概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課后習(xí)題答案.doc

習(xí) 題 一 1寫出下列隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間及下列事件中的樣本點(diǎn)： （1）擲一顆骰子，記錄出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù). 出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)； （2）將一顆骰子擲兩次，記錄出現(xiàn)點(diǎn)數(shù). 兩次點(diǎn)數(shù)之和為10，第一次的點(diǎn)數(shù)，比第二次的點(diǎn)數(shù)大2； （3）一個(gè)口袋中有5只外形完全相同的球，編號分別為1,2,3,4,5；從中同時(shí)取出3只球，觀察其結(jié)果，球的最小號碼為1； （4）將兩個(gè)球，隨機(jī)地放入到甲、乙、丙三個(gè)盒子中去，觀察放球情況，甲盒中至少有一球； （5）記錄在一段時(shí)間內(nèi)，通過某橋的汽車流量，通過汽車不足5臺，通過的汽車不少于3臺。 解 （1）其中出現(xiàn)點(diǎn)， 。 （2） ； ； 。 （3） （4） ，其中表示空盒； 。 （5）。 2設(shè)是隨機(jī)試驗(yàn)的三個(gè)事件，試用表示下列事件： （1）僅發(fā)生； （2）中至少有兩個(gè)發(fā)生； （3）中不多于兩個(gè)發(fā)生； （4）中恰有兩個(gè)發(fā)生； （5）中至多有一個(gè)發(fā)生。 解 （1） （2）或； （3）或； （4）； （5）或； 3一個(gè)工人生產(chǎn)了三件產(chǎn)品，以表示第件產(chǎn)品是正品，試用表示下列事件：（1）沒有一件產(chǎn)品是次品；（2）至少有一件產(chǎn)品是次品；（3）恰有一件產(chǎn)品是次品；（4）至少有兩件產(chǎn)品不是次品。 解 （1）；（2）；（3）；（4）。 4在電話號碼中任取一個(gè)電話號碼，求后面四個(gè)數(shù)字全不相同的概率。 解 設(shè)任取一電話號碼后四個(gè)數(shù)字全不相同，則 5一批晶體管共40只，其中3只是壞的，今從中任取5只，求 （1）5只全是好的的概率； （2）5只中有兩只壞的的概率。 解 （1）設(shè)5只全是好的，則 ； （2）設(shè)5只中有兩只壞的，則 . 6袋中有編號為1到10的10個(gè)球，今從袋中任取3個(gè)球，求 （1）3個(gè)球的最小號碼為5的概率； （2）3個(gè)球的最大號碼為5的概率. 解 （1）設(shè)最小號碼為5，則 ； （2）設(shè)最大號碼為5，則 . 7（1）教室里有個(gè)學(xué)生，求他們的生日都不相同的概率； （2）房間里有四個(gè)人，求至少兩個(gè)人的生日在同一個(gè)月的概率. 解 （1）設(shè)他們的生日都不相同，則 ； （2）設(shè)至少有兩個(gè)人的生日在同一個(gè)月，則 ；或 . 8設(shè)一個(gè)人的生日在星期幾是等可能的，求6個(gè)人的生日都集中在一個(gè)星期中的某兩天，但不是都在同一天的概率. 解 設(shè)生日集中在一星期中的某兩天，但不在同一天，則 . 9將等7個(gè)字母隨機(jī)地排成一行，那么恰好排成英文單詞SCIENCE的概率是多少？ 解1 設(shè)恰好排成SCIENCE 將7個(gè)字母排成一列的一種排法看作基本事件，所有的排法： 字母在7個(gè)位置中占兩個(gè)位置，共有種占法，字母在余下的5個(gè)位置中占兩個(gè)位置，共有種占法，字母剩下的3個(gè)位置上全排列的方法共3！種，故基本事件總數(shù)為，而中的基本事件只有一個(gè)，故； 解2 七個(gè)字母中有兩個(gè)，兩個(gè)，把七個(gè)字母排成一排，稱為不盡相異元素的全排列。一般地，設(shè)有個(gè)元素，其中第一種元素有個(gè)，第二種元素有個(gè)，第種元素有個(gè)，將這個(gè)元素排成一排稱為不盡相異元素的全排列。不同的排列總數(shù)為， 對于本題有. 