實驗九 離散系統(tǒng)Z域分析

實驗九 離散系統(tǒng)Z域分析1實驗?zāi)康?1) 理解并掌握系統(tǒng)函數(shù)的概念。(2) 掌握利用MATLAB繪制系統(tǒng)函數(shù)的零極點分布圖。(3) 掌握系統(tǒng)函數(shù)零極點的分布與系統(tǒng)時域、頻域特性之間的關(guān)系。(4) 利用MATLAB求系統(tǒng)函數(shù)零、極點的方法。2實驗原理及方法2.1離散時間LTI系統(tǒng)的Z域描述線性時不變離散系統(tǒng)可以用如下所示的線性常系數(shù)差分方程來描述。 9-1其中y(k)為系統(tǒng)輸出序列，f (k)為輸入系列。將式9-1兩邊進行Z變換得： 9-2式9-2中A(z)和B(z)分別是由描述系統(tǒng)的差分方程的系數(shù)決定的關(guān)于z的多項式，將式9-2因式分解后有： 9-3其中C為常數(shù)，qj (j1,2,.,M)為H(z)的M個零點，pi (i1,2,N)為H(z)的N個極點。由以上分析可以看出，系統(tǒng)函數(shù)H(z)的零、極點的分布完全決定了系統(tǒng)的特性，若某離散系統(tǒng)的零點、極點已知，則系統(tǒng)函數(shù)便可確定下來。 因此，系統(tǒng)函數(shù)的零極點分布對我們進行離散系統(tǒng)特性的分析具有非常重要的意義。通過對系統(tǒng)函數(shù)零極點的分析，我們可以分析離散系統(tǒng)以下幾個方面的特性； (1) 系統(tǒng)單位響應(yīng)h(k)的時域特性 (2) 離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性 (3) 離散系統(tǒng)的頻率特性（幅頻響應(yīng)和相頻響應(yīng)） 要通過系統(tǒng)函數(shù)零極點來分析系統(tǒng)特性，首先就要求出系統(tǒng)函數(shù)的零極點，然后繪制零點、極點圖。MATLAB為我們快速、高效地分析離散系統(tǒng)特性提供了強有力的工具。下面就介紹如何利用MATLAB實現(xiàn)這一過程。設(shè)離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為：則系統(tǒng)函數(shù)的零點和極點可以用MATLAB的多項式求根函數(shù)roots()來實現(xiàn)，調(diào)用函數(shù)roots()的命令格式為： p=roots(A)其中A為待求根的多項式的系數(shù)構(gòu)成的行向量，返回向量p則是包含該多項式所有根位置的列向量。例如多項式為： 則求該多項式根的MATLAB命令應(yīng)為： A=1 3/4 1/8; P=roots(A) 運行結(jié)果為：p -0.5000 -0.2500 需要注意的是，在求系統(tǒng)函數(shù)零極點時，離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)可能有兩種形式，一種是分子和分母多項式均按Z的降冪次序排列，如式9-4所示：另一種是分子多項式和分母多項式均按Z'的升冪次序排列，如式9-5所示。上述兩種方式在構(gòu)造多項式系數(shù)向量時稍有不同。 9-4 9-5 若H(z)是以z的降冪形式排列，則系數(shù)向量一定要由多項式的最高冪次開始，一直到常數(shù)項，缺項要用0補齊。例如對式9-4所示的系統(tǒng)函數(shù)，其分子多項式的系數(shù)向量應(yīng)為：B=1 0 2 0，分母多項式的系數(shù)向量應(yīng)為：A=1 3 2 2 1。 若H(z)是以的升冪形式排列，則分子和分母多項式系數(shù)向量的維數(shù)一定要相同，不足的要用0補齊，否則Z=0的零點或極點就可能被漏掉，例如，對式9-5所示的系統(tǒng)函數(shù)，其分子多項式系數(shù)向量應(yīng)為：B=1 1 0，分母多項式系數(shù)向量應(yīng)為：A=1 1/2 1/41。2.2系統(tǒng)函數(shù)的零極點分布圖下面給出一個用于繪制離散時間LTI系統(tǒng)的零極點圖的擴展函數(shù)ljdt(A,B)：function ljdt(A,B)p=roots(A); %求系統(tǒng)極點 q=roots(B); %求系統(tǒng)零點 p=p' q=q' x=max(abs(p q 1); %確定縱坐標(biāo)范圍 x=x+0.1; y=x; %確定橫坐標(biāo)范圍 hold on axis(-x x -y y) %確定坐標(biāo)軸顯示范圍 w=0:pi/300:2*pi; t=exp(i*w); plot(t) %畫單位圓 axis('square') plot(-x x,0 0) %畫橫坐標(biāo)軸 plot(0 0,-y y) %畫縱坐標(biāo)軸 text(0.1,x,'jImz') text(y,1/10,'Rez') plot(real(p),imag(p), 'rx','MarkerSize',10) %畫極點 plot(real(q),imag(q),'go','MarkerSize',10) %畫零點 title('離散系統(tǒng)零極點圖') %標(biāo)注標(biāo)題 上述程序中，傳入?yún)⒘緼和B分別是要繪制零極點圖的系統(tǒng)函數(shù)的分母和分子多項式的系數(shù)向量。