數(shù)學(xué)：第三章《統(tǒng)計(jì)案例》教案（1）（新人教A版選修2-3）

第三章 統(tǒng)計(jì)案例31回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用（共計(jì)4課時(shí)）授課類型：新授課一、教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)對(duì)象分析學(xué)生將在必修課程學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)上，通過(guò)對(duì)典型案例的討論，了解和使用一些常用的統(tǒng)計(jì)方法，進(jìn)一步體會(huì)運(yùn)用統(tǒng)計(jì)方法解決實(shí)際問(wèn)題的基本思想，認(rèn)識(shí)統(tǒng)計(jì)方法在決策中的作用。二、學(xué)習(xí)目標(biāo)1、知識(shí)與技能通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí)，了解回歸分析的基本思想，會(huì)對(duì)兩個(gè)變量進(jìn)行回歸分析，明確建立回歸模型的基本步驟，并對(duì)具體問(wèn)題進(jìn)行回歸分析，解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題。2、過(guò)程與方法本節(jié)的學(xué)習(xí)，應(yīng)該讓學(xué)生通過(guò)實(shí)際問(wèn)題去理解回歸分析的必要性，明確回歸分析的基本思想，從散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布上我們發(fā)現(xiàn)直接求回歸直線方程存在明顯的不足，從中引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)解決問(wèn)題的新思路進(jìn)行回歸分析，進(jìn)而介紹殘差分析的方法和利用R的平方來(lái)表示解釋變量對(duì)于預(yù)報(bào)變量變化的貢獻(xiàn)率，從中選擇較為合理的回歸方程，最后是建立回歸模型基本步驟。3、情感、態(tài)度與價(jià)值觀通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，首先讓顯示了解回歸分析的必要性和回歸分析的基本思想，明確回歸分析的基本方法和基本步驟，培養(yǎng)我們利用整體的觀點(diǎn)和互相聯(lián)系的觀點(diǎn)，來(lái)分析問(wèn)題，進(jìn)一步加強(qiáng)數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)、用好數(shù)學(xué)的信心。加強(qiáng)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系，以科學(xué)的態(tài)度評(píng)價(jià)兩個(gè)變量的相關(guān)系。教學(xué)中適當(dāng)?shù)卦黾訉W(xué)生合作與交流的機(jī)會(huì)，多從實(shí)際生活中找出例子，使學(xué)生在學(xué)習(xí)的同時(shí)。體會(huì)與他人合作的重要性，理解處理問(wèn)題的方法與結(jié)論的聯(lián)系，形成實(shí)事求是的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度和鍥而不舍的求學(xué)精神。培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，解決實(shí)際問(wèn)題的能力。三、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：熟練掌握回歸分析的步驟；各相關(guān)指數(shù)、建立回歸模型的步驟；通過(guò)探究使學(xué)生體會(huì)有些非線性模型通過(guò)變換可以轉(zhuǎn)化為線性回歸模型，了解在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中尋找更好的模型的方法。教學(xué)難點(diǎn)：求回歸系數(shù) a , b ；相關(guān)指數(shù)的計(jì)算、殘差分析；了解常用函數(shù)的圖象特點(diǎn)，選擇不同的模型建模，并通過(guò)比較相關(guān)指數(shù)對(duì)不同的模型進(jìn)行比較。四、教學(xué)策略：教學(xué)方法：誘思探究教學(xué)法 學(xué)習(xí)方法：自主探究、觀察發(fā)現(xiàn)、合作交流、歸納總結(jié)。教學(xué)手段：多媒體輔助教學(xué)五、教學(xué)過(guò)程：（一）、復(fù)習(xí)引入：回歸分析是對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種常用方法。（二）、新課:探究：對(duì)于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)：（) , () ， ()， 我們知道其回歸方程的截距和斜率的最小二乘估計(jì)公式分別為： （1） （2）其中，（）成為樣本點(diǎn)的中心.注：回歸直線過(guò)樣本中心.你能推導(dǎo)出這兩個(gè)計(jì)算公式嗎？ 從我們已經(jīng)學(xué)過(guò)的知識(shí)知道，截距和斜率分別是使 取到最小值時(shí)的值. 由于 注意到. 在上式中，后兩項(xiàng)和無(wú)關(guān)，而前兩項(xiàng)為非負(fù)數(shù)，因此要使Q取得最小值，當(dāng)且僅當(dāng)前兩項(xiàng)的值均為0，即有這正是我們所要推導(dǎo)的公式下面我們從另一個(gè)角度來(lái)推導(dǎo)的公式人教A版選修2-2P37習(xí)題1.4A組第4題:用測(cè)量工具測(cè)量某物體的長(zhǎng)度，由于工具的精度以及測(cè)量技術(shù)的原因，測(cè)得n個(gè)數(shù)據(jù) .證明：用這個(gè)數(shù)據(jù)的平均值 表示這個(gè)物體的長(zhǎng)度，能使這n個(gè)數(shù)據(jù)的方差最小思考：這個(gè)結(jié)果說(shuō)明了什么？