【步步高】屆高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示學(xué)案 理 新人教A版

學(xué)案26平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.了解平面向量的基本定理及其意義.2.掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示.3.會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算.4.理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件自主梳理1平面向量基本定理定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)_向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，_一對(duì)實(shí)數(shù)1，2，使a_.我們把不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組_2夾角（1）已知兩個(gè)非零向量a和b，作a，b，則AOB叫做向量a與b的_(2)向量夾角的范圍是_，a與b同向時(shí)，夾角_；a與b反向時(shí)，夾角_.(3)如果向量a與b的夾角是_，我們說(shuō)a與b垂直，記作_3把一個(gè)向量分解為兩個(gè)_的向量，叫做把向量正交分解4在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i，j作為基底，對(duì)于平面內(nèi)的一個(gè)向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x，y使axiyj，我們把有序數(shù)對(duì)_叫做向量a的_，記作a_，其中x叫a在_上的坐標(biāo)，y叫a在_上的坐標(biāo)5平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)已知向量a(x1，y1)，b(x2，y2)和實(shí)數(shù)，那么ab_，ab_，a_.（2）已知A（），B（），則(x2，y2)(x1，y1)(x2x1，y2y1)，即一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的_的坐標(biāo)減去_的坐標(biāo)6若a(x1，y1)，b(x2，y2) (b0)，則ab的充要條件是_7(1)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則P1P2的中點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)，則P1P2P3的重心P的坐標(biāo)為_(kāi)自我檢測(cè)1(2010·福建)若向量a(x,3)(xR)，則“x4”是“|a|5”的 ()A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充要條件D既不充分又不必要條件2設(shè)a，b，且ab，則銳角為 ()A30°B45°C60°D75°3.（2011·馬鞍山模擬）已知向量a=(6，-4)，b（0，2），cab，若C點(diǎn)在函數(shù)ysin x的圖象上，則實(shí)數(shù)等于 ()A. B.C D4(2010·陜西)已知向量a(2，1)，b(1，m)，c(1，2)，若(ab)c，則m_.5.（2009·安徽）給定兩個(gè)長(zhǎng)度為1的平面向量和，它們的夾角為120°.如圖所示，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧上變動(dòng)，若xy，其中x，yR，則xy的最大值是_. 探究點(diǎn)一平面向量基本定理的應(yīng)用例1 如圖所示，在OAB中，AD與BC交于點(diǎn)M，設(shè)a，b，以a、b為基底表示.變式遷移1 （2011·廈門(mén)模擬）如圖，平面內(nèi)有三個(gè)向量、，其中與的夾角為120°，與的夾角為30°，且|1，|2，若(、R)，則的值為_(kāi)探究點(diǎn)二平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算例2 已知A（-2，4），B（3，-1），C（-3，-4），且3，2，試求點(diǎn)M，N和的坐標(biāo)變式遷移2 已知點(diǎn)A（1，-2），若向量|與a(2,3)同向，|2，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為_(kāi)探究點(diǎn)三在向量平行下求參數(shù)問(wèn)題例3(2011·嘉興模擬)已知平面內(nèi)三個(gè)向量：a(3,2)，b(1,2)，c(4,1)(1)求滿足ambnc的實(shí)數(shù)m、n；(2)若(akc)(2ba)，求實(shí)數(shù)k.變式遷移3(2009·江西)已知向量a(3,1)，b(1,3)，c(k,7)，若(ac)b，則k_.1在解決具體問(wèn)題時(shí)，合理地選擇基底會(huì)給解題帶來(lái)方便在解有關(guān)三角形的問(wèn)題時(shí)，可以不去特意選擇兩個(gè)基本向量，而可以用三邊所在的三個(gè)向量，最后可以根據(jù)需要任意留下兩個(gè)即可，這樣思考問(wèn)題要簡(jiǎn)單得多2.平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量a，點(diǎn)A的位置被a所唯一確定，此時(shí)a的坐標(biāo)與點(diǎn)A的坐標(biāo)都是(x，y)向量的坐標(biāo)表示和以坐標(biāo)原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量是一一對(duì)應(yīng)的，即向量(x，y)向量點(diǎn)A(x，y)要把點(diǎn)的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)區(qū)分開(kāi)，相等的向量坐標(biāo)是相同的，但起點(diǎn)、終點(diǎn)的坐標(biāo)可以不同，也不能認(rèn)為向量的坐標(biāo)是終點(diǎn)的坐標(biāo)，如A(1,2)，B(3,4)，則(2,2) (滿分：75分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1.已知a,b是不共線的向量，若1ab，a2b， (1，2R)，則A、B、C三點(diǎn)共線的充要條件為 ()A121B121C1210D12102.如圖所示，平面內(nèi)的兩條相交直線OP1和OP2將該平面分割成四個(gè)部分、（不包括邊界）.