高考數學人教A版（理）一輪復習：第八篇 第6講 空間向量及其運算

第6講 空間向量及其運算A級基礎演練(時間：30分鐘滿分：55分)一、選擇題(每小題5分，共20分)1在下列命題中：若向量a，b共線，則向量a，b所在的直線平行；若向量a，b所在的直線為異面直線，則向量a，b一定不共面；若三個向量a，b，c兩兩共面，則向量a，b，c，共面；已知空間的三個向量a，b，c，則對于空間的任意一個向量p總存在實數x，y，z使得pxaybzc.其中正確命題的個數是 () A0 B1 C2 D3解析a與b共線，a，b所在直線也可能重合，故不正確；根據自由向量的意義知，空間任兩向量a，b都共面，故錯誤；三個向量a，b，c中任兩個一定共面，但它們三個卻不一定共面，故不正確；只有當a，b，c不共面時，空間任意一向量p才能表示為pxaybzc，故不正確，綜上可知四個命題中正確的個數為0，故選A.答案A2若向量a(1,1，x)，b(1,2,1)，c(1,1,1)，滿足條件(ca)·(2b)2，則x ()A4 B2 C4 D2解析a(1,1，x)，b(1,2,1)，c(1,1,1)，ca(0,0,1x)，2b(2,4,2)(ca)·(2b)2(1x)2，x2.答案D3若a，b，c為空間的一組基底，則下列各項中，能構成基底的一組向量是()Aa，ab，ab Bb，ab，abCc，ab，ab Dab，ab，a2b解析若c、ab、ab共面，則c(ab)m(ab)(m)a(m)b，則a、b、c為共面向量，此與a，b，c為空間向量的一組基底矛盾，故c，ab，ab可構成空間向量的一組基底答案C4.如圖所示，已知空間四邊形OABC，OBOC，且AOBAOC，則cos，的值為 ()A0 B. C. D.解析設a，b，c，由已知條件a，ba，c，且|b|c|，·a·(cb)a·ca·b|a|c|a|b|0，cos，0.答案A二、填空題(每小題5分，共10分)5在下列條件中，使M與A、B、C一定共面的是_2；0；0；解析0，則、為共面向量，即M、A、B、C四點共面答案6.在空間四邊形ABCD中，···_.解析如圖，設a，b，c，···a·(cb)b·(ac)c·(ba)0.答案0三、解答題(共25分)7(12分)已知A、B、C三點不共線，對平面ABC外的任一點O，若點M滿足()(1)判斷、三個向量是否共面；(2)判斷點M是否在平面ABC內解(1)由已知3 ，()()，即，共面(2)由(1)知，共面且基線過同一點M，四點M，A，B，C共面，從而點M在平面ABC內8(13分)如右圖，在棱長為a的正方體ABCD­A1B1C1D1中，G為BC1D的重心，(1)試證：A1、G、C三點共線；(2)試證：A1C平面BC1D；(3)求點C到平面BC1D的距離(1)證明，可以證明：()，即A1、G、C三點共線(2)證明設a，b，c，則|a|b|c|a，且a·bb·cc·a0，abc，ca，·(abc)·(ca)c2a20，即CA1BC1，同理可證：CA1BD，因此A1C平面BC1D.(3)解abc，2a2b2c23a2，即|a，因此|a.即C到平面BC1D的距離為a.B級能力突破(時間：30分鐘滿分：45分)一、選擇題(每小題5分，共10分) 1(2013·海淀月考)以下四個命題中正確的是 ()A空間的任何一個向量都可用其他三個向量表示B若a，b，c為空間向量的一組基底，則ab，bc，ca構成空間向量的另一組基底CABC為直角三角形的充要條件是·0D任何三個不共線的向量都可構成空間向量的一組基底解析若ab、bc、ca為共面向量，則ab(bc)(ca)，(1)a(1)b()c，不可能同時為1，設1，則abc，則a、b、c為共面向量，此與a，b，c為空間向量基底矛盾答案B2如圖所示，在長方體ABCDA1B1C1D1中，M為A1C1與B1D1的交點若a，b，c，則下列向量中與相等的向量是 ()Aabc B.abcCabc D.abc解析()c(ba)abc.答案A二、填空題(每小題5分，共10分)3已知在一個60°的二面角的棱上，如圖有兩個點A，B，AC，BD分別是在這個二面角的兩個半平面內垂直于AB的線段，且AB4 cm，AC6 cm，BD8 cm，則CD的長為_解析設a，b，c，由已知條件|a|8，|b|4，|c|6，a，b90°，b，c90°，a，c60°|2|2|cba|2a2b2c22a·b2a·c2b·c68，則|2.答案2 cm4如圖，空間四邊形OABC中，OA8，AB6，AC4，BC5，OAC45°，OAB60°，則OA與BC所成角的余弦值等于_解析設a，b，c.OA與BC所成的角為，·a(cb)a·ca·ba·(a)a·(a)a2a·a2a·2416.cos .答案三、解答題(共25分)5(12分)如圖，已知M、N分別為四面體ABCD的面BCD與面ACD的重心，且G為AM上一點，且GMGA13.求證：B、G、N三點共線證明設a，b，c，則a(abc)abc，()abc.，即B、G、N三點共線6(13分)如圖所示，已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線長都等于1，點E，F，G分別是AB、AD、CD的中點，計算：(1)·；(2)·；(3)EG的長；(4)異面直線AG與CE所成角的余弦值解設a，b，c.則|a|b|c|1，a，bb，cc，a60°，(1)ca，a，bc，··(a)a2a·c，(2)·(ca)·(bc) (b·ca·bc2a·c)；(3)abacb abc，|2a2b2c2a·bb·cc·a，則|.(4)bc，ba，cos，由于異面直線所成角的范圍是(0°，90°，所以異面直線AG與CE所成角的余弦值為.特別提醒：教師配贈習題、課件、視頻、圖片、文檔等各種電子資源見創(chuàng)新設計·高考總復習光盤中內容.