通過(guò)這個(gè)問(wèn)題，你能說(shuō)明最小二乘法的基本原理嗎？證明：由于，所以，令, 得。可以得到， 是函數(shù)的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)這個(gè)結(jié)果說(shuō)明，用n個(gè)數(shù)據(jù)的平均值表示這個(gè)物體的長(zhǎng)度是合理的，這就是最小二乘法的基本原理由最小二乘法的基本原理即得 定理 設(shè),則 (*)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào). (*)式說(shuō)明, 是任何一個(gè)實(shí)數(shù)與的差的平方的平均數(shù)中最小的數(shù).從而說(shuō)明了方差具有最小性,也即定義標(biāo)準(zhǔn)差的合理性.下面借助(*)式求的最小值.,由(*)式知, 當(dāng)且僅當(dāng),且時(shí), 達(dá)到最小值.由此得到,其中是回歸直線的斜率,是截距.借助和配方法,我們給出了人教A版必修3的第二章統(tǒng)計(jì)第三節(jié)變量間的相關(guān)關(guān)系中回歸直線方程的一個(gè)合理的解釋1、回歸分析的基本步驟：(1) 畫出兩個(gè)變量的散點(diǎn)圖. (2) 求回歸直線方程.(3) 用回歸直線方程進(jìn)行預(yù)報(bào).下面我們通過(guò)案例，進(jìn)一步學(xué)習(xí)回歸分析的基本思想及其應(yīng)用2、舉例：例1. 從某大學(xué)中隨機(jī)選取 8 名女大學(xué)生，其身高和體重?cái)?shù)據(jù)如表 編號(hào)12345678身高/cm165165157170175165155170體重/kg4857505464614359求根據(jù)女大學(xué)生的身高預(yù)報(bào)體重的回歸方程，并預(yù)報(bào)一名身高為 172 cm 的女大學(xué)生的體重解：由于問(wèn)題中要求根據(jù)身高預(yù)報(bào)體重，因此選取身高為自變量 x ，體重為因變量 y .作散點(diǎn)圖(圖3 . 1 一 1)從圖3. 1一1 中可以看出，樣本點(diǎn)呈條狀分布，身高和體重有比較好的線性相關(guān)關(guān)系，因此可以用線性回歸方程來(lái)近似刻畫它們之間的關(guān)系根據(jù)探究中的公式（1）和（2 ) ，可以得到. 于是得到回歸方程.因此，對(duì)于身高172 cm 的女大學(xué)生，由回歸方程可以預(yù)報(bào)其體重為 ( kg ) . 是斜率的估計(jì)值，說(shuō)明身高 x 每增加1個(gè)單位時(shí)，體重y就增加0.849 位，這表明體重與身高具有正的線性相關(guān)關(guān)系如何描述它們之間線性相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱？在必修 3 中，我們介紹了用相關(guān)系數(shù)；來(lái)衡量?jī)蓚€(gè)變量之間線性相關(guān)關(guān)系的方法本相關(guān)系數(shù)的具體計(jì)算公式為當(dāng)r>0時(shí)，表明兩個(gè)變量正相關(guān)；當(dāng)r<0時(shí)，表明兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)r的絕對(duì)值越接近1，表明兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)；r的絕對(duì)值接近于0時(shí)，表明兩個(gè)變量之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系通常，當(dāng)r的絕對(duì)值大于0. 75 時(shí)認(rèn)為兩個(gè)變量有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系在本例中，可以計(jì)算出r =0. 798這表明體重與身高有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，從而也表明我們建立的回歸模型是有意義的顯然，身高172cm 的女大學(xué)生的體重不一定是60. 316 kg，但一般可以認(rèn)為她的體重接近于60 . 316 kg .圖3 . 1 一 2 中的樣本點(diǎn)和回歸直線的相互位置說(shuō)明了這一點(diǎn)由于所有的樣本點(diǎn)不共線，而只是散布在某一條直線的附近，所以身高和體重的關(guān)系可用下面的線性回歸模型來(lái)表示： , ( 3 ) 這里 a 和 b 為模型的未知參數(shù)，e是 y 與之間的誤差通常e為隨機(jī)變量，稱為隨機(jī)誤差，它的均值 E (e）=0，方差D（e）=0 這樣線性回歸模型的完整表達(dá)式為： (4)在線性回歸模型（4）中，隨機(jī)誤差e的方差護(hù)越小，通過(guò)回歸直線 (5)預(yù)報(bào)真實(shí)值y的精度越高隨機(jī)誤差是引起預(yù)報(bào)值與真實(shí)值 y 之間的誤差的原因之一，大小取決于隨機(jī)誤差的方差.另一方面，由于公式（1）和（2）中 和為截距和斜率的估計(jì)值，它們與真實(shí)值a和b之間也存在誤差，這種誤差是引起預(yù)報(bào)值與真實(shí)值y之間誤差的另一個(gè)原因思考：產(chǎn)生隨機(jī)誤差項(xiàng)e的原因是什么?一個(gè)人的體重值除了受身高的影響外，還受許多其他因素的影響例如飲食習(xí)慣、是否喜歡運(yùn)動(dòng)、度量誤差等事實(shí)上，我們無(wú)法知道身高和體重之間的確切關(guān)系是什么，這里只是利用線性回歸方程來(lái)近似這種關(guān)系這種近似以及上面提到的影響因素都是產(chǎn)生隨機(jī)誤差 e 的原因因?yàn)殡S機(jī)誤差是隨機(jī)變量，所以可以通過(guò)這個(gè)隨機(jī)變量的數(shù)字特征來(lái)刻畫它的一些總體特征均值是反映隨機(jī)變量取值平均水平的數(shù)字特征，方差是反映隨機(jī)變量集中于均值程度的數(shù)字特征，而隨機(jī)誤差的均值為0，因此可以用方差來(lái)衡量隨機(jī)誤差的大小為了衡量預(yù)報(bào)的精度，需要估計(jì)護(hù)的值一個(gè)自然的想法是通過(guò)樣本方差來(lái)估計(jì)總體方差如何得到隨機(jī)變量的樣本呢？