數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法.ppt

數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí),數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法,函數(shù)與方程,函數(shù)思想，是指用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題和解決問題。方程思想，是從問題的數(shù)量關(guān)系入手，運(yùn)用數(shù)學(xué)語言將問題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，然后通過解方程（組）或不等式（組）來使問題獲解。有時(shí)，還實(shí)現(xiàn)函數(shù)與方程的互相轉(zhuǎn)化、接軌，達(dá)到解決問題的目的。一般地，函數(shù)思想是構(gòu)造函數(shù)從而利用函數(shù)的性質(zhì)解題，經(jīng)常利用的性質(zhì)是：f(x)、f(x)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、圖像變換等，要求我們熟練掌握的是一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的具體特性。,在解題中，善于挖掘題目中的隱含條件，構(gòu)造出函數(shù)解析式和妙用函數(shù)的性質(zhì)，是應(yīng)用函數(shù)思想的關(guān)鍵。對所給的問題觀察、分析、判斷比較深入、充分、全面時(shí)，才能產(chǎn)生由此及彼的聯(lián)系，構(gòu)造出函數(shù)原型。另外，方程問題、不等式問題和某些代數(shù)問題也可以轉(zhuǎn)化為與其相關(guān)的函數(shù)問題，即用函數(shù)思想解答非函數(shù)問題。,等價(jià)轉(zhuǎn)化,等價(jià)轉(zhuǎn)化是把未知解的問題轉(zhuǎn)化到在已有知識(shí)范圍內(nèi)可解的問題的一種重要的思想方法。歷年高考，等價(jià)轉(zhuǎn)化思想無處不見，我們要不斷培養(yǎng)和訓(xùn)練自覺的轉(zhuǎn)化意識(shí)，將有利于強(qiáng)化解決數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)變能力，提高思維能力和技能、技巧。轉(zhuǎn)化有等價(jià)轉(zhuǎn)化與非等價(jià)轉(zhuǎn)化。等價(jià)轉(zhuǎn)化思想方法的特點(diǎn)是具有靈活性和多樣性。它可以在符號(hào)系統(tǒng)內(nèi)部實(shí)施轉(zhuǎn)換，即所說的恒等變形。消去法、換元法、數(shù)形結(jié)合法、求值求范圍問題等等，都體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，我們更是經(jīng)常在函數(shù)、方程、不等式之間進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化?？梢哉f，等價(jià)轉(zhuǎn)化是將恒等變形在代數(shù)式方面的形變上升到保持命題的真假不變。由于其多樣性和靈活性，我們要合理地設(shè)計(jì)好轉(zhuǎn)化的途徑和方法，避免死搬硬套題型。,分類討論,在解答某些數(shù)學(xué)問題時(shí)，有時(shí)會(huì)遇到多種情況，需要對各種情況加以分類，并逐類求解，然后綜合得解，這就是分類討論法。分類討論是一種邏輯方法，是一種重要的數(shù)學(xué)思想，同時(shí)也是一種重要的解題策略，它體現(xiàn)了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法。有關(guān)分類討論思想的數(shù)學(xué)問題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性，能訓(xùn)練人的思維條理性和概括性。引起分類討論的原因主要是以下幾個(gè)方面：問題所涉及到的數(shù)學(xué)概念是分類進(jìn)行定義的。如|a|的定義分a>0、a0、a2時(shí)分a>0、a0和a<0三種情況討論。這稱為含參型。,另外，某些不確定的數(shù)量、不確定的圖形的形狀或位置、不確定的結(jié)論等，都主要通過分類討論，保證其完整性，使之具有確定性。進(jìn)行分類討論時(shí)，我們要遵循的原則是：分類的對象是確定的，標(biāo)準(zhǔn)是統(tǒng)一的，不遺漏、不重復(fù)，科學(xué)地劃分，分清主次，不越級(jí)討論。其中最重要的一條是“不漏不重”。解答分類討論問題時(shí)，我們的基本方法和步驟是：首先要確定討論對象以及所討論對象的全體的范圍；其次確定分類標(biāo)準(zhǔn)，正確進(jìn)行合理分類，即標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一、不漏不重、分類互斥（沒有重復(fù)）；再對所分類逐步進(jìn)行討論，分級(jí)進(jìn)行，獲取階段性結(jié)果；最后進(jìn)行歸納小結(jié)，綜合得出結(jié)論。