高一數(shù)學(xué)（人教A版）必修4能力提升：2-5 平面向量應(yīng)用舉例

能 力 提 升一、選擇題1(2013·煙臺模擬)若M為ABC所在平面內(nèi)一點，且滿足()·(2)0，則ABC為()A直角三角形B等腰三角形C等邊三角形 D等腰直角三角形答案B解析由()·(2)0，可知·()0，設(shè)BC的中點為D，則2，故·0，所以.又D為BC中點，故ABC為等腰三角形2(2013·福建文)在四邊形ABCD中，(1,2)，(4,2)，則該四邊形的面積為()A. B2 C5D10答案C解析本題考查向量的坐標(biāo)運算，數(shù)量積、模等由題意知AC，BD為四邊形對角線，而·1×(4)2×20ACBD.S四邊形ABCD×|×|××××5.3若向量(2,2)、(2,3)分別表示兩個力F1、F2，則|F1F2|為()A(0,5) B(4，1)C2 D5答案D解析F1F2(2,2)(2,3)(0,5)，|F1F2|5.4速度|v1|10 m/s，|v2|12 m/s，且v1與v2的夾角為60°，則合速度的大小是()A2 m/s B10 m/sC12 m/s D2m/s答案D解析|v|2|v1v2|2|v1|22v1·v2|v2|21002×10×12cos60°144364.|v|2(m/s)5一質(zhì)點受到平面上的三個力F1、F2、F3(單位：N)的作用而處于平衡狀態(tài)已知F1、F2成60°角，且F1、F2的大小分別為2和4，則F3的大小為()A2 B2 C2 D6答案A解析F1F2F30，F(xiàn)3F1F2，|F3|F1F2|2.6已知向量a表示“向東航行1km”，向量b表示“向北航行km”，則向量ab表示()A向東北方向航行2 kmB向北偏東30°方向航行2 kmC向北偏東60°方向航行2 kmD向東北方向航行(1)km答案B解析a與b的夾角為90°，則a·b0，則|ab|2，a·(ab)|a|2a·b1.設(shè)a與ab的夾角為，則cos，60°，即ab表示向北偏東30°方向航行2 km.二、填空題7某人從點O向正東走30 m到達(dá)點A，再向正北走30m到達(dá)點B，則此人的位移的大小是_m，方向是東偏北_答案6060°解析如圖所示，此人的位移是，且，則|60(m)，tanBOA.BOA60°.8(浙江高考)若平面向量、滿足|1，|1，且以向量、為鄰邊的平行四邊形的面積為，則與的夾角的取值范圍是_答案，解析以，為鄰邊的平行四邊形的面積為：S|sin|sin，所以sin，又因為|1，所以，即sin且0，所以，9(廣東韶關(guān)模擬)作用于同一點的兩個力F1、F2的夾角為，且|F1|3，|F2|5，則F1F2的大小為_答案解析|F1F2|2(F1F2)2F2F1·F2F322×3×5×cos5219，所以|F1F2|.三、解答題10如圖所示，已知ABCD中，AB3，AD1，DAB，求對角線AC和BD的長解析設(shè)a，b，a與b的夾角為，則|a|3，|b|1，.a·b|a|b|cos.又ab，ab，|，|.AC，DB.11已知：ABCD中，ACBD，求證：四邊形ABCD是矩形證明設(shè)a，b，由于四邊形ABCD是平行四邊形，ab，ba.ACBD，|ab|ba|.|ab|2|ba|2.|a|22a·b|b|2|b|22a·b|a|2.a·b0.ab，即.ABAD.四邊形ABCD是矩形12今有一小船位于d60 m寬的河邊P處，從這里起，在下游l80 m處河流有一瀑布，若河水流速方向由上游指向下游(與河岸平行)，水速大小為5 m/s，如圖，為了使小船能安全渡河，船的劃速不能小于多少？當(dāng)劃速最小時，劃速方向如何？(sin37°)解析如圖，由題設(shè)可知，船的實際速度vv劃v水，其方向為臨界方向.則最小劃速|(zhì)v劃|v水|·sin，sin，37°.最小劃速應(yīng)為v劃5×sin5×3(m/s)當(dāng)劃速最小時，劃速的方向與水流方向的夾角為127°.