例9-1：分析一個離散系統(tǒng)，其系統(tǒng)函數(shù)分別如下： 可直接運用上述繪圖函數(shù)ljdt()繪出這個離散系統(tǒng)的零極點分布圖。調(diào)用繪制零極點圖程序的命令如下：A=1 -3 7 -5;B=3 -5 10 0;ljdt(A,B)運行結(jié)果如圖9-1所示。圖9-1 離散系統(tǒng)零極點圖2.3離散系統(tǒng)的零極點分布與系統(tǒng)穩(wěn)定性與連續(xù)系統(tǒng)的分析一樣，根據(jù)系統(tǒng)函數(shù)H(z)的零極點分布來分析離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性也是離散系統(tǒng)零極點分析的重要應(yīng)用之一。 對任意有界的輸入序列f (k)，若系統(tǒng)產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)y(k)也是有界的，則稱該離散系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)，否則，則稱為不穩(wěn)定系統(tǒng)?？梢宰C明，上述系統(tǒng)穩(wěn)定性的定義可以等效為下列條件：(1) 時域條件：離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為： ， 即系統(tǒng)單位響應(yīng)絕對求和。 (2) z域條件：離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為系統(tǒng)函數(shù)H (z)的所有極點均位于z平面的單位圓內(nèi)。離散系統(tǒng)穩(wěn)定的時域條件和z域條件是等價的。只要考察系統(tǒng)函數(shù)H (z)的極點分布，就可判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。對于三階以下的低階系統(tǒng)，可以利用求根公式方便地求出離散系統(tǒng)的極點位置，從而判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。但對于高階系統(tǒng)，手工求解極點位置則顯得非常困難。這時可以利用MATLAB來實現(xiàn)這一過程。例9-2：已知某離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為： 試用MATLAB求出該系統(tǒng)的零極點，并畫出零極點分布圖，判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定。 解：調(diào)用前面介紹的繪制離散系統(tǒng)零極點圖函數(shù)ljdt()即可解決此問題，對應(yīng)的MATLAB命令為： a=3 -1 0 0 0 1; b= 1 1; ljdt(a,b) 系統(tǒng)零極圖如圖9-2所示。從零極點圖可以看出，該系統(tǒng)的所有極點均位于Z平面的單位圓內(nèi)，故為穩(wěn)定系統(tǒng)。 圖9-2 例9-2離散系統(tǒng)零極點圖2.4零極點分布與單位響應(yīng)時域特性的關(guān)系我們知道離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)與其單位響應(yīng)h(k)之間存在著如下關(guān)系：即H(z)與h(k)是一對Z變換對。因而H(z)必然包含了h(k)的固有性質(zhì)。下面來分析H(z)是如何決定h(k)的時域特性的。離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)可表示為關(guān)于Z的兩個多項式之比，即： 9-6若系統(tǒng)函數(shù)的N個極點是單極點，可將H(z)進行部分分式展開為： 9-7由z逆變換可得： 9-8從式9-7和9-8可以看出，離散系統(tǒng)單位響應(yīng)h(k)的時域特性完全由系統(tǒng)函數(shù)H(z)的極點位置決定。H(z)的每一個極點將決定h(k)的一項時間序列。顯然H(z)的極點位置不同，則h(k)的時域特性也完全不同。H(z)的極點位置分布與h(k)的時域特性之間有何規(guī)律呢？用下面的例子來說明。例9-3：已知離散系統(tǒng)的零極分布分別如圖9-3(a)、(b)、(c)、(d)、(e)、(f)所示，其中虛線表示單位圓，試用MATLAB分析系統(tǒng)單位響應(yīng)h(k)的時域特性。