,如何尋找數(shù)學(xué)的思想方法,數(shù)學(xué)作為對客觀事物的一種認(rèn)識(shí)，與其他科學(xué)認(rèn)識(shí)一樣，其認(rèn)識(shí)的發(fā)生和發(fā)展過程遵循實(shí)踐認(rèn)識(shí)再實(shí)踐的認(rèn)識(shí)路線。但是，數(shù)學(xué)對象（量）的特殊性和抽象性，又產(chǎn)生與其他科學(xué)不同的、特有的認(rèn)識(shí)方法和理論形式。由此產(chǎn)生數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)論的特有問題。,數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)的一般性與特殊性,數(shù)形結(jié)合,數(shù)形結(jié)合是一個(gè)數(shù)學(xué)思想方法，包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個(gè)方面，其應(yīng)用大致可以分為兩種情形：或者是借助形的生動(dòng)和直觀性來闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)為目的，比如應(yīng)用函數(shù)的圖像來直觀地說明函數(shù)的性質(zhì)；或者是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴(yán)密性來闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的，如應(yīng)用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質(zhì)。數(shù)形結(jié)合的思想，其實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖像結(jié)合起來，關(guān)鍵是代數(shù)問題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化，它可以使代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化。在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析和解決問題時(shí)，要注意三點(diǎn)：第一要徹底明白一些概念和運(yùn)算的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征，對數(shù)學(xué)題目中的條件和結(jié)論既分析其幾何意義又分析其代數(shù)意義；第二是恰當(dāng)設(shè)參、合理用參，建立關(guān)系，由數(shù)思形，以形想數(shù)，做好數(shù)形轉(zhuǎn)化；第三是正確確定參數(shù)的取值范圍。,數(shù)學(xué)中的知識(shí)，有的本身就可以看作是數(shù)形的結(jié)合。如：銳角三角函數(shù)的定義是借助于直角三角形來定義的；任意角的三角函數(shù)是借助于直角坐標(biāo)系或單位圓來定義的。,數(shù)形結(jié)合,數(shù)形結(jié)合是一個(gè)數(shù)學(xué)思想方法，包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個(gè)方面，其應(yīng)用大致可以分為兩種情形：或者是借助形的生動(dòng)和直觀性來闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)為目的，比如應(yīng)用函數(shù)的圖像來直觀地說明函數(shù)的性質(zhì)；或者是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴(yán)密性來闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的，如應(yīng)用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質(zhì)。數(shù)形結(jié)合的思想，其實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖像結(jié)合起來，關(guān)鍵是代數(shù)問題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化，它可以使代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化。在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析和解決問題時(shí)，要注意三點(diǎn)：第一要徹底明白一些概念和運(yùn)算的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征，對數(shù)學(xué)題目中的條件和結(jié)論既分析其幾何意義又分析其代數(shù)意義；第二是恰當(dāng)設(shè)參、合理用參，建立關(guān)系，由數(shù)思形，以形想數(shù)，做好數(shù)形轉(zhuǎn)化；第三是正確確定參數(shù)的取值范圍。