第三章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動

習(xí)題精解3-1 某剛體繞定軸做勻速轉(zhuǎn)動，對剛體上距轉(zhuǎn)軸為r處的任意質(zhì)元的法向加速度為和切線加速度來正確的是（）A. ，大小均隨時間變化 B. ，大小均保持不變 C. 的大小變化，的大小保持不變 D. 大小保持不變，的大小變化解 剛體繞定軸做勻變速轉(zhuǎn)動時，因為，而為恒量，所以，故?？梢姡旱拇笮∽兓?，的大小保持恒定，本題答案為C.3-2 一飛輪以的角速度轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動慣量為，現(xiàn)施加一恒定的制動力矩，使飛輪在2s內(nèi)停止轉(zhuǎn)動，則該恒定制動力矩的大小為_.解 飛輪轉(zhuǎn)動的角速度為所以該恒定制動力矩大小為。3-3 一飛輪半徑，以轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)動，受制動均勻減速，經(jīng)后靜止，試求：（1）角速度和從制動開始到靜止這段時間飛輪轉(zhuǎn)過的轉(zhuǎn)數(shù)；（2）制動開始后時飛輪的角速度；（3）在時飛輪邊緣上一點的速度和加速度。解 （1）角加速度從制動開始到靜止這段時間飛輪轉(zhuǎn)過的轉(zhuǎn)數(shù) （2）制動開始后時飛輪的角速度 （3）在是飛輪邊緣上一點的速度和加速度分別為 3-4 有A、B兩個半徑相同、質(zhì)量也相同的細(xì)圓環(huán)，其中A環(huán)的質(zhì)量分布均勻，而B環(huán)的質(zhì)量分布不均勻。若兩環(huán)對過環(huán)心且與環(huán)面垂直軸的轉(zhuǎn)動慣量分別為和，則有（）A. B. C. D.無法確定和的相對大小。解 因為轉(zhuǎn)動慣量,對于細(xì)圓環(huán)而言，各質(zhì)元到轉(zhuǎn)軸的距離均為圓環(huán)的半徑，即，所以。故A,B兩個半徑相同、質(zhì)量也相同的細(xì)圓環(huán)，不論其質(zhì)量在圓環(huán)上如何分布，兩環(huán)對過環(huán)心且與環(huán)面垂直軸的轉(zhuǎn)動慣量，本題答案為C。3-5 剛體的轉(zhuǎn)動慣量取決于_、_和_等3各因素。_解 干體的轉(zhuǎn)動慣量取決于：剛體的總質(zhì)量、質(zhì)量的分布和轉(zhuǎn)軸的位置3個元素。3-6 如圖3.4所示，細(xì)棒的長為。設(shè)轉(zhuǎn)軸通過棒上離中心距離為d的一點并與棒垂直，求棒對此軸的轉(zhuǎn)動慣量。試說明這一轉(zhuǎn)動慣量與棒對過棒中心并與此軸平行的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量之間的關(guān)系（此為平行軸定理）。解 如圖3.4所示，以過點垂直于棒的直線為軸，沿棒長方向為軸，原點在處，在棒上取一原長度元，則 所以與之間的關(guān)系為 3-7 一輕繩在具有水平轉(zhuǎn)軸的定滑輪上，繩下掛一物體，物體的質(zhì)量為m，此時滑輪的角加速度為，若將物體取下，而用大小等于，方向向下的拉繩子，則滑輪的角加速度將（ ）A.變大 B.不變 C.變小 D.無法確定解 設(shè)滑輪的半徑為,轉(zhuǎn)動慣量為，如圖3.5所示。使用大小等于，方向向下的力拉繩子時，如圖3.5（a）,滑輪產(chǎn)生的角加速度為。繩下段掛一質(zhì)量為m的物體時，如圖3.5（b），若設(shè)繩子此時的拉力為T，則對物體有： 對滑輪有： 此時滑輪產(chǎn)生的角加速度為 比較可知，用大小等于，方向向下的拉力拉繩子時，滑輪產(chǎn)生的角加速度變大，本題答案為A.3-8 力矩、功和能量的單位量綱相同，它們的物理意義有什么不同？解 雖然力矩、功和能量的單位量綱相同，同為,但物理量的量綱相同，并不意味著這些物理量的物理意義相同，力矩為矢量，而功和能量均為標(biāo)量。力矩通過做功的過程使物體的轉(zhuǎn)動狀態(tài)發(fā)生變化，以改變物體所具有的能量。