解： 系統(tǒng)的零極點圖己知，系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)就可確定。這樣就可利用繪制離散系統(tǒng)單位響應(yīng)序列波形的MATLAB函數(shù)impz，將上述不同極點分布情況下的系統(tǒng)單位響應(yīng)h(k)的序列波形繪制出來。圖9-3 例9-3的系統(tǒng)零極點圖圖9-3(a)所示系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為：。圖9-3 (b)所示的系統(tǒng)系統(tǒng)函數(shù)為：，其中，令。圖9-3 (c)所示的系統(tǒng)系統(tǒng)函數(shù)為：，其中，令。圖9-3 (d)所示的系統(tǒng)系統(tǒng)函數(shù)為：其中，令、。圖9-3 (e)所示的系統(tǒng)系統(tǒng)函數(shù)為：，取。圖9-3 (f)所示的系統(tǒng)系統(tǒng)函數(shù)為：其中，令、。程序如下：% Program9_1a=1 -1;b=1;figure(1),subplot(311),impz(b,a)title('(a)系統(tǒng)h(k)'),axis(0 10 0 1.2)a=1 -0.8;b=1; subplot(312),impz(b,a)title('(b)系統(tǒng)h(k) '),axis(0 10 0 1.2)a=1 -1.2;b=1; subplot(313),impz(b,a)title('(c)系統(tǒng)h(k) '),axis(0 10 0 7)xlabel('時間序號k')a=1 -2*0.8*cos(pi/4) 0.82;b=1;figure(2),subplot(311),impz(b,a,20)title('(d)系統(tǒng)h(k) ')a=1 -2*cos(pi/8) 1;b=1;subplot(312),impz(b,a,20)title('(e)系統(tǒng)h(k) ')a=1 -2*1.2*cos(pi/4) 1.22;b=1;subplot(313),impz(b,a,20)title('(f)系統(tǒng)h(k) ')xlabel('時間序號k')程序運行結(jié)果如圖9-4所示。 圖9-4(a) (a)(b)(c)離散系統(tǒng)單位響應(yīng)圖9-4(b) (d)(e)(f)離散系統(tǒng)單位響應(yīng)從上述繪制的系統(tǒng)單位響應(yīng)序列波形，可以總結(jié)出以下規(guī)律：離散系統(tǒng)單位響應(yīng)h(k)的時域特性完全由系統(tǒng)函數(shù)H(z)的極點位置決定，H(z)位于z平面單位圓內(nèi)的極點決定了h(k)隨時間衰減的信號分量，位于Z平面單位圓上的極點決定了單位響應(yīng)的穩(wěn)定信號分量，位于Z平面單位圓外的極點決定了單位響應(yīng)隨時間增長的信號分量。2.5離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng)從以上的分析知道，離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z）反映了系統(tǒng)本身固有的特性。當(dāng)離散序列通過離散系統(tǒng)時，系統(tǒng)是如何對不同頻率的輸入序列進行加工和處理的呢？ 設(shè)某穩(wěn)定的因果離散系統(tǒng)系統(tǒng)函數(shù)為H(z)，輸入為正弦序列： 該序列可視為由連續(xù)正弦時間信號經(jīng)過周期T均勻抽樣而得。則上式中稱為離散正弦序列的數(shù)字角頻率。對輸入正弦序列進行Z變換可得：由離散系統(tǒng)的分析可知，設(shè)系統(tǒng)的輸出序列為y(k)，則輸出序列y(k)的z變換應(yīng)為：用部分分式展開法對上式展開有： 9-9令：則：代入9-9式有： 對上式求逆變換有： 由于系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)，故系統(tǒng)函數(shù)的所極點應(yīng)在單位圓內(nèi)，即： 所以系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為： 9-10從式9-10可得出如下結(jié)論：離散系統(tǒng)對數(shù)字角頻率為的正弦輸入序列的處理，表現(xiàn)在幅度和相位兩方面的改變上，的模決定了輸出序列與輸入序列的幅度之比，而的相角則決定了輸出序列和輸入序列的相位之差。也就是說，的作用完全類似于連續(xù)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。