由于模型（3）或（4）中的隱含在預(yù)報(bào)變量 y 中，我們無(wú)法精確地把它從 y 中分離出來(lái)，因此也就無(wú)法得到隨機(jī)變量的樣本解決問(wèn)題的途徑是通過(guò)樣本的估計(jì)值來(lái)估計(jì)根據(jù)截距和斜率的估計(jì)公式（1）和（2 ) , 可以建立回歸方程,因此是（5）中的估計(jì)量由于隨機(jī)誤差，所以是的估計(jì)量對(duì)于樣本點(diǎn)（) , () ， ()而言，相應(yīng)于它們的隨機(jī)誤差為,其估計(jì)值為 ,稱為相應(yīng)于點(diǎn)的殘差（residual )類比樣本方差估計(jì)總體方差的思想，可以用 作為的估計(jì)量， 其中和由公式（1) (2）給出，Q（ ,）稱為殘差平方和（residual sum of squares )可以用衡量回歸方程的預(yù)報(bào)精度通常，越小，預(yù)報(bào)精度越高在研究?jī)蓚€(gè)變量間的關(guān)系時(shí)，首先要根據(jù)散點(diǎn)圖來(lái)粗略判斷它們是否線性相關(guān)，是否可以用線性回歸模型來(lái)擬合數(shù)據(jù)然后，可以通過(guò)殘差來(lái)判斷模型擬合的效果，判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)這方面的分析工作稱為殘差分析表3一 2 列出了女大學(xué)生身高和體重的原始數(shù)據(jù)以及相應(yīng)的殘差數(shù)據(jù)。編號(hào)12345678身高/cm165165157170175165155170體重/kg4857505464614359殘差-6.3732.6272.419-4.6181.1376.627 -2.8830.382我們可以利用圖形來(lái)分析殘差特性作圖時(shí)縱坐標(biāo)為殘差，橫坐標(biāo)可以選為樣本編號(hào)，或身高數(shù)據(jù)，或體重的估計(jì)值等，這樣作出的圖形稱為殘差圖圖 3 . 1 一 3 是以樣本編號(hào)為橫坐標(biāo)的殘差圖。從圖3 . 1 一 3 中可以看出，第 1 個(gè)樣本點(diǎn)和第 6 個(gè)樣本點(diǎn)的殘差比較大，需要確認(rèn)在采集這兩個(gè)樣本點(diǎn)的過(guò)程中是否有人為的錯(cuò)誤如果數(shù)據(jù)采集有錯(cuò)誤，就予以糾正，然后再重新利用線性回歸模型擬合數(shù)據(jù)；如果數(shù)據(jù)采集沒(méi)有錯(cuò)誤，則需要尋找其他的原因另外，殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說(shuō)明選用的模型比較合適.這樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說(shuō)明模型擬合精度越高，回歸方程的預(yù)報(bào)精度越高另外，我們還可以用相關(guān)指數(shù)來(lái)刻畫回歸的效果，其計(jì)算公式是：顯然，取值越大，意味著殘差平方和越小，也就是說(shuō)模型的擬合效果越好在線性回歸模型中，表示解釋變量對(duì)于預(yù)報(bào)變量變化的貢獻(xiàn)率 越接近于1，表示回歸的效果越好（因?yàn)樵浇咏?，表示解釋變量和預(yù)報(bào)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)）如果對(duì)某組數(shù)據(jù)可能采取幾種不同的回歸方程進(jìn)行回歸分析，也可以通過(guò)比較幾個(gè)，選擇大的模型作為這組數(shù)據(jù)的模型。在例 1 中，=0. 64 ，表明“女大學(xué)生的身高解釋了64 的體重變化”，或者說(shuō)“女大學(xué)生的體重差異有 64 是由身高引起的” 用身高預(yù)報(bào)體重時(shí)，需要注意下列問(wèn)題： 1回歸方程只適用于我們所研究的樣本的總體例如，不能用女大學(xué)生的身高和體重之間的回歸方程，描述女運(yùn)動(dòng)員的身高和體重之間的關(guān)系同樣，不能用生長(zhǎng)在南方多雨地區(qū)的樹(shù)木的高與直徑之間的回歸方程，描述北方干旱地區(qū)的樹(shù)木的高與直徑之間的關(guān)系。2我們所建立的回歸方程一般都有時(shí)間性例如，不能用 20 世紀(jì) 80 年代的身高體重?cái)?shù)據(jù)所建立的回歸方程，描述現(xiàn)在的身高和體重之間的關(guān)系。 3樣本取值的范圍會(huì)影響回歸方程的適用范圍例如，我們的回歸方程是由女大學(xué)生身高和體重?cái)?shù)據(jù)建立的，那么用它來(lái)描述一個(gè)人幼兒時(shí)期的身高和體重之間的關(guān)系就不恰當(dāng)（即在回歸方程中，解釋變量 x 的樣本的取值范圍為155cm,170cm ，而用這個(gè)方程計(jì)算 x-70cm 時(shí)的y值，顯然不合適。) 4不能期望回歸方程得到的預(yù)報(bào)值就是預(yù)報(bào)變量的精確值事實(shí)上，它是預(yù)報(bào)變量的可能取值的平均值一般地，建立回歸模型的基本步驟為： (1）確定研究對(duì)象，明確哪個(gè)變量是解釋變量，哪個(gè)變量是預(yù)報(bào)變量； (2）畫出確定好的解釋變量和預(yù)報(bào)變量的散點(diǎn)圖，觀察它們之間的關(guān)系（如是否存在線性關(guān)系等） (3）由經(jīng)驗(yàn)確定回歸方程的類型（如我們觀察到數(shù)據(jù)呈線性關(guān)系，則選用線性回歸方程 y=bx+a ) (4）按一定規(guī)則估計(jì)回歸方程中的參數(shù)（如最小二乘法）; (5）得出結(jié)果后分析殘差圖是否有異常（個(gè)別數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)殘差過(guò)大，或殘差呈現(xiàn)不隨機(jī)的規(guī)律性等等），若存在異常，則檢查數(shù)據(jù)是否有誤，或模型是否合適等例2.