3-9 如圖3.6所示，兩物體的質(zhì)量分別為和，滑輪的轉(zhuǎn)動慣量為，半徑為r。若與桌面的摩擦系數(shù)為，設(shè)繩子與滑動間無相對滑動，試求系統(tǒng)的加速度a的大小及繩子中張力和的大小。解 分析受力如圖3.6所示。和可視為質(zhì)點，設(shè)其加速度分別為和，則由牛頓運動定律得 滑輪作定軸轉(zhuǎn)動，則由轉(zhuǎn)動定律有 由于繩子與滑輪間無相對滑動，所以 聯(lián)立以上4個方程可得，系統(tǒng)的加速度的大小及繩子中張力和的大小分別為 3-10 如圖3.7所示。兩個半徑不同的同軸滑輪固定在一起，兩滑輪的半徑分別為和，兩個滑輪的轉(zhuǎn)動慣量分別為和，繩子的兩端分別懸掛著兩個質(zhì)量分別為和的物體，設(shè)滑輪與軸之間的摩擦力忽略不計，滑輪與繩子之間無相對滑動，繩子的質(zhì)量也忽略不計，且繩子不可伸長。試求兩物體的加速度的大小和繩子中張力的大小。解 分析受力如圖3.7所示。和可視為質(zhì)點，設(shè)其受繩子的拉力分別為和，加速度分別為和，則由牛頓第二運動定律得 滑輪作定軸轉(zhuǎn)動，則有轉(zhuǎn)動定律有 由于繩子與滑輪間無相對滑動，所以 聯(lián)立以上5個方程可得，兩物體的加速度和繩子中的張力分別為 3-11 如圖3.8所示，質(zhì)量為m，長為的均勻細(xì)桿，可繞通過其一端O的水平軸轉(zhuǎn)動，桿的另一端與質(zhì)量為m的小球固連在一起，當(dāng)該系統(tǒng)從水平位置有靜止轉(zhuǎn)動角時，系統(tǒng)的角速度_、動能_,此過程中力矩所做的功_.解 在任意位置時，受力分析如圖3.8所示。系統(tǒng)所受的合外力矩為 則在此過程中合外力矩所做的功為 系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動慣量為 于是剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理可寫為 所以系統(tǒng)的角速度為，系統(tǒng)的動能為3-12 一個張開雙臂手握啞鈴坐在轉(zhuǎn)椅上，讓轉(zhuǎn)椅轉(zhuǎn)動起來，若此后無外力矩作用，則當(dāng)此人收回雙臂時，人和轉(zhuǎn)椅這一系統(tǒng)的（ ）。A.轉(zhuǎn)速加大，轉(zhuǎn)動動能不變 B.角動量加大 C.轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)動動能變化不清楚 D.角動量保持不變解 因為系統(tǒng)無外力矩的作用，所以系統(tǒng)的角動量守恒，及，當(dāng)人收回雙臂時，轉(zhuǎn)動系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動慣量減少，即，所以，故轉(zhuǎn)速增大。 又因為，所以。因此轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)動動能都增大，求角動量守恒。所以本題的正確答案為D3-13 如圖3.9所示。有一半徑為R，質(zhì)量為M的勻質(zhì)盤水平放置，可繞通過盤心的豎直軸作定軸轉(zhuǎn)動，圓盤對軸的轉(zhuǎn)動慣量。當(dāng)圓盤以角速度轉(zhuǎn)動時，有一質(zhì)量為的橡皮泥（可視為質(zhì)點）豎直落在圓盤上，并粘在距轉(zhuǎn)軸處，如圖所示。那么橡皮泥和盤共同角速度_.解 對于圓盤和橡皮泥組成的系統(tǒng)而言，所受的合外力矩為零，所以系統(tǒng)的角動量守恒，于是有 因為圓盤對軸的轉(zhuǎn)動慣量 所以橡皮泥和盤的共同角速度為 3-14 如圖3.10所示。以質(zhì)量為的小球由一繩子系著，以角速度在無摩擦的水平面上，繞圓心O作半徑為的圓周運動。若在通過圓心O的繩子端作用一豎直向下的拉力，小球則作半徑為的圓周運動。試求：（1）小球新的角速度；（2）拉力所做的功。解 （1）在拉力拉小球的過程中，由于拉力通過了軸心，因此小球在水平面上轉(zhuǎn)動的過程中不受外力矩的作用，故其角動量守恒。