,數(shù)學(xué)中的知識(shí)，有的本身就可以看作是數(shù)形的結(jié)合。如：銳角三角函數(shù)的定義是借助于直角三角形來定義的；任意角的三角函數(shù)是借助于直角坐標(biāo)系或單位圓來定義的。,概括數(shù)學(xué)本質(zhì)的嘗試,數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)的一般性表明，數(shù)學(xué)的感性認(rèn)識(shí)表現(xiàn)為數(shù)學(xué)知識(shí)的經(jīng)驗(yàn)性質(zhì)；數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)的特殊性表明，數(shù)學(xué)的理性認(rèn)識(shí)表現(xiàn)為數(shù)學(xué)知識(shí)的演繹性質(zhì)。因此，認(rèn)識(shí)論中關(guān)于感性認(rèn)識(shí)與理性認(rèn)識(shí)的關(guān)系在數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)論中表現(xiàn)為數(shù)學(xué)的經(jīng)驗(yàn)性與演繹性的關(guān)系。所以，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的本質(zhì)在于認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的經(jīng)驗(yàn)性與演繹性的辯證關(guān)系。數(shù)學(xué)哲學(xué)史上最早探討數(shù)學(xué)本質(zhì)的是古希臘哲學(xué)家柏拉圖。他在理想國中提出認(rèn)識(shí)的四個(gè)階段，認(rèn)為數(shù)學(xué)是處于從感性認(rèn)識(shí)過渡到理性認(rèn)識(shí)的一個(gè)階梯，是一種理智認(rèn)識(shí)。這是柏拉圖對數(shù)學(xué)知識(shí)在認(rèn)識(shí)論中的定位，第一次觸及數(shù)學(xué)的本質(zhì)問題。德國哲學(xué)家兼數(shù)學(xué)家萊布尼茨在建立他的唯理論哲學(xué)中，闡述了唯理論的數(shù)學(xué)哲學(xué)觀。他認(rèn)為：“全部算術(shù)和全部幾何學(xué)都是天賦的”；數(shù)學(xué)只要依靠矛盾原則就可以證明全部算術(shù)和幾何學(xué)；數(shù)學(xué)是屬于推理真理。他否認(rèn)了數(shù)學(xué)知識(shí)具有經(jīng)驗(yàn)性。德國哲學(xué)家康德為了克服唯理論與經(jīng)驗(yàn)論的片面性，運(yùn)用他的先驗(yàn)論哲學(xué)，從判斷的分類入手，論述了數(shù)學(xué)是“先天綜合判斷”。由于這一觀點(diǎn)帶有先驗(yàn)性和調(diào)和性，所以它并沒有解決數(shù)學(xué)知識(shí)的經(jīng)驗(yàn)性與演繹性的辯證關(guān)系。17世紀(jì)英國經(jīng)驗(yàn)論哲學(xué)家J.洛克在批判R.笛卡爾的天賦觀念中建立起他的唯物主義經(jīng)驗(yàn)論，表述了數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)論觀點(diǎn)。他強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)知識(shí)來源于經(jīng)驗(yàn)，但又認(rèn)為屬于論證知識(shí)的數(shù)學(xué)不如直覺知識(shí)清楚和可靠。,數(shù)學(xué)本質(zhì)的辯證性,經(jīng)驗(yàn)知識(shí)是有關(guān)數(shù)學(xué)模型及其解決方法的知識(shí)。數(shù)學(xué)家利用數(shù)學(xué)和自然科學(xué)的知識(shí)，從現(xiàn)實(shí)問題中提煉或抽象出數(shù)學(xué)問題（數(shù)學(xué)模型），然后求模型的數(shù)學(xué)解（求模型解），并返回實(shí)踐中去解決現(xiàn)實(shí)問題。數(shù)學(xué)的經(jīng)驗(yàn)性向演繹性轉(zhuǎn)化第一部分講過，數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)知識(shí)具有零散性和不嚴(yán)密性，有待于上升或轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)的理論知識(shí)；而數(shù)學(xué)對象的特殊性使得這種轉(zhuǎn)化采取特殊的途徑和方法公理法，產(chǎn)生特有的理論形態(tài)公理系統(tǒng)。所以，數(shù)學(xué)的經(jīng)驗(yàn)性向演繹性的轉(zhuǎn)化，具體表現(xiàn)為經(jīng)驗(yàn)知識(shí)向作為理論形態(tài)的公理系統(tǒng)的轉(zhuǎn)化。公理系統(tǒng)是應(yīng)用公理方法從某門數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)知識(shí)中提煉出少數(shù)基本概念和公理作為推理的前提，然后根據(jù)邏輯規(guī)則演繹出屬于該門知識(shí)的命題構(gòu)成的一個(gè)演繹系統(tǒng)。