江蘇南京九中高三下學(xué)期二模模擬數(shù)學(xué)試題

南京九中2013屆高三第二學(xué)期二模模擬數(shù)學(xué)試卷一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分.請(qǐng)把答案填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置上.1、若，且為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù) 解析：為純虛數(shù)，故得2、設(shè)集合，則 （2,3）分?jǐn)?shù)3、某市高三數(shù)學(xué)抽樣考試中，對(duì)分及其以上的成績(jī)情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，其頻率分布直方圖如右下圖所示，若分?jǐn)?shù)段的人數(shù)為人，則分?jǐn)?shù)段的人數(shù)為 解析：根據(jù)直方圖，組距為，在內(nèi)的，所以頻率為，因?yàn)榇藚^(qū)間上的頻數(shù)為，所以這次抽考的總?cè)藬?shù)為因?yàn)閮?nèi)的，所以頻率為，設(shè)該區(qū)間的人數(shù)為，則由，得，即分?jǐn)?shù)段的人數(shù)為 4、已知在平面直角坐標(biāo)系中，不等式組表示的平面區(qū)域面積是9，則常數(shù)的值為_(kāi)15、已知一顆骰子的兩面刻有數(shù)字1，兩面刻有數(shù)字2，另兩面刻有數(shù)字3，現(xiàn)將骰子連續(xù)拋擲3次，則三次的點(diǎn)數(shù)和為3的倍數(shù)的概率為_(kāi) 6、已知某算法的流程圖如右圖所示，則輸出的最后一個(gè)數(shù)組為_(kāi) 7、圓柱形容器的內(nèi)壁底半徑是cm，有一個(gè)實(shí)心鐵球浸沒(méi)于容器的水中，若取出這個(gè)鐵球，測(cè)得容器的水面下降了cm，則這個(gè)鐵球的表面積為 .8、若方程僅有一個(gè)實(shí)根，那么的取值范圍是 .或9、若實(shí)數(shù)、滿足，則的最大值是 410、若橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，線段被拋物線的焦點(diǎn)分成兩段，則此橢圓的離心率為 解析：根據(jù)題意，可得，解得11.已知變量，則的最小值為 .912、當(dāng)時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值為 13如圖，兩射線互相垂直，在射線上取一點(diǎn)使的長(zhǎng)為定值，在射線的左側(cè)以為斜邊作一等腰直角三角形在射線上各有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)滿足與的面積之比為，則的取值范圍為_(kāi)14已知定義在上的函數(shù)和滿足，令，則使數(shù)列的前項(xiàng)和超過(guò)15/16的最小自然數(shù)的值為5解題探究：本題主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)以及等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力以及靈活地運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力求解本題，關(guān)鍵在于根據(jù)題設(shè)條件求出的值，從而得到數(shù)列的通項(xiàng)公式解析：，且，從而有，又，知為減函數(shù)，于是得，由于，故得使數(shù)列的前項(xiàng)和超過(guò)的最小自然數(shù)二、解答題：本大題共6小題，共90分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15（本小題滿分14分）已知函數(shù)（1）求函數(shù)的最小值和最小正周期；（2）設(shè)的內(nèi)角、的對(duì)邊分別為，且，若，求，的值15. 解：（1），3分則的最小值是2， 5分最小正周期是； 7分（2），則， ， 10分，由正弦定理，得， 11分由余弦定理，得，即， 由解得 14分16（本小題滿分14分）在直三棱柱中，AC=4,CB=2,AA1=2，E、F分別是ABCEFP的中點(diǎn)（1）證明：平面平面；（2）證明：平面ABE；（3）設(shè)P是BE的中點(diǎn)，求三棱錐的體積16.（1）證明：在，AC=2BC=4, ， 由已知， 又 5分（2）證明：取AC的中點(diǎn)M，連結(jié)在,而，直線FM/平面ABE在矩形中，E、M都是中點(diǎn)， 而，直線又 故 10分（或解：取AB的中點(diǎn)G，連結(jié)FG，EG，證明 EG，從而得證）（3）取的中點(diǎn)，連結(jié)，則且，由（1）， P是BE的中點(diǎn)， 14分17、（本小題滿分14分）某工廠生產(chǎn)一種儀器的元件，由于受生產(chǎn)能力和技術(shù)水平的限制，會(huì)產(chǎn)生一些次品，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)知道，其次品率與日產(chǎn)量（萬(wàn)件）之間大體滿足關(guān)系：（其中為小于6的正常數(shù)）（注：次品率=次品數(shù)/生產(chǎn)量，如表示每生產(chǎn)10件產(chǎn)品，有1件為次品，其余為合格品）已知每生產(chǎn)1萬(wàn)件合格的儀器可以盈利2萬(wàn)元，但每生產(chǎn)1萬(wàn)件次品將虧損1萬(wàn)元，故廠方希望定出合適的日產(chǎn)量.