現(xiàn)收集了一只紅鈴蟲(chóng)的產(chǎn)卵數(shù)y和溫度x之間的7組觀測(cè)數(shù)據(jù)列于下表：溫度xoC21232527293235產(chǎn)卵數(shù)y/個(gè)711212466115325(1)試建立y與x之間的回歸方程；并預(yù)測(cè)溫度為28oC時(shí)產(chǎn)卵數(shù)目。(2)你所建立的模型中溫度在多大程度上解釋了產(chǎn)卵數(shù)的變化？探究：方案1（學(xué)生實(shí)施）：（1）選擇變量，畫散點(diǎn)圖。（2）通過(guò)計(jì)算器求得線性回歸方程:=19.87x-463.73（3）進(jìn)行回歸分析和預(yù)測(cè)：R2=r20.8642=0.7464預(yù)測(cè)當(dāng)氣溫為28 時(shí)，產(chǎn)卵數(shù)為92個(gè)。這個(gè)線性回歸模型中溫度解釋了74.64%產(chǎn)卵數(shù)的變化。困惑：隨著自變量的增加，因變量也隨之增加，氣溫為28 時(shí)，估計(jì)產(chǎn)卵數(shù)應(yīng)該低于66個(gè)，但是從推算的結(jié)果來(lái)看92個(gè)比66個(gè)卻多了26個(gè)，是什么原因造成的呢？方案2：(1)找到變量t=x 2，將y=bx2+a轉(zhuǎn)化成y=bt+a；(2)利用計(jì)算器計(jì)算出y和t的線性回歸方程：y=0.367t-202.54(3)轉(zhuǎn)換回y和x的模型： (4)y=0.367x2 -202.54（5）計(jì)算相關(guān)指數(shù)R20.802這個(gè)回歸模型中溫度解釋了80.2%產(chǎn)卵數(shù)的變化。預(yù)測(cè)：當(dāng)氣溫為28 時(shí)，產(chǎn)卵數(shù)為85個(gè)。困惑：比66還多19個(gè)，是否還有更適合的模型呢？方案3： (1)作變換z=lgy，將轉(zhuǎn)化成z=c2x+lgc1（線性模型）。 (2)利用計(jì)算器計(jì)算出z和x的線性回歸方程： z=0.118x-1.672 (3)轉(zhuǎn)換回y和x的模型： (4)計(jì)算相關(guān)指數(shù)R20.985這個(gè)回歸模型中溫度解釋了98.5%產(chǎn)卵數(shù)的變化。預(yù)測(cè)：當(dāng)氣溫為28 時(shí)，產(chǎn)卵數(shù)為4 2個(gè)。解：根據(jù)收集的數(shù)據(jù)作散點(diǎn)圖（圖3. 1一4 ) .在散點(diǎn)圖中，樣本點(diǎn)并沒(méi)有分布在某個(gè)帶狀區(qū)域內(nèi)，因此兩個(gè)變量不呈線性相關(guān)關(guān)系，所以不能直接利用線性回歸方程來(lái)建立兩個(gè)變量之間的關(guān)系根據(jù)已有的函數(shù)知識(shí)，可以發(fā)現(xiàn)樣本點(diǎn)分布在某一條指數(shù)函數(shù)曲線的周圍，其中和是待定參數(shù)現(xiàn)在，問(wèn)題變?yōu)槿绾喂烙?jì)待定參數(shù)和我們可以通過(guò)對(duì)數(shù)變換把指數(shù)關(guān)系變?yōu)榫€性關(guān)系令，則變換后樣本點(diǎn)應(yīng)該分布在直線的周圍這樣，就可以利用線性回歸模型來(lái)建立 y 和 x 之間的非線性回歸方程了由表3一3 的數(shù)據(jù)可以得到變換后的樣本數(shù)據(jù)表 3一4 ，圖3.1一5 給出了表 3 一 4 中數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖從圖3.1一5 中可以看出，變換后的樣本點(diǎn)分布在一條直線的附近，因此可以用線性回歸方程來(lái)擬合x(chóng)21232527293235z1.9463.3983.0453.1784.1904.7455.784由表 3 一 4 中的數(shù)據(jù)得到線性回歸方程.因此紅鈴蟲(chóng)的產(chǎn)卵數(shù)對(duì)溫度的非線性回歸方程為. ( 6 ) 另一方面，可以認(rèn)為圖3. 1一4 中樣本點(diǎn)集中在某二次曲線的附近，其中和為待定參數(shù)因此可以對(duì)溫度變量做變換，即令，然后建立y與t之間的線性回歸方程，從而得到y(tǒng)與x之間的非線性回歸方程表3一5 是紅鈴蟲(chóng)的產(chǎn)卵數(shù)和對(duì)應(yīng)的溫度的平方，圖3 . 1一6 是相應(yīng)的散點(diǎn)圖t44152962572984110241225x711212466115325 從圖3.1一6 中可以看出，y與t的散點(diǎn)圖并不分布在一條直線的周圍，因此不宜用線性回歸方程來(lái)擬合它，即不宜用二次曲線來(lái)擬合 y 和 x 之間的關(guān)系這個(gè)結(jié)論還可以通過(guò)殘差分析得到，下面介紹具體方法為比較兩個(gè)不同模型的殘差，需要建立兩個(gè)相應(yīng)的回歸方程前面我們已經(jīng)建立了y關(guān)于x 的指數(shù)回歸方程，下面建立y關(guān)于x的二次回歸方程用線性回歸模型擬合表 3 一 5 中的數(shù)據(jù)，得到 y 關(guān)于 t 的線性回歸方程, 即 y 關(guān)于 x 的二次回歸方程為 . ( 7 ) 可以通過(guò)殘差來(lái)比較兩個(gè)回歸方程（ 6 ）和（ 7 ）的擬合效果用 xi表示表3一3 中第 1 行第 i 列的數(shù)據(jù)，則回歸方程（ 6 ）和（ 7 ）的殘差計(jì)算公式分別為 ;.表3一6 給出了原始數(shù)據(jù)及相應(yīng)的兩個(gè)回歸方程的殘差從表中的數(shù)據(jù)可以看出模型 ( 6 ）的殘差的絕對(duì)值顯然比模型（ 7 ）的殘差的絕對(duì)值小，因此模型（ 6 ）的擬合效果比模型（ 7 ) 的擬合效果好x21232527293235y711212466115325 0.557-0.1011.875-8.9509.230-13.38134.67547.69619.400-5.832-41.000-40.1.4-58.26577.968在一般情況下，比較兩個(gè)模型的殘差比較困難原因是在某些樣本點(diǎn)上一個(gè)模型的殘差的絕對(duì)值比另一個(gè)模型的小，而另一些樣本點(diǎn)的情況則相反這時(shí)可以通過(guò)比較兩個(gè)模型的殘差平方和的大小來(lái)判斷模型的擬合效果殘差平方和越小的模型,擬合的效果越好由表 3 一 6 容易算出模型（ 6 ）和（ 7 ）的殘差平方和分別為 . 