于是有 即 小球新的角速度。（2）隨著小球轉(zhuǎn)動角速度的增加，其轉(zhuǎn)動動能也在增加，這正是拉力做功的結(jié)果。于是有定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定理得拉力所做的功為 3-15 如圖3.11所示。A與B兩個飛輪的軸桿可由摩擦嚙合器使之連接，A輪的轉(zhuǎn)動慣量為，開始時B輪靜止，A輪以的轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)動，然后時A與B連接，因而B輪得到加速度而A輪減速，直到兩輪的轉(zhuǎn)速都等于為止。求：（1）B輪的轉(zhuǎn)動慣量；（2）在嚙合過程中損失的機械能。解 （1）兩飛輪在軸方向嚙和時，軸向受的力不產(chǎn)生轉(zhuǎn)動力矩，所以兩飛輪構(gòu)成的系統(tǒng)角動量守恒。于是有 所以B輪的轉(zhuǎn)動慣量為 （2）有兩飛輪在嚙和前后轉(zhuǎn)動動能的變化可得嚙和過程中系統(tǒng)損失的機械能為 3-16 質(zhì)量為，長為的均勻細(xì)棒，可繞垂直與棒的一端的水平軸無摩擦的轉(zhuǎn)動。若將此棒放在水平位置，然后任其開始轉(zhuǎn)動，試求：（1）開始轉(zhuǎn)動時的角加速度；（2）落到豎直位置時的動能；（3）落至豎直位置時對轉(zhuǎn)軸的角動量。解 根據(jù)題意作圖3.12.（1）開始轉(zhuǎn)動是角加速度為 （2）在下落過程中，系統(tǒng)（棒和地球）受的重力為保守力，軸的支持力始終不做功，因此系統(tǒng)的機械能守恒，所以落到豎直位置時的動能為 （3）因為，所以落至豎直位置時對轉(zhuǎn)軸的角速度為，故落至豎直位置是對轉(zhuǎn)軸的角動量 3-17 如圖3.13所示。一均勻細(xì)棒長為，質(zhì)量為m，可繞通過端點的水平軸在豎直平面內(nèi)無摩擦的轉(zhuǎn)動。棒在水平位置時釋放，當(dāng)它落到豎直位置時與放在地面上一靜止的物體碰撞。該物體與地面之間的摩擦系數(shù)為，其質(zhì)量也為m，物體滑行s距離后停止。求碰撞后桿的轉(zhuǎn)動動能。解 根據(jù)題意可知此題包含3個物理過程。第一過程為均勻細(xì)棒的下落過程。在此過程中，以棒和地球構(gòu)成的系統(tǒng)為研究對象，棒受的重力為保守力，軸對棒的支持力始終不做功，所以系統(tǒng)的機械能守恒，則 第二過程為均勻細(xì)棒與物體的碰撞過程。在此過程中，以棒和物體構(gòu)成的系統(tǒng)為研究對象，物體所受的摩擦力對轉(zhuǎn)軸的力矩與碰撞的沖力矩相比較可忽略，所以系統(tǒng)的角動量守恒，則 其中為碰撞后瞬時棒的角速度，為碰撞后瞬時物體與棒分離時物體的速率。 第三過程為分離以后的過程。對于棒而言，棒以角速度繼續(xù)轉(zhuǎn)動；對于物體而言，物體在水平面內(nèi)僅受摩擦力的作用，由質(zhì)點的動能定律得 聯(lián)立以上3個方程可得碰撞后桿的轉(zhuǎn)動動能為 3-18 如圖3.14所示，一勁度系數(shù)為k的輕彈簧與一輕柔繩相連，該跨過一半徑為R，轉(zhuǎn)動慣量為J的定滑輪，繩的另一端懸掛一質(zhì)量為m的物體，開始時彈簧無伸長，物體由靜止釋放。滑輪與軸之間的摩擦可以忽略不計，當(dāng)物體下落h時，試求物體的速度，（1）用牛頓定律和轉(zhuǎn)動定律求解；（2）用守恒定律求解。解 （1）用牛頓定律和轉(zhuǎn)動定律求解。 建立坐標(biāo)系及受力分析如圖3.14所示。則由牛頓定律和轉(zhuǎn)動定律得 對于物體有： 對于滑輪有： 對于彈簧有：物體的加速度與滑輪邊緣的切向加速相同，即 聯(lián)立以上4個方程可得 因為 所以有 整理并積分有 解之可得物體的速度為 （2） 用守恒定律求解由于滑輪和軸之間的摩擦忽略不計，系統(tǒng)（彈簧、滑輪、物體和地球）僅受保守力（重力和彈力）的作用，所以系統(tǒng)的機械能守恒，若以物體的初始位置處為勢能零點，則 解之得物體的速度為 8