10從等個(gè)數(shù)字中，任意選出不同的三個(gè)數(shù)字，試求下列事件的概率：三個(gè)數(shù)字中不含0和5，三個(gè)數(shù)字中不含0或5，三個(gè)數(shù)字中含0但不含5. 解 . ，或 ， . 11將雙大小各不相同的鞋子隨機(jī)地分成堆，每堆兩只，求事件每堆各成一雙的概率. 解 雙鞋子隨機(jī)地分成堆屬分組問題，不同的分法共每堆各成一雙共有種情況，故 12設(shè)事件與互不相容，求與 解 因?yàn)椴幌嗳?，所以，于?13若且，求. 解 由得 14設(shè)事件及的概率分別為，求及 解 . 15設(shè)，且僅發(fā)生一個(gè)的概率為0.5，求都發(fā)生的概率。 解1 由題意有 ，所以 . 解2 僅發(fā)生一個(gè)可表示為，故 所以 . 16設(shè)，求與. 解 ，所以 ，故 ； .所以 17設(shè)，試證明 證 因?yàn)?，所以?. 證畢. 18對任意三事件，試證. 證 . 證畢. 19設(shè)是三個(gè)事件，且，求至少有一個(gè)發(fā)生的概率。 解 因?yàn)?，所以，于是 20隨機(jī)地向半圓（為正常數(shù)）內(nèi)擲一點(diǎn)，點(diǎn)落在園內(nèi)任何區(qū)域的概率與區(qū)域的面積成正比，求原點(diǎn)與該點(diǎn)的連線與軸的夾角小于的概率. 解：半圓域如圖0yxyxax 設(shè)原點(diǎn)與該點(diǎn)連線與軸夾角小于 由幾何概率的定義 21把長為的棒任意折成三段，求它們可以構(gòu)成三角形的概率. 解1 設(shè)三段可構(gòu)成三角形，又三段的長分別為，則，不等式構(gòu)成平面域.aS 發(fā)生Aa/2 不等式確定的子域，所以aa/20 解2 設(shè)三段長分別為，則且 ，不等式確定了三維空間上的有界平面域.xzyA 發(fā)生 不等式確定的子域，所以 . 22隨機(jī)地取兩個(gè)正數(shù)和，這兩個(gè)數(shù)中的每一個(gè)都不超過1，試求與之和不超過1，積不小于0.09的概率.1yy1y0.90.10yASy 解 ，不等式確定平面域. 則發(fā)生的 充要條件為不 等式確定了的子域，故 23（蒲豐投針問題）在平面上畫出等距離的一些平行線，向平面上隨機(jī)地投擲一根長的針，求針與任一平行線相交的概率. 解 設(shè)針與某平行線相交，針落在平面上的情況不外乎圖中的幾種， 設(shè)為針的中點(diǎn)到最近的一條平行線的距離。 為針與平行線的夾角，則ayay ，不等式確定了平面上xy0yAS 的一個(gè)區(qū)域. 發(fā)生，不等式確定的子域 故 習(xí) 題 二 1假設(shè)一批產(chǎn)品中一、二、三等品各占60%，30%，10%，從中任取一件，發(fā)現(xiàn)它不是三等品，求它是一等品的概率. 解 設(shè)任取一件是等品 ，所求概率為 ，因?yàn)?所以 故 . 2設(shè)10件產(chǎn)品中有4件不合格品，從中任取兩件，已知所取兩件中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率. 解 設(shè)所取兩件中有一件是不合格品 所取兩件中恰有件不合格 則 ，所求概率為 . 3袋中有5只白球6只黑球，從袋中一次取出3個(gè)球，發(fā)現(xiàn)都是同一顏色，求這顏色是黑色的概率. 解 設(shè)發(fā)現(xiàn)是同一顏色，全是白色，全是黑色，則 ，所求概率為 4從52張樸克牌中任意抽取5張，求在至少有3張黑桃的條件下，5張都是黑桃的概率. 解 設(shè)至少有3張黑桃，5張中恰有張黑桃，則 ，所求概率為. 5設(shè)求與. 解 . 6甲袋中有3個(gè)白球2個(gè)黑球，乙袋中有4個(gè)白球4個(gè)黑球，今從甲袋中任取2球放入乙袋，再從乙袋中任取一球，求該球是白球的概率。 解 設(shè)從乙袋中取出的是白球，從甲袋中取出的兩球恰有個(gè)白球. 由全概公式 . 7一個(gè)盒子中裝有15個(gè)乒乓球，其中9個(gè)新球，在第一次比賽時(shí)任意抽取3只，比賽后仍放回原盒中；在第二次比賽時(shí)同樣地任取3只球，求第二次取出的3個(gè)球均為新球的概率。 