2020中考數(shù)學(xué)試題分類匯編 知識(shí)點(diǎn)14 一元二次方程的幾何應(yīng)用

一元二次方程的幾何應(yīng)用一、選擇題1. （2018 貴州安順，T6，F(xiàn)3）一個(gè)等腰三角形的兩條邊長(zhǎng)分別是方程 x2 -7x+10 = 0 的兩根，則該等腰三角形的周長(zhǎng)是（ ）A. 12B. 9C. 13D. 12 或 9【答案】A【解析】解 x2 -7x+10 = 0，得 x=2 或 5.已知在等腰三角形中，有兩腰相等，且兩邊之和大于第三邊，腰長(zhǎng)為5，底邊長(zhǎng)為 2.該等腰三角形的周長(zhǎng)為 5+5+2=12.【知識(shí)點(diǎn)】解一元二次方程，三角形兩邊的和大于第三邊.二、填空題1. （2018 湖北黃岡，12 題，3 分）一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)分別為 3 和 6，第三邊長(zhǎng)是方程 x2-10x+21=0 的根，則三角形的周長(zhǎng)為_【答案】16【解析】解該方程得 x1=3，x2=7，因?yàn)閮蛇呴L(zhǎng)為 3 和 6，所以第三邊 x 的范圍為：6-3<x<6+3，即 3<x<9，所以舍去 x1=3，即三角形的第三邊長(zhǎng)為 7，則三角形的周長(zhǎng)為 3+6+7=16【知識(shí)點(diǎn)】解一元二次方程，三角形三邊關(guān)系2. （2018 江西，12，3 分）在正方形 ABCD 中，AB6，連接 AC，BD，P 是正方形邊上或?qū)蔷€上一點(diǎn)，若 PD2AP，則 AP 的長(zhǎng)為_【答案】2，2 3， 14 2【解析】PD2AP，設(shè) APx，則 PD2x，當(dāng) P 在 AD 邊上時(shí)，如解圖，AD6，APPD6，x2x6 即 x2，AP2當(dāng) P 在 DC 上時(shí)，如解圖在 RtADP 中，APPD，PD2AP，1第 12 題解圖第 12 題解圖當(dāng) P 在 BC 邊上時(shí)，如解圖，DP 最大為 6 2，AP 最小為 6，PD2AP，當(dāng) P 在 AB 上時(shí)，如解圖，在 RtADP 中，AP2AD2PD2，x262(2x)2，解得 x12 3，x22 3(舍)，AP2 3；當(dāng) P 在 AC 對(duì)角線上時(shí)，如解圖，在 RtADC 中，AC   AB2BC26   2，AO  AC3   2，在 RtPDO 中，第 12 題解圖第 12 題解圖第 12 題解圖第 12 題解圖12PO3 2x，PD2x，DOAO3 2，PD2PO2DO2，(2x)2(3 2)2(3 2x)2，解得 x1 14 2，x2 14 2(舍)，AP 14 2；當(dāng) P 在 DB 對(duì)角線上時(shí)，如解圖，在 RtAPO 中，AP2AO2PO2，x2(2x3 2)2(3 2)2，整理得：x24 2x120，(4 2)24×1×12160，方程無解，綜上所述：AP2 或 2 3或 14 2【知識(shí)點(diǎn)】正方形，一元二方程的解法，勾股定理3. （2018 浙江省臺(tái)州市，16，5 分）如圖，在正方形 ABCD 中， AB = 3 ，點(diǎn) E ， F 分別在 CD ， AD 上， CE = DF ， BE ， CF 相交于點(diǎn) G .若圖中陰影部分的面積與正方形 ABCD 的面積之比為 2 :3 ，則 DBCG 的周長(zhǎng)為2 易知 SDBCG=S四邊形FGED= 3 CG=， SDBCG=BGg【答案】 3+ 15【思路分析】通過正方形的邊長(zhǎng)可以求出正方形的面積，根據(jù)“陰影部分的面積與正方形的面積之比為2:3”可以求出空白部分的面積；利用正方形的性質(zhì)可以證明BCECDF，一是可以得到BCG 是直角三角形，二是可以得 到  BCG 的 面 積 ， 進(jìn) 而 求 出 BGgCG=3 ； 利 用 勾 股 定 理 可 以 求 出 BG 2+CG 2=9 ， 這 樣 就 可 以 求 出BG+CG= 15 ，因而BCG 的周長(zhǎng)就可以表示出來了.