2-11中博弈問題的求解就可以轉(zhuǎn)換為對圖2-12中博弈的求解。 3，3參與人1 2，2圖2-12 戰(zhàn)略式博弈參與人2在圖2-12中，參與人2只有一種戰(zhàn)略，參與人1選擇戰(zhàn)略，因此原博弈問題的解為戰(zhàn)略組合。而就是所謂的反復(fù)剔除的占優(yōu)均衡。在某些博弈問題中，參與人在對自己的戰(zhàn)略進(jìn)行比較時，還也許會發(fā)現(xiàn)這樣的情形：存在兩個戰(zhàn)略和（，），與相比，雖然選擇的所得并不一定總是不小于選擇的所得，但自己在任何狀況下選擇的所得都不會比選擇的所得小，并且在某些狀況下選擇的所得嚴(yán)格不小于選擇的所得。顯然，在這種狀況下，理性的參與人將戰(zhàn)略從自己的選擇中剔除掉也是有道理的。與定義2-3中所定義的劣戰(zhàn)略相仿，稱戰(zhàn)略、為參與人的弱劣戰(zhàn)略。定義2-4 在人博弈中，如果對于參與人，存在戰(zhàn)略，對，有且，使得則稱戰(zhàn)略為參與人的弱劣戰(zhàn)略，或者說戰(zhàn)略相對于戰(zhàn)略弱占優(yōu)。有時為了表述以便，也將定義2-3所定義的劣戰(zhàn)略稱為嚴(yán)格劣戰(zhàn)略，而將弱劣戰(zhàn)略和嚴(yán)格劣戰(zhàn)略統(tǒng)稱為劣戰(zhàn)略。與反復(fù)剔除嚴(yán)格劣戰(zhàn)略的思路同樣，也可以采用反復(fù)剔除弱劣戰(zhàn)略的措施來求解博弈問題。但需要注意的是，在反復(fù)剔除的過程中，如果每次可以剔除的劣戰(zhàn)略（涉及嚴(yán)格劣戰(zhàn)略和弱劣戰(zhàn)略）不只一種，那么各個劣戰(zhàn)略剔除的順序不同，得到的博弈成果就有也許不同。除非每次剔除的都是嚴(yán)格列戰(zhàn)略。下面通過一種例子來闡明這個問題。（重點！）考察圖2-13中的戰(zhàn)略式博弈。在圖2-13中，和是參與人2的劣戰(zhàn)略。 參與人1 3，33，11，21，12，02，0 圖2-13 戰(zhàn)略式博弈參與人23，41，33，2如果一方面剔除劣戰(zhàn)略，那么在新博弈中，戰(zhàn)略成為弱劣戰(zhàn)略，如果再剔除，則博弈的成果為戰(zhàn)略組合；如果一方面剔除劣戰(zhàn)略，那么在新博弈中，戰(zhàn)略成為弱劣戰(zhàn)略，如果再剔除，則博弈的成果為戰(zhàn)略組合。導(dǎo)致博弈成果不同的因素在于：在原博弈中，和原本互不占優(yōu)，但是如果先剔除，則相對于弱占優(yōu)，就也許因此被剔除掉；如果先剔除掉，則相對于弱占優(yōu)，就也許因此被剔除掉。因此，當(dāng)和的剔除順序不同步，參與人1保存下來的戰(zhàn)略就也許不同。但是，如果只容許剔除嚴(yán)格劣戰(zhàn)略，那么無論是先剔除還是，得到的博弈成果都是戰(zhàn)略組合和。為了進(jìn)一步闡明問題，考察圖2-14中戰(zhàn)略式博弈，圖2-14 中博弈與圖2-13中博弈的不同之處僅在于戰(zhàn)略組合下參與人1的支付不同。 參與人1 4，33，11，21，12，02，0圖2-14 戰(zhàn)略式博弈參與人23，41，33，2 在圖2-14中，和也是互不占優(yōu)。