解 設(shè)第二次取出的均為新球， 第一次取出的3個(gè)球恰有個(gè)新球由全概公式 . 8電報(bào)發(fā)射臺發(fā)出和的比例為5:3，由于干擾，傳送（）時(shí)失真的概率為2/5，傳送時(shí)失真的概率為1/3，求接受臺收到時(shí)發(fā)出信號恰是的概率。 解 設(shè)收到，發(fā)出， 由貝葉斯公式. 9在第6題中，已知從乙袋中取得的球是白球，求從甲袋中取出的球是一白一黑的概率. 解 事件如第6題所設(shè)，所求概率為 10已知一批產(chǎn)品中96%是合格品，檢查產(chǎn)品時(shí)，一個(gè)合格品被誤認(rèn)為是次品的概率是0.02，一個(gè)次品被誤認(rèn)為是合格品的概率是0.05，求在檢查后認(rèn)為是合格品的產(chǎn)品確是合格品的概率。 解 設(shè)任取一產(chǎn)品，經(jīng)檢查是合格品， 任取一產(chǎn)品確是合格品，則 ，所求概率為. 11假設(shè)有兩箱同種零件：第一箱內(nèi)裝50件，其中10件一等品；第二箱內(nèi)裝30件其中18件一等品，現(xiàn)從兩箱中隨意挑出一箱，然后從該箱中先后隨機(jī)取出兩個(gè)零件（取出的零件均不放回），試求：（1）先取出的零件是一等品的概率；（2）在先取的零件是一等品的條件下，第二次取出的零件仍然是一等的概率. 解 設(shè)第次取出的零件是一等品，. 取到第箱，.則 （1）. （2） . 12玻璃杯成箱出售，每箱20只，假設(shè)各箱含0，1，2只殘次品的概率分別為0.8，0.1，0.1，一顧客欲購一箱玻璃杯，售貨員隨意取一箱，顧客開箱隨意地察看四只，若無殘次品，則買下該箱，否則退回。試求： （1）顧客買下該箱的概率； （2）在顧客買下的一箱中，確無殘次品的概率. 解 設(shè)顧客買下該箱， 箱中恰有件殘次品， （1） ； （2）. 13設(shè)有來自三個(gè)地區(qū)的各10名，15名和25名考生的報(bào)名表，其中女生報(bào)名表分別為3份、7份和5份，隨機(jī)地取一個(gè)地區(qū)的報(bào)名表，從中先后取出兩份 （1）求先取到的一份為女生表的概率； （2）已知后取到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率. 解 設(shè)先取到的是女生表， 后取到的是男生表， 取到第個(gè)地區(qū)的表， （1） ； （2）因?yàn)橄热〕龅氖桥淼母怕蕿?，所以先取出的是男生表的概率為，按抓鬮問題的道理，后取的是男生表的概率.于是 （2） . 14一袋中裝有枚正品硬幣，枚次品硬幣（次品硬幣的兩面均印有國徽）從袋中任取一枚，已知將它投擲次，每次都得到國徽，問這枚硬幣是正品的概率是多少？ 解 設(shè)任取一枚硬幣擲次得個(gè)國徽， 任取一枚硬幣是正品，則 ，所求概率為 . 15甲、乙兩人獨(dú)立地對同一目標(biāo)各射擊一次，命中率分別為0.6和0.5，現(xiàn)已知目標(biāo)被擊中，求甲擊中的概率. 解 設(shè)目標(biāo)被擊中，第個(gè)人擊中 所求概率為 . 16三人獨(dú)立地破譯一個(gè)密碼，他們能譯出的概率分別是，求他們將此密碼譯出的概率. 解1 設(shè)將密碼譯出，第個(gè)人譯出 則 . 解2 事件如上所設(shè)，則. 17甲、乙、丙三人向一架飛機(jī)進(jìn)行射擊，他們的命中率分別為0.4，0.5，0.7。設(shè)飛機(jī)中一彈而被擊落的概率為0.2，中兩彈而被擊落的概率為0.6，中三彈必然被擊落，今三人各射擊一次，求飛機(jī)被擊落的概率. 解 設(shè)飛機(jī)被擊落，飛機(jī)中彈 .則 設(shè) 第個(gè)人命中，則 ， ， ，所以 . 18某考生想借一本書，決定到三個(gè)圖書館去借，對每一個(gè)圖書館而言，有無這本書的概率相等；若有，能否借到的概率也相等，假設(shè)這三個(gè)圖書館采購、出借圖書相互獨(dú)立，求該生能借到此書的概率. 解1 設(shè)該生能借到此書，從第館借到則 (第館有此書且能借到) ， .于是 . 解2 . 解3 事件如解1所設(shè)，則 ，故 . 