【解題過程】在正方形 ABCD 中，AB=3， S正方形ABCD=32=9 ，陰影部分的面積與正方形 ABCD 的面積之比為 2:3，空白部分的面積與正方形 ABCD 的面積之比為 1:3， S空白=3 ，四邊形 ABCD 是正方形，BC=CD，BCE=CDF=90°CE=DF,BCECDF(SAS)CBE=DCF,DCF+BCG=90°,CBE+BCG=90°,即BGC=90°，BCG 是直角三角形132223 BGgCG=3 ，根據(jù)勾股定理： BG 2+CG 2=BC2 ，即 BG 2+CG 2=92（BG+CG）= BG 2+2BG gCG+ CG 2=9+2 ´ 3=15 ， BG+CG= 15 ，BCG 的周長(zhǎng)=BG+CG+BC= 3+ 15【知識(shí)點(diǎn)】正方形的性質(zhì)，三角形的面積；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；一元二次方程的解法；三、解答題1. （2018 浙江杭州，21，10 分） 如圖，在ABC 中，ACB=90°，以點(diǎn) B 為圓心，BC 長(zhǎng)為半徑畫弧，交線段AB 于點(diǎn) D，以點(diǎn) A 為圓心，AD 長(zhǎng)為半徑畫弧，交線段 AC 于點(diǎn) E，連接 CD。（1）若A=28°，求ACD 的度數(shù)；（2）設(shè) BC= a ，AC= b線段 AD 的長(zhǎng)度是方程 x2 + 2ax - b2 = 0 的一個(gè)根嗎？說明理由；若 AD=EC，求 ab的值?！舅悸贩治觥浚?）先求B,再根據(jù)等腰三角形知識(shí)求BCD，在用直角求出ACD；（2）根據(jù)勾股定理表示出 AB，1表再示出 AD，根據(jù)一元二次方程的解表示出 x2 + 2ax - b2 = 0 的解進(jìn)行對(duì)比；由 AD=AE,則可得 AD= b ，從而可2列方程求解出比值【解題過程】4 m =,即 AD =   ，將x =代入x2 + 2ax - b2 = 0得：（  ）2 +2a ×- b2 = 0,Q b(a -b) = 0,1.  （2018 湖北鄂州，20，8 分）已知關(guān)于 x 的方程 x   - (3k + 3) x + 2k   + 4k + 2 = 0 【 解 析 】 解 ：（ 1 ） 證 明 ： 由 題 意 可 知 ， a  1 ， b   （ 3k  3 ）， c  2k   + 4k + 2 ，   b2  4ac = - -(3k + 3) = 3k + 3  ，   x1x2 =2（  2  ）  由  根  與  系  數(shù)  的  關(guān)  系  可  知   x  + x   =-= 2k+ 4k + 2   ，12x1x2 + 2x1 + 2x2 = 36 , x1x2 + 2  x1 + x2   = 36 , 2k   + 4k + 2 + 2 (3k + 3) = 36  ， 化 簡(jiǎn) 得  k 2 + 5k - 14 = 0  ，1      1 (     )   1 (      )k7 舍去，k2，該菱形的面積為x1x2 =(1)Q ÐA + ÐB = 900 , ÐA = 280 ,РB = 620 ,Q BD = BC,РBDC = ÐBCD,Q ÐB + ÐBDC + ÐBCD = 1800 ,1800 - 620РBDC = 590 ,Q ÐBDC = ÐACD + ÐA,РACD = 590 - 280 = 3102(2)設(shè) AD = m,Q BD = BC = a, AB = AD + BD = m + a, 在RT DABC中，AB 2 = BC 2 + AC 2 , (m + a)2 = a 2 + b2 , m2 + 2am - b2 = 0, AD長(zhǎng)為方程x2 + 2ax - b2 = 0的根。