因此模型（6）的擬合效果遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于模型（7）. 類似地，還可以用尸來(lái)比較兩個(gè)模型的擬合效果，R2越大，擬合的效果越好由表 3 一 6 容易算出模型（6）和（7）的R2分別約為 0 . 98 和 0 . 80 ，因此模型（ 6 ）的效果好于模型（7) 的效果對(duì)于給定的樣本點(diǎn)（) , () ， ()，兩個(gè)含有未知參數(shù)的模型和, 其中 a 和 b 都是未知參數(shù)可以按如下的步驟來(lái)比較它們的擬合效果： (1)分別建立對(duì)應(yīng)于兩個(gè)模型的回歸方程與, ，其中和分別是參數(shù)a和b的估計(jì)值； (2)分別計(jì)算兩個(gè)回歸方程的殘差平方和與;( s ）若，則的效果比的好；反之，的效果不如的好例2：（提示后做練習(xí)、作業(yè)）研究某灌溉渠道水的流速y與水深x之間的關(guān)系，測(cè)得一組數(shù)據(jù)如下：水深xm1.401.501.601.701.801.902.002.10流速ym/s1.701.791.881.952.032.102.162.21（1）求y對(duì)x的回歸直線方程；（2）預(yù)測(cè)水深為1。95m 時(shí)水的流速是多少？解：依題意，把溫度作為解釋變量x ，產(chǎn)卵個(gè)數(shù)y作為預(yù)報(bào)變量 , 作散點(diǎn)圖，由觀察知兩個(gè)變量不呈線性相關(guān)關(guān)系。但樣本點(diǎn)分布在某一條指數(shù)函數(shù) y=c1ec2 x 周圍.令 z=lny , a=lnc1 , b=c2 則 z=bx+a 此時(shí)可用線性回歸來(lái)擬合 z=0.272x-3.843因此紅鈴蟲(chóng)的產(chǎn)卵數(shù)對(duì)溫度的非線性回歸方程為Y=e0.272x-3.843.3、從上節(jié)課的例1提出的問(wèn)題引入線性回歸模型：Y=bx+a+e解釋變量x 預(yù)報(bào)變量y隨機(jī)誤差 e 4、（1） 相關(guān)指數(shù)： 相關(guān)系數(shù) r (公式) , r>0 正相關(guān). R<0 負(fù)相關(guān) R絕對(duì)值接近于1相關(guān)性強(qiáng)接 r絕對(duì)值 近于0 相關(guān)性幾乎無(wú) 5、回憶建立模型的基本步驟 例2 問(wèn)題背景分析 畫散點(diǎn)圖。 觀察散點(diǎn)圖，分析解釋變量與預(yù)報(bào)變量更可能是什么函數(shù)關(guān)系。 學(xué)生討論后建立自己的模型 引導(dǎo)學(xué)生探究如果不是線性回歸模型如何估計(jì)參數(shù)。能否利用回歸模型 通過(guò)探究體會(huì)有些不是線性的模型通過(guò)變換可以轉(zhuǎn)化為線性模型 對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行變換后，對(duì)數(shù)據(jù)（新）建立線性模型 轉(zhuǎn)化為原來(lái)的變量模型，并通過(guò)計(jì)算相關(guān)指數(shù)比較幾個(gè)不同模型的擬合效果 總結(jié)建模的思想。鼓勵(lì)學(xué)生大膽創(chuàng)新。 布置課后作業(yè)： 習(xí)題1.1 1、6、復(fù)習(xí)與鞏固：練習(xí)1：某班5名學(xué)生的數(shù)學(xué)和化學(xué)成績(jī)?nèi)缦卤硭?，?duì)x與y進(jìn)行回歸分析，并預(yù)報(bào)某學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)?5分時(shí)，他的化學(xué)成績(jī)。ABCDE數(shù)學(xué)x8876736663化學(xué)y7865716461解略。練習(xí)2：某醫(yī)院用光電比色計(jì)檢驗(yàn)?zāi)蚬瘯r(shí)，得尿汞含量 (mg/l) 與消光系數(shù)的結(jié)果如下：尿汞含量x246810消光系數(shù)y64138205285360（1）求回歸方程。（2）求相關(guān)指數(shù)R2。解：略。（三） 課堂小結(jié)1.知識(shí)梳理：2規(guī)律小結(jié)：（1）回歸直線方程；（2）樣本相關(guān)系數(shù)；（3）樣本殘差分析；（4）樣本指數(shù)；（5）建立回歸模型的基本步驟。（四） 作業(yè)：（五） 課后反思：本節(jié)內(nèi)容對(duì)回歸分析的探討過(guò)程很精彩，學(xué)生討論很熱烈，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。但對(duì)殘差分析學(xué)生只能欣賞它的過(guò)程，計(jì)算量太大，思維的跳躍性太強(qiáng)！3.2獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及其初步應(yīng)用（共計(jì)3課時(shí)）授課類型：新授課一、教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)對(duì)象分析通過(guò)典型案例，學(xué)習(xí)下列一些常用的統(tǒng)計(jì)方法，并能初步應(yīng)用這些方法解決一些實(shí)際問(wèn)題。 通過(guò)對(duì)典型案例（如“患肺癌與吸煙有關(guān)嗎”等）的探究。了解獨(dú)立性檢驗(yàn)（只要求2×2列聯(lián)表）的基本思想、方法及初步應(yīng)用。 通過(guò)對(duì)典型案例（如“人的體重與身高的關(guān)系”等）的探究，了解回歸的基本思想、 方法及其初步應(yīng)用。二. 