（1）試將生產(chǎn)這種儀器的元件每天的盈利額（萬(wàn)元）表示為日產(chǎn)量（萬(wàn)件）的函數(shù)；（2）當(dāng)日產(chǎn)量為多少時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)？解：（1）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，綜上，日盈利額（萬(wàn)元）與日產(chǎn)量（萬(wàn)件）的函數(shù)關(guān)系為： - 6（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，每天的盈利額為0 當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)所以當(dāng)時(shí)，此時(shí) 當(dāng)時(shí)，由知函數(shù)在上遞增，此時(shí)綜上，若，則當(dāng)日產(chǎn)量為3萬(wàn)件時(shí)，可獲得最大利潤(rùn) 若，則當(dāng)日產(chǎn)量為萬(wàn)件時(shí)，可獲得最大利潤(rùn) -1418（本小題滿分16分）已知橢圓的離心率為，一條準(zhǔn)線（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，是上的點(diǎn)，為橢圓的右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作OM的垂線與以O(shè)M為直徑的圓交于兩點(diǎn) 若，求圓的方程；若是l上的動(dòng)點(diǎn)，求證點(diǎn)在定圓上，并求該定圓的方程18. 解：（1）由題設(shè)：，橢圓的方程為： 4分（2）由（1）知：，設(shè)，則圓的方程：， 6分直線的方程：， 8分， 10分，圓的方程：或 12分解法（一）：設(shè)， 由知：，即：， 14分 消去得：=2 點(diǎn)在定圓=2上 16分 解法（二）：設(shè)， 則直線FP的斜率為，F(xiàn)POM，直線OM的斜率為， 直線OM的方程為：，點(diǎn)M的坐標(biāo)為 14 分 MPOP，, =2,點(diǎn)在定圓=2上 16 分19（本小題滿分16分）已知數(shù)列是各項(xiàng)均不為的等差數(shù)列，公差為，為其前 項(xiàng)和，且滿足，數(shù)列滿足，為數(shù)列的前n項(xiàng)和（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式和數(shù)列的前n項(xiàng)和；（2）若對(duì)任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）是否存在正整數(shù)，使得成等比數(shù)列？若存在，求出所有的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 19.解：（1）（法一）在中，令，得 即 2分解得，又時(shí)，滿足， 3分， 5分（法二）是等差數(shù)列， 2分由，得 ， 又，則 3分(求法同法一)（2）當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立 6分 ，等號(hào)在時(shí)取得 此時(shí) 需滿足 7分當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立 8分 是隨的增大而增大， 時(shí)取得最小值 此時(shí) 需滿足 9分綜合、可得的取值范圍是 10分（3）， 若成等比數(shù)列，則，即 12分由，可得，即， 14分又，且，所以，此時(shí)因此，當(dāng)且僅當(dāng)， 時(shí)，數(shù)列中的成等比數(shù)列16分另解：因?yàn)?，故，即，（以下同上?14分20(本小題滿分16分) 已知函數(shù).( I )若, 求+在2，3上的最小值；( II)若時(shí), , 求的取值范圍；(III)求函數(shù)在1，6上的最小值. 解:(1)因?yàn)?且2，3,所以,當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)取等號(hào),所以在2，3上的最小值為(2)由題意知,當(dāng)時(shí),即恒成立所以,即對(duì)恒成立,則由,得所求a的取值范圍是(3) 記,則的圖象分別是以(2a-1,0)和(a,1)為頂點(diǎn)開(kāi)口向上的V型線,且射線的斜率均為.當(dāng),即時(shí),易知在1，6上的最小值為當(dāng)a<1時(shí),可知2a1<a,所以()當(dāng),得,即時(shí),在1，6上的最小值為()當(dāng),得,即時(shí),在1，6上的最小值為當(dāng)時(shí),因?yàn)?a1>a,可知,()當(dāng),得,即時(shí),在1，6上的最小值為()當(dāng)且時(shí),即,在1，6上的最小值為 ()當(dāng)時(shí),因?yàn)?所以在1，6上的最小值為綜上所述, 函數(shù)在1，6上的最小值為·9·