因此將： 9-11 定義為離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。稱為離散系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)，稱為離散系統(tǒng)的相頻響應(yīng)，隨而變化的曲線稱為系統(tǒng)的幅頻特性曲線，隨而變化的曲線稱為系統(tǒng)的相頻特性曲線。與連續(xù)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)最大區(qū)別在于其呈周期性，且周期為。因此，只要分析在范圍內(nèi)的情況，便可分析出系統(tǒng)的整個頻率特性。在中，由于是數(shù)字角頻率，它與采樣前連續(xù)信號的角頻率的關(guān)系是：。其中T為采樣周期。因此對于滿足抽樣定理的抽樣情況，采樣角頻率應(yīng)滿足：。即： 因此，在隨的變化關(guān)系中，附近，反映了系統(tǒng)對輸入信號高頻部分的處理情況，而附近，則反映了系統(tǒng)對輸入信號低頻部分的處理情況。2.6 MATLAB實現(xiàn)離散系統(tǒng)頻率特性分析由上述分析可知，離散系統(tǒng)的幅頻、相頻特性曲線直觀地反映了系統(tǒng)對不同頻率的輸入序列的處理情況。因此，只要知道離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，就可分析離散系統(tǒng)的整個頻率特性。設(shè)散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為H(z)，則該系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為：MATLAB提供了專門用于求離散系統(tǒng)頻率響應(yīng)的函數(shù)freqz()，調(diào)用freqz ()函數(shù)有如下兩種格式。(1) H, w=freqz(B,A, N)在上述調(diào)用中，B和A分別是待分析的離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)分子、分母多項式的系數(shù)向量，N為正整數(shù)，返回向量H則包含了離散系統(tǒng)頻率響應(yīng)在0范圍內(nèi)N個頻率等分點的值，向量則包含0范圍內(nèi)的N個頻率等分點。調(diào)用中若N默認，則系統(tǒng)認為N=512。(2) H, w=freqz(B,A, N,'whole')該調(diào)用格式將計算離散系統(tǒng)在02范圍內(nèi)N個頻率等分點的頻率響應(yīng)的值?？梢韵日{(diào)用freqz()函數(shù)計算出離散系統(tǒng)頻率響應(yīng)的值，然后再利用abs()和angle()函數(shù)及plot命令，即可繪制出系統(tǒng)在0或02范圍內(nèi)的幅頻、相頻特性曲線。例9-4：繪離散系統(tǒng)幅頻和相頻特性曲線。程序如下：% Program9_2 B=1 -0.5; A =1 0; H,w=freqz(B,A,400,'whole'); Hf=abs(H);Hx=angle(H); subplot(211),plot(w,Hf) title('離散系統(tǒng)幅頻特性曲線') subplot(212),plot(w,Hx) title('離散系統(tǒng)相頻特性曲線')該程序繪制的系統(tǒng)頻率特性曲線如圖9-5所示。圖9-5 離散系統(tǒng)幅頻、相頻特性曲線圖 從該系統(tǒng)的幅頻特性曲線可以看出，該系統(tǒng)呈高通特性，是一階高通濾波器。3實驗內(nèi)容 Q9-1：已知離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)如下：試用MATLAB實現(xiàn)下列分析過程：(1) 求出系統(tǒng)的零極點位置。(2) 繪出系統(tǒng)的零極點圖，判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。(3) 繪出系統(tǒng)單位響應(yīng)的時域波形，并分析系統(tǒng)穩(wěn)定性與系統(tǒng)單位響應(yīng)時域特性的關(guān)系。Q9-2：對例9-3零極點圖所示各系統(tǒng)，試改變和的大小，用MATLAB繪制和改變后系統(tǒng)單位響應(yīng)h(k)的時域波形，觀察和的大小是如何影響h(k)的時域特性的？分析和的值的大小與時域特性的關(guān)系。當(dāng)時，h(k)有何特點？當(dāng)和時，h(k)時域特性有何不同？Q9-3：已知描述離散系統(tǒng)的差分方程為： y(k)-y(k-1)-y(k-2)=4f(k)-f(k-1)-f(k-2)試用MATLAB繪出該系統(tǒng)的零極點圖，并繪出系統(tǒng)的幅頻和相頻特性曲線，分析該系統(tǒng)的作用。11