學(xué)習(xí)目標(biāo)1、知識(shí)與技能通過(guò)本節(jié)知識(shí)的學(xué)習(xí)，了解獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想和初步應(yīng)用，能對(duì)兩個(gè)分類變量是否有關(guān)做出明確的判斷。明確對(duì)兩個(gè)分類變量的獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想具體步驟，會(huì)對(duì)具體問(wèn)題作出獨(dú)立性檢驗(yàn)。2、過(guò)程與方法在本節(jié)知識(shí)的學(xué)習(xí)中，應(yīng)使學(xué)生從具體問(wèn)題中認(rèn)識(shí)進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)的作用及必要性，樹(shù)立學(xué)好本節(jié)知識(shí)的信心，在此基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)三維柱形圖和二維柱形圖，并認(rèn)識(shí)它們的基本作用和存在的不足，從而為學(xué)習(xí)下面作好鋪墊，進(jìn)而介紹K的平方的計(jì)算公式和K的平方的觀測(cè)值R的求法，以及它們的實(shí)際意義。從中得出判斷“X與Y有關(guān)系”的一般步驟及利用獨(dú)立性檢驗(yàn)來(lái)考察兩個(gè)分類變量是否有關(guān)系，并能較準(zhǔn)確地給出這種判斷的可靠程度的具體做法和可信程度的大小。最后介紹了獨(dú)立性檢驗(yàn)思想的綜合運(yùn)用。3、情感、態(tài)度與價(jià)值觀通過(guò)本節(jié)知識(shí)的學(xué)習(xí)，首先讓學(xué)生了解對(duì)兩個(gè)分類博變量進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)的必要性和作用，并引導(dǎo)學(xué)生注意比較與觀測(cè)值之間的聯(lián)系與區(qū)別，從而引導(dǎo)學(xué)生去探索新知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生全面的觀點(diǎn)和辨證地分析問(wèn)題，不為假想所迷惑，尋求問(wèn)題的內(nèi)在聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)的良好的數(shù)學(xué)品質(zhì)。加強(qiáng)與現(xiàn)實(shí)生活相聯(lián)系，從對(duì)實(shí)際問(wèn)題的分析中學(xué)會(huì)利用圖形分析、解決問(wèn)題及用具體的數(shù)量來(lái)衡量?jī)蓚€(gè)變量之間的聯(lián)系，學(xué)習(xí)用圖形、數(shù)據(jù)來(lái)正確描述兩個(gè)變量的關(guān)系。明確數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)生活中的重要作用和實(shí)際價(jià)值。教學(xué)中，應(yīng)多給學(xué)生提供自主學(xué)習(xí)、獨(dú)立探究、合作交流的機(jī)會(huì)。養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度及實(shí)事求是的分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的科學(xué)世界觀，并會(huì)用所學(xué)到的知識(shí)來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題。三教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：理解獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想；獨(dú)立性檢驗(yàn)的步驟。教學(xué)難點(diǎn)；1、理解獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想；2、了解隨機(jī)變量K2的含義；3、獨(dú)立性檢驗(yàn)的步驟。四、教學(xué)策略教學(xué)方法：誘思探究教學(xué)法 學(xué)習(xí)方法：自主探究、觀察發(fā)現(xiàn)、合作交流、歸納總結(jié)。教學(xué)手段：多媒體輔助教學(xué)五、教學(xué)過(guò)程：對(duì)于性別變量，其取值為男和女兩種這種變量的不同“值”表示個(gè)體所屬的不同類別，像這類變量稱為分類變量在現(xiàn)實(shí)生活中，分類變量是大量存在的，例如是否吸煙，宗教信仰，國(guó)籍，等等在日常生活中，我們常常關(guān)心兩個(gè)分類變量之間是否有關(guān)系例如，吸煙與患肺癌是否有關(guān)系？性別對(duì)于是否喜歡數(shù)學(xué)課程有影響？等等為調(diào)查吸煙是否對(duì)肺癌有影響，某腫瘤研究所隨機(jī)地調(diào)查了9965人，得到如下結(jié)果（單位：人）表3-7 吸煙與肺癌列聯(lián)表不患肺癌患肺癌總計(jì)不吸煙7775427817吸煙2099492148總計(jì)9874919965那么吸煙是否對(duì)患肺癌有影響嗎？像表3一7 這樣列出的兩個(gè)分類變量的頻數(shù)表，稱為列聯(lián)表由吸煙情況和患肺癌情況的列聯(lián)表可以粗略估計(jì)出：在不吸煙者中，有0.54 患有肺癌；在吸煙者中，有2.28患有肺癌因此，直觀上可以得到結(jié)論：吸煙者和不吸煙者患肺癌的可能性存在差異與表格相比，三維柱形圖和二維條形圖能更直觀地反映出相關(guān)數(shù)據(jù)的總體狀況圖3. 2 一1 是列聯(lián)表的三維柱形圖，從中能清晰地看出各個(gè)頻數(shù)的相對(duì)大小圖3.2一2 是疊在一起的二維條形圖，其中淺色條高表示不患肺癌的人數(shù)，深色條高表示患肺癌的人數(shù)從圖中可以看出，吸煙者中患肺癌的比例高于不吸煙者中患肺癌的比例為了更清晰地表達(dá)這個(gè)特征，我們還可用如下的等高條形圖表示兩種情況下患肺癌的比例如圖3.2一3 所示，在等高條形圖中，淺色的條高表示不患肺癌的百分比；深色的條高表示患肺癌的百分比通過(guò)分析數(shù)據(jù)和圖形，我們得到的直觀印象是“吸煙和患肺癌有關(guān)”那么我們是否能夠以一定的把握認(rèn)為“吸煙與患肺癌有關(guān)”呢？