（3）設(shè)AD=m, AD = AC - AE = b - m,Q AC = b,CE = AC - AE = m,Q CE = AD,b - m = m,bbbbb32222243a3Q b ¹ 0, a =b,=4b4【知識(shí)點(diǎn)】三角形內(nèi)角和，等腰三角形角度計(jì)算，勾股定理，線段轉(zhuǎn)換22（1）求證：無論 k 為何值，原方程都有實(shí)數(shù)根；（2）若該方程的兩實(shí)數(shù)根 x1，x2 為一菱形的兩條對(duì)角線之長(zhǎng)，且 x1x2 + 2x1 + 2x2 = 36 ，求 k 值及該菱形的面積【思路分析】（1）只需證明根的判別式0，即可證得無論 k 為何值，原方程都有實(shí)數(shù)根；（2）利用韋達(dá)定理求出 k 值，再利用菱形的面積等于對(duì)角線乘積的一半就能求出該菱形的面積22-(3k + 3)2 - 4 ( k 2 + 4k + 2)= 9k 2 + 18k + 9 - 8k 2 - 16k - 8 = k 2 + 2k + 1 = (k + 1)2 ， (k + 1)2 0，0，無論 k 為何值，原方程都有實(shí)數(shù)根；bcaa()2(k - 2)(k + 7) = 0 ，解得 k2 或7，x1，x2 為一菱形的兩條對(duì)角線之長(zhǎng)，且 x1x23k3，3k30，2k+ 4k + 2 =2 ´ 2 + 4 ´ 2 + 2 9222【知識(shí)點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系；一元二次方程；根的判別式；菱形的性質(zhì)；菱形的面積公式2. （2018 湖北宜昌，21，8 分）如圖，在 DABC 中， AB = AC . 以 AB 為直徑的半圓交 AC 于點(diǎn) D ，交 BC 于5點(diǎn) E .延長(zhǎng) AE 至點(diǎn) F ，使 EF = AE ,連接 FB，F(xiàn)C .(1)求證:四邊形 ABFC 是菱形；(2) 若 AD = 7，BE = 2 ，求半圓和菱形 ABFC 的面積.(第 21 題圖)【思路分析】(1)先由 EF = AE ，以及到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上，得到CE = BE ，證明四邊形 ABFC 是平行四邊形；再由一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，證明平行四邊形 ABFC 是菱形.(2) 設(shè) CD = x ，則 AB = AC = 7 + x ，連接 BD ，在  BDA 中， BD 2 = AB 2 - AD 2 ,在  BDA 中，BD 2 = BC 2 - CD 2 , AB 2 - AD 2 = BC 2 - CD 2 ,從而建立方程，求出 x 的值，并求出 BD 的值，求出半圓和菱形 ABFC 的面積.【解析】(1)證明：Q AB 為半圓的直徑，РAEB = 90o ,Q AB = AC ,CE = BE ,又Q EF = AE ,四邊形 ABFC 是平行四邊形.又Q AB = AC ,（或 ÐAEB = 90o ，）平行四邊形 ABFC 是菱形.(3) 解：連接 BD ，6 AD = 7, BE = CE = 2 ,設(shè) CD = x ，則 AB = AC = 7 + x ，(第 21 題第 2 問答圖) AB 為半圓的直徑，РADB = 90o ,在  BDA 中， BD 2 = AB 2 - AD 2 ,在  BDA 中， BD 2 = BC 2 - CD 2 , AB 2 - AD 2 = CB 2 - CD 2 (7 + x)2 - 72 = 42 - x2 x = 1或 x = -8 （舍去）12 AB = AC = 7 + x = 7 +1 = 8 S半圓1= ´ p ´ 42 =8p2 BD =AB2 - AD2 = 82 - 72 = 15 , S=菱形 BD  AC =8´ 15=8 15【知識(shí)點(diǎn)】平行四邊形的判定，菱形的判定，勾股定理，一元二次方程的解，圓的面積公式，菱形的面積公式.78