19設(shè)，證明、互不相容與、相互獨(dú)立不能同時(shí)成立. 證 若、互不相容，則，于是所以、不相互獨(dú)立. 若、相互獨(dú)立，則，于是，即、不是互不相容的. 注：從上面的證明可得到如下結(jié)論： 1）若、互不相容，則、又是相互獨(dú)立的或. 2）因，所以 如果 ，則，從而可見概率是1的事件與任意事件獨(dú)立，自然，必然事件與任意事件獨(dú)立. 如果，則，即概率是零的事件與任意事件獨(dú)立，自然，不可能事件與任何事件獨(dú)立。 20證明若三事件相互獨(dú)立，則及都與獨(dú)立。 證 即與獨(dú)立. 即 與相互獨(dú)立. 21一個(gè)教室里有4名一年級男生，6名一年級女生，6名二年級男生，若干名二年級女生，為要我們在隨機(jī)地選擇一名學(xué)生時(shí)，性別和年級是相互獨(dú)立的，教室里的二年級女生應(yīng)為多少名？ 解 設(shè)還應(yīng)有名二年級女生，任選一名學(xué)生為男生，任選一名學(xué)生為一年級，則，欲性別和年級相互獨(dú)立，即，所以，即教室里的二年級女生應(yīng)為9名。 22圖中1，2，3，4，5表示繼電器接點(diǎn)，假設(shè)每一繼電器接點(diǎn)閉合的概率均為，且設(shè)各繼電器閉合與否相互獨(dú)立，求至是通路的概率.L14532R 解 設(shè)是通路，第個(gè)接點(diǎn)閉合 ，則 23一射手對同一目標(biāo)獨(dú)立地進(jìn)行四次射擊，若至少命中一次的概率為80/81，求該射手的命中率。 解 設(shè)該射手的命中率為，由題意，所以 . 24設(shè)一批晶體管的次品率為0.01，今從這批晶體管中抽取4個(gè)，求其中恰有一個(gè)次品和恰有兩個(gè)次品的概率。 解 . . 25考試時(shí)有四道選擇題，每題附有4個(gè)答案，其中只有一個(gè)是正確的。一個(gè)考生隨意地選擇每題的答案，求他至少答對三道題的概率。 解 答對每道題的概率為，所求概率為 . 26設(shè)在伯努里試驗(yàn)中，成功的概率為，求第次試驗(yàn)時(shí)得到第次成功的概率. 解 設(shè)第次試驗(yàn)時(shí)得到第次成功，則 前次試驗(yàn)，成功次，第次試驗(yàn)出現(xiàn)成功，所以 （前次試驗(yàn)，成功次）（第次試驗(yàn)成功） . 27設(shè)一廠家生產(chǎn)的每臺儀器，以概率0.7可以直接出廠，以概率0.3需進(jìn)一步調(diào)試，經(jīng)調(diào)試后以概率0.8可以出廠，以概率0.2定為不合格品，不能出廠?，F(xiàn)該廠生產(chǎn)了臺儀器（假定各臺儀器的生產(chǎn)過程相互獨(dú)立）。求（1）全部能出廠的概率；（2）其中恰有兩臺不能出廠的概率；（3）其中至少有兩臺不能出廠的概率。 解 設(shè)任取一臺可以出廠，可直接出廠，需進(jìn)一步調(diào)試。則 ， 將臺儀器看作重伯努里試驗(yàn)，成功的概率為，于是 （1）， （2）， （3）。 28設(shè)昆蟲產(chǎn)個(gè)卵的概率為，又設(shè)一個(gè)蟲卵能孵化成昆蟲的概率為，若卵的孵化是相互獨(dú)立的，問此昆蟲的下一代有條的概率是多少？ 解 設(shè)下一代有條，產(chǎn)個(gè)卵 則 . 29一臺儀器中裝有2000個(gè)同樣的元件，每個(gè)元件損壞的概率為0.0005，如果任一元件損壞，則儀器停止工作，求儀器停止工作的概率. 解 考察一個(gè)元件，可視為一次貝努里試驗(yàn)，2000個(gè)元件為2000重貝努里試驗(yàn)。，利用泊松逼近定理，所求概率為 . 30某人有兩盒火柴，吸煙時(shí)從任一盒中取一根火柴，經(jīng)過若干時(shí)間后，發(fā)現(xiàn)一盒火柴已經(jīng)用完，如果最初兩盒中各有根火柴，求這時(shí)另一盒中還有根的概率。 解 設(shè)發(fā)現(xiàn)一盒已經(jīng)用完另一盒還有根。 發(fā)現(xiàn)甲盒已經(jīng)用完乙盒還有根。則 發(fā)生甲盒拿了次，乙盒拿了次，共進(jìn)行了次試驗(yàn)，而且前次試驗(yàn)，甲發(fā)生次，第次試驗(yàn)甲發(fā)生。故 從而 .18