若ab，且點(diǎn)P落在第部分，則實(shí)數(shù)a，b滿足 ()Aa>0，b>0Ba>0，b<0Ca<0，b>0Da<0，b<03(2011·湛江月考)設(shè)兩個(gè)向量a(2，2cos2)和b，其中、m、為實(shí)數(shù)若a2b，則的取值范圍是 ()A6,1B4,8C(，1D1,64.設(shè)02時(shí)，已知兩個(gè)向量(cos ，sin )，(2sin ，2cos )，則向量長(zhǎng)度的最大值是 ()A. B.C3D25.在平行四邊形ABCD中，AC為一條對(duì)角線，若(2,4)，(1,3)，則等于()A(2，4)B(3，5)C(3,5)D(2,4)題號(hào)12345答案二、填空題(每小題4分，共12分)6.（2011·煙臺(tái)模擬）如圖所示，在ABC中，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn).過(guò)點(diǎn)O的直線分別交直線AB、AC于不同的兩點(diǎn)M、N，若m，n，則mn的值為_(kāi)7在平面直角坐標(biāo)系xOy中，四邊形ABCD的邊ABDC，ADBC.已知A(2,0)，B(6,8)，C(8，6)，則D點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)8.(2009·天津)在四邊形ABCD中，(1,1)，···，則四邊形ABCD的面積為_(kāi)三、解答題(共38分)9.（12分）已知A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（-1，0）、（3，-1）、（1，2），并且，.求證：.10(12分)(2011·宣城模擬)在ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對(duì)邊，已知向量m(a，b)，向量n(cos A，cos B)，向量p(2sin，2sin A)，若mn，p29，求證：ABC為等邊三角形11.（14分）如圖，在邊長(zhǎng)為1的正ABC中，E，F(xiàn)分別是邊AB，AC上的點(diǎn)，若m，n，m，n(0,1)設(shè)EF的中點(diǎn)為M，BC的中點(diǎn)為N.(1)若A，M，N三點(diǎn)共線，求證：mn；（2）若m+n=1,求的最小值答案 自主梳理1不共線有且只有1e12e2基底2.(1)夾角(2)0，0(3)ab3.互相垂直4.(x，y)坐標(biāo)(x，y)x軸y軸5.(1)(x1x2，y1y2)(x1x2，y1y2)(x1，y1)(2)終點(diǎn)始點(diǎn)6x1y2x2y107.(1)(2)自我檢測(cè)1A由x4知|a|5；由|a|5，得x4或x4.故“x4”是“|a|5”的充分而不必要條件2Bab，×sin cos 0，sin 21,290°，45°.3Acab(6，42)，代入ysin x得，42sin 1，解得.41解析ab(1，m1)，由(ab)c，得1×2(m1)×(1)0，所以m1.52解析建立如圖所示的坐標(biāo)系，則A(1,0)，B(cos 120°，sin 120°)，即B(，)設(shè),則 (cos ，sin )xy(x,0)(cos ，sin )xysin cos 2sin(30°)0°120°，30°30°150°.xy有最大值2，當(dāng)60°時(shí)取最大值課堂活動(dòng)區(qū)例1解題導(dǎo)引 本題利用方程的思想，設(shè)=ma+nb，通過(guò)建立關(guān)于m、n的方程求解，同時(shí)注意體會(huì)應(yīng)用向量法解決平面幾何問(wèn)題的方法.解 設(shè)manb (m，nR)，則(m1)anb，baab.因?yàn)锳，M，D三點(diǎn)共線，所以，即m2n1.而anb，baab，因?yàn)镃，M，B三點(diǎn)共線，所以，即4mn1.由解得所以ab.變式遷移16解析 如右圖， 在OCD中，COD30°，OCDCOB90°，可求|4，同理可求|2，4，2，6.例2解A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)，(1,8)，(6,3)3(3,24)，2(12,6)設(shè)M（x，y），則(x3，y4)(3,24)，M(0,20)同理可得N（9，2），因此=（9，18）.所求M（0，20），N（9，2），(9，18)變式遷移2(5,4)解析向量與a同向，設(shè)(2t,3t) (t>0)由|2，4t29t24×13.t24.t>0，t2.(4,6)設(shè)B為(x，y)，例3解(1)ambnc，m，nR，(3,2)m(1,2)n(4,1)(m4n,2mn)解之得(2)(akc)(2ba)，且akc(34k,2k)，2ba(5,2)，(34k)×2(5)×(2k)0，k.變式遷移35解析ac(3,1)(k,7)(3k，6)，且(ac)b，k5.課后練習(xí)區(qū)1CA、B、C三點(diǎn)共線與共線k1210.2.B 由于點(diǎn)P落在第部分，且ab，則根據(jù)實(shí)數(shù)與向量的積的定義及平行四邊形法則知a>0，b<0.3A2b(2m，m2sin )，22m，2cos2m2sin ，(2m2)2mcos22sin ，即4m29m41sin22sin .又21sin22sin 2，24m29m42，解得m2，4.又2m2，2，621.62解析方法一若M與B重合，N與C重合，則mn2.方法二 2mn，.O、M、N共線，1.mn2.7(0，2)解析設(shè)D點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，由題意知，即(2，2)(x2，y)，所以x0，y2，D(0，2)8.S|sin 60°××.9證明設(shè)E、F兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1，y1)、(x2，y2)，則依題意，得(2,2)，(2,3)，(4，1)，.(x1，y1)(1,0)，(x2，y2)(3，1).(4分)(x1，y1)(1,0)，(x2，y2)(3，1).(x2，y2)(x1，y1).(8分)又(4，1)，4×(1)×0，.(12分)10證明mn，acos Bbcos A.由正弦定理，得sin Acos Bsin Bcos A，即sin(AB)0.A、B為三角形的內(nèi)角，<AB<.AB.(5分)p29，8sin24sin2A9.41cos(BC)4(1cos2A)9.4cos2A4cos A10，解得cos A.(10分)又0<A<，A.ABC為等邊三角形(12分)11解（1）由A，M，N三點(diǎn)共線，得，設(shè)(R)，即()()，所以mn()，所以mn.(5分)（）因?yàn)?)() (1m) (1n)，(8分)又mn1，所以 (1m) m，所以|2(1m)22m22(1m)m·(10分)(1m)2m2(1m)m(m)2.故當(dāng)m時(shí)，|min.(14分)9