為了回答上述問(wèn)題，我們先假設(shè)H0：吸煙與患肺癌沒(méi)有關(guān)系用A表示不吸煙， B表示不患肺癌，則“吸煙與患肺癌沒(méi)有關(guān)系”獨(dú)立”，即假設(shè) H0等價(jià)于PAB）=P(A）+P(B) . 把表3一7中的數(shù)字用字母代替，得到如下用字母表示的列聯(lián)表：表3-8 吸煙與肺癌列聯(lián)表不患肺癌患肺癌總計(jì)不吸煙aba+b吸煙cdc+d總計(jì)a+cb+da+b+c+d在表3一8中，a恰好為事件AB發(fā)生的頻數(shù)；a+b 和a+c恰好分別為事件A和B發(fā)生的頻數(shù)由于頻率近似于概率，所以在H0成立的條件下應(yīng)該有,其中為樣本容量， (a+b+c+d)(a+b)(a+c) , 即adbc.因此，|ad-bc|越小，說(shuō)明吸煙與患肺癌之間關(guān)系越弱；|ad -bc|越大，說(shuō)明吸煙與患肺癌之間關(guān)系越強(qiáng) 為了使不同樣本容量的數(shù)據(jù)有統(tǒng)一的評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)，基于上面的分析，我們構(gòu)造一個(gè)隨機(jī)變量 (1)其中為樣本容量若 H0 成立，即“吸煙與患肺癌沒(méi)有關(guān)系”，則 K “應(yīng)該很小根據(jù)表3一7中的數(shù)據(jù)，利用公式（1）計(jì)算得到 K “的觀測(cè)值為,這個(gè)值到底能告訴我們什么呢？統(tǒng)計(jì)學(xué)家經(jīng)過(guò)研究后發(fā)現(xiàn)，在 H0成立的情況下，. (2) (2）式說(shuō)明，在H0成立的情況下，的觀測(cè)值超過(guò) 6. 635 的概率非常小，近似為0 . 01，是一個(gè)小概率事件現(xiàn)在的觀測(cè)值56.632 ，遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于6. 635，所以有理由斷定H0不成立，即認(rèn)為“吸煙與患肺癌有關(guān)系”但這種判斷會(huì)犯錯(cuò)誤，犯錯(cuò)誤的概率不會(huì)超過(guò)0.01，即我們有99的把握認(rèn)為“吸煙與患肺癌有關(guān)系” 在上述過(guò)程中，實(shí)際上是借助于隨機(jī)變量的觀測(cè)值建立了一個(gè)判斷H0是否成立的規(guī)則：如果6. 635，就判斷H0不成立，即認(rèn)為吸煙與患肺癌有關(guān)系；否則，就判斷H0成立，即認(rèn)為吸煙與患肺癌沒(méi)有關(guān)系在該規(guī)則下，把結(jié)論“H0 成立”錯(cuò)判成“H0 不成立”的概率不會(huì)超過(guò), 即有99的把握認(rèn)為從不成立上面解決問(wèn)題的想法類似于反證法要確認(rèn)是否能以給定的可信程度認(rèn)為“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”，首先假設(shè)該結(jié)論不成立，即 H0:“兩個(gè)分類變量沒(méi)有關(guān)系”成立在該假設(shè)下我們所構(gòu)造的隨機(jī)變量應(yīng)該很小如果由觀測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算得到的的觀測(cè)值k很大，則在一定可信程度上說(shuō)明H0不成立，即在一定可信程度上認(rèn)為“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”；如果k的值很小，則說(shuō)明由樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)沒(méi)有發(fā)現(xiàn)反對(duì)H0 的充分證據(jù)怎樣判斷的觀測(cè)值 k 是大還是小呢？這僅需確定一個(gè)正數(shù)，當(dāng)時(shí)就認(rèn)為 的觀測(cè)值k大此時(shí)相應(yīng)于的判斷規(guī)則為：如果，就認(rèn)為“兩個(gè)分類變量之間有關(guān)系”；否則就認(rèn)為“兩個(gè)分類變量之間沒(méi)有關(guān)系”. 我們稱這樣的為一個(gè)判斷規(guī)則的臨界值按照上述規(guī)則，把“兩個(gè)分類變量之間沒(méi)有關(guān)系”錯(cuò)誤地判斷為“兩個(gè)分類變量之間有關(guān)系”的概率為. 在實(shí)際應(yīng)用中，我們把解釋為有的把握認(rèn)為“兩個(gè)分類變量之間有關(guān)系”；把解釋為不能以的把握認(rèn)為“兩個(gè)分類變量之間有關(guān)系”，或者樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)沒(méi)有提供“兩個(gè)分類變量之間有關(guān)系”的充分證據(jù)上面這種利用隨機(jī)變量來(lái)確定是否能以一定把握認(rèn)為“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”的方法，稱為兩個(gè)分類變量的獨(dú)立性檢驗(yàn) 利用上面結(jié)論，你能從列表的三維柱形圖中看出兩個(gè)變量是否相關(guān)嗎？ 一般地，假設(shè)有兩個(gè)分類變量X和Y，它們的可能取值分別為和, 其樣本頻數(shù)列聯(lián)表（稱為2×2列聯(lián)表）為：表3一 9 2×2列聯(lián)表總計(jì)總計(jì)若要推斷的論述為Hl:X與Y有關(guān)系，可以按如下步驟判斷結(jié)論Hl 成立的可能性： 1通過(guò)三維柱形圖和二維條形圖，可以粗略地判斷兩個(gè)分類變量是否有關(guān)系，但是這種判斷無(wú)法精確地給出所得結(jié)論的可靠程度 在三維柱形圖中，主對(duì)角線上兩個(gè)柱形高度的乘積ad 與副對(duì)角線上的兩個(gè)柱形高度的乘積bc相差越大，H1成立的可能性就越大 在二維條形圖中，可以估計(jì)滿足條件X=的個(gè)體中具有Y=的個(gè)體所占的比例，也可以估計(jì)滿足條件X=的個(gè)體中具有Y=，的個(gè)體所占的比例.