但是，在剔除劣戰(zhàn)略和的過程中，無論是先剔除還是，只會浮現(xiàn)相對于占優(yōu)的情形，而不會浮現(xiàn)相對于占優(yōu)或弱占優(yōu)的情形。因此，無論剔除劣戰(zhàn)略的順序如何，博弈的成果都是戰(zhàn)略組合。前面多次提到博弈分析是在假設(shè)博弈問題的構(gòu)造和參與人完全理性為共同知識的前提下進(jìn)行的，目前分析如果沒有這樣的假設(shè)，所得到的博弈問題的解占優(yōu)戰(zhàn)略均衡和反復(fù)剔除的占優(yōu)均衡與否存在。當(dāng)參與人理性時，如果參與人的占優(yōu)戰(zhàn)略，那么無論其她參與人與否理性或者與否懂得她是理性的，她都會選擇占優(yōu)戰(zhàn)略。因此，如果博弈中存在占優(yōu)戰(zhàn)略均衡且所有的參與人都理性，那么博弈的成果就是占優(yōu)戰(zhàn)略均衡。也就是說，不需要完全理性為共同知識就可保證占優(yōu)戰(zhàn)略均衡為博弈的成果。但是，必須清晰：存在占優(yōu)戰(zhàn)略均衡的博弈絕對只是博弈問題中的很少數(shù)，在大多數(shù)狀況下占優(yōu)戰(zhàn)略均衡是不存在的。更重要的是，如果僅僅假設(shè)參與人是理性的，就會發(fā)現(xiàn)及時博弈問題是“反復(fù)剔除劣戰(zhàn)略可解的”，也無法保證博弈的成果就是反復(fù)剔除的占優(yōu)均衡，這是由于：在反復(fù)剔除過程的每一步中，如果只假設(shè)參與人理性，那么只能保證參與人將其劣戰(zhàn)略剔除掉；而如果其她參與人不懂得她是理性的，就不能保證其她參與人懂得她已將劣戰(zhàn)略剔除掉。在這種狀況下，就不能講原博弈問題轉(zhuǎn)換為新的博弈問題，也就是說，雖然剔除劣戰(zhàn)略行為是理性參與人選擇行為的基本特性，但如果僅僅假設(shè)參與人理性是不能保證反復(fù)剔除的。在例2-3中，如果參與人1不懂得參與人2的理性的，她就不懂得自己面臨的博弈問題已由圖2-4中的戰(zhàn)略式博弈轉(zhuǎn)換為圖2-5中的博弈。同樣，如果參與人2不懂得參與人1懂得自己是理性的，圖2-4中的戰(zhàn)略式博弈也不能轉(zhuǎn)換為圖2-5中的博弈。在例2-4中，要保證圖2-6的中博弈轉(zhuǎn)換為圖2-8中的博弈，就必須規(guī)定每個參與人都懂得博弈問題轉(zhuǎn)換的每一步（即每一次剔除劣戰(zhàn)略），并且還要懂得其她參與人懂得博弈問題轉(zhuǎn)換的每一步。具體講就是：（1）參與人2是理性；（2）參與人1懂得到參與人2理性，參與人2懂得參與人1懂得到參與人2理性；（3）參與人1是理性，參與人2懂得到參與人1理性，參與人1懂得參與人2懂得到參與人1理性。而在例2-5中，對參與人理性假設(shè)的規(guī)定就更為復(fù)雜，除了例2-4中所規(guī)定的以上3點外，對理性尚有進(jìn)一步的規(guī)定。因此，隨著博弈中參與人人數(shù)的增長及參與人戰(zhàn)略空間的增大，反復(fù)剔除的過程就會越來越復(fù)雜，對理性假設(shè)的規(guī)定也就越來越高。因此，為了保證博弈分析的順利進(jìn)行，一般都假設(shè)參與人完全理性為共同知識。基于同樣的理由，也假設(shè)博弈問題的構(gòu)造（涉及參與人的支付）為共同知識。