“兩個(gè)比例的值相差越大，Hl 成立的可能性就越大 2可以利用獨(dú)立性檢驗(yàn)來(lái)考察兩個(gè)分類變量是否有關(guān)系，并且能較精確地給出這種判斷的可靠程度具體做法是： 根據(jù)實(shí)際問(wèn)題需要的可信程度確定臨界值； 利用公式（ 1 ) ，由觀測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算得到隨機(jī)變量的觀測(cè)值; 如果，就以的把握認(rèn)為“X與Y有關(guān)系”；否則就說(shuō)樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)沒(méi)有提供“X與Y有關(guān)系”的充分證據(jù)在實(shí)際應(yīng)用中，要在獲取樣本數(shù)據(jù)之前通過(guò)下表確定臨界值：表3一100.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.0010.4550.7081.3232.0721.3232.7063.8415.0246.63510.828 （四）、舉例：例1在某醫(yī)院，因?yàn)榛夹呐K病而住院的 665 名男性病人中，有 214 人禿頂，而另外 772 名不是因?yàn)榛夹呐K病而住院的男性病人中有 175 人禿頂 (1)利用圖形判斷禿頂與患心臟病是否有關(guān)系 (2)能夠以 99 的把握認(rèn)為禿頂與患心臟病有關(guān)系嗎？為什么？解：根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)得到如下列聯(lián)表：(1)相應(yīng)的三維柱形圖如圖3.2一4所示比較來(lái)說(shuō)，底面副對(duì)角線上兩個(gè)柱體高度的乘積要大一些，可以在某種程度上認(rèn)為“禿頂與患心臟病有關(guān)”.(2)根據(jù)列聯(lián)表3一11中的數(shù)據(jù)，得到16.373>6 . 因此有 99 的把握認(rèn)為“禿頂與患心臟病有關(guān)” .例2為考察高中生的性別與是否喜歡數(shù)學(xué)課程之間的關(guān)系,在某城市的某校高中生中隨機(jī)抽取300名學(xué)生，得到如下列聯(lián)表：表3一12 性別與喜歡數(shù)學(xué)課程列聯(lián)表喜歡數(shù)學(xué)課程不喜歡數(shù)學(xué)課程總計(jì)男 37 85122女 35 143178總計(jì) 72 228300由表中數(shù)據(jù)計(jì)算得的觀測(cè)值能夠以95的把握認(rèn)為高中生的性別與是否喜歡數(shù)學(xué)課程之間有關(guān)系嗎？請(qǐng)?jiān)敿?xì)闡明得出結(jié)論的依據(jù)解：可以有約95以上的把握認(rèn)為“性別與喜歡數(shù)學(xué)課之間有關(guān)系”作出這種判斷的依據(jù)是獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想，具體過(guò)程如下：分別用a , b , c , d 表示樣本中喜歡數(shù)學(xué)課的男生人數(shù)、不喜歡數(shù)學(xué)課的男生人數(shù)、喜歡數(shù)學(xué)課的女生人數(shù)、不喜歡數(shù)學(xué)課的女生人數(shù)如果性別與是否喜歡數(shù)學(xué)課有關(guān)系，則男生中喜歡數(shù)學(xué)課的比例與女生中喜歡數(shù)學(xué)課的人數(shù)比例應(yīng)該相差很多，即應(yīng)很大將上式等號(hào)右邊的式子乘以常數(shù)因子,然后平方得 ,其中因此越大，“性別與喜歡數(shù)學(xué)課之間有關(guān)系”成立的可能性越大另一方面，在假設(shè)“性別與喜歡數(shù)學(xué)課之間沒(méi)有關(guān)系”的前提下，事件A =3. 841的概率為P (3. 841) 0.05,因此事件 A 是一個(gè)小概率事件而由樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得的觀測(cè)值k=4.514，即小概率事件 A發(fā)生因此應(yīng)該斷定“性別與喜歡數(shù)學(xué)課之間有關(guān)系”成立，并且這種判斷結(jié)果出錯(cuò)的可能性約為5 %所以，約有95 的把握認(rèn)為“性別與喜歡數(shù)學(xué)課之間有關(guān)系”.補(bǔ)充例題1：打鼾不僅影響別人休息，而且可能與患某種疾病有關(guān)，下表是一次調(diào)查所得的數(shù)據(jù)，試問(wèn)：每一晚都打鼾與患心臟病有關(guān)嗎？患心臟病未患心臟病合計(jì)每一晚都打鼾30224254不打鼾2413551379合計(jì)5415791633解：略。補(bǔ)充例題2： 對(duì)196個(gè)接受心臟搭橋手術(shù)的病人和196個(gè)接受血管清障手術(shù)的病人進(jìn)行3年跟蹤研究，調(diào)查他們是否又發(fā)作過(guò)心臟病，調(diào)查結(jié)果如下表所示：又發(fā)作過(guò)心臟病未發(fā)作過(guò)心臟病合計(jì)心臟搭橋手術(shù)39157196血管清障手術(shù)29167196合計(jì)68324392試根據(jù)上述數(shù)據(jù)比較兩種手術(shù)對(duì)病人又發(fā)作心臟病的影響有沒(méi)有差別。解略（四） 課堂小結(jié)1知識(shí)梳理2規(guī)律小結(jié)（1）三維柱形圖與二維條形圖（2）獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想（3）獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般方法（五） 作業(yè)五 課后反思：本節(jié)內(nèi)容對(duì)獨(dú)立性檢驗(yàn)的探討過(guò)程學(xué)生基本沒(méi)什么困難，還有學(xué)生提出了新的探討路徑和思想，學(xué)生思維活潑！對(duì)獨(dú)立性檢驗(yàn)的作用，本節(jié)課也作了系統(tǒng)總結(jié)比較。- 22 -