它是數(shù)學(xué)知識(shí)的具體理論形態(tài)，是對數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)知識(shí)的理論概括。就其內(nèi)容來說，是經(jīng)驗(yàn)的；但就其表現(xiàn)形式來說，是演繹的，具有演繹性質(zhì)。因?yàn)閿?shù)學(xué)成果（一般表現(xiàn)為定理）不能靠歸納或?qū)嶒?yàn)來證實(shí)，而必須通過演繹推理來證明，否則，數(shù)學(xué)家是不予承認(rèn)的。,公理系統(tǒng)就其對經(jīng)驗(yàn)知識(shí)的概括來說，是理性認(rèn)識(shí)對感性認(rèn)識(shí)的抽象反映。為了證實(shí)這種抽象反映的正確性，數(shù)學(xué)家采取兩種解決辦法。一是讓理論回到實(shí)踐，通過實(shí)際應(yīng)用來檢驗(yàn)、修改理論。歐幾里得幾何的不嚴(yán)密性就是通過此種方法改進(jìn)的。二是從理論上研究公理系統(tǒng)應(yīng)該滿足的性質(zhì)：無矛盾性、完全性和公理的獨(dú)立性。這就引導(dǎo)數(shù)學(xué)家對公理系統(tǒng)的進(jìn)一步抽象，產(chǎn)生形式系統(tǒng)。形式系統(tǒng)是形式化了的公理系統(tǒng)，是由形式語言、公理和推理規(guī)則組成的。它是應(yīng)用形式化方法從不同的具體公理系統(tǒng)中抽象出共同的推理形式，構(gòu)成一個(gè)形式系統(tǒng)；然后用有窮推理方法研究形式系統(tǒng)的性質(zhì)。所以，形式系統(tǒng)是撇開公理系統(tǒng)的具體內(nèi)容而作的進(jìn)一步抽象，是數(shù)學(xué)知識(shí)的抽象理論形態(tài)。它采用的是形式推理的方法，表現(xiàn)其知識(shí)形態(tài)的演繹性。,數(shù)學(xué)的演繹性向經(jīng)驗(yàn)性的轉(zhuǎn)化這除了前面說過的認(rèn)識(shí)論原因外，對公理系統(tǒng)和形式系統(tǒng)的研究也證實(shí)了這種轉(zhuǎn)化的必要性。哥德爾不完全性定理嚴(yán)格證明了公理系統(tǒng)的局限性：（1）形式公理系統(tǒng)的相容性不可能在本系統(tǒng)內(nèi)得到證明，必須求助于更強(qiáng)的形式公理系統(tǒng)才能證明。而相容性是對公理系統(tǒng)最基本的要求，那么在找到更強(qiáng)的形式公理系統(tǒng)之前，數(shù)學(xué)家只能像公理集合論那樣，讓公理系統(tǒng)回到實(shí)踐中去，通過解決現(xiàn)實(shí)問題而獲得實(shí)踐的支持。（2）如果包含初等算術(shù)的形式公理系統(tǒng)是無矛盾的，那么它一定是不完全的。這就是說，即使形式系統(tǒng)的無矛盾性解決了，它又與不完全性相排斥。“不完全性”是指，在該系統(tǒng)中存在一個(gè)真命題及其否定都不可證明（稱為不可判定命題）。所以，“不完全性”說明，作為對數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)知識(shí)的抽象的公理系統(tǒng)，不可能把屬于該門數(shù)學(xué)的所有經(jīng)驗(yàn)知識(shí)（命題）都包括無遺。對于“不可判定命題”的真假，只有訴諸實(shí)踐檢驗(yàn)。因此，這兩種情況說明，要解決公理系統(tǒng)的無矛盾性和不可判定命題，必須讓數(shù)學(xué)的理論知識(shí)返回到實(shí)踐接受檢驗(yàn)。由此可見，數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)過程是：在解決現(xiàn)實(shí)問題的實(shí)踐基礎(chǔ)上獲得數(shù)學(xué)的經(jīng)驗(yàn)知識(shí)；然后上升為演繹性的理論知識(shí)（公理系統(tǒng)和形式系統(tǒng)）；再返回到實(shí)踐中，通過解決現(xiàn)實(shí)問題而證實(shí)自身的真理性，完善或發(fā)展新的數(shù)學(xué)知識(shí)。這是辯證唯物論的認(rèn)識(shí)論在數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)論上的具體表現(xiàn)，反映了數(shù)學(xué)本質(zhì)上是數(shù)學(xué)知識(shí)的經(jīng)驗(yàn)性與演繹性在實(shí)踐基礎(chǔ)上的辯證統(tǒng)一。,演算的方法,首先，從理論上講，數(shù)學(xué)本質(zhì)是數(shù)學(xué)觀的一個(gè)重要問題，而數(shù)學(xué)觀與數(shù)學(xué)方法論是統(tǒng)一的，所以可以通過方法論來分析數(shù)學(xué)觀。數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)對象的特殊性決定了數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)方法的特殊性。這種特殊性表現(xiàn)在，數(shù)學(xué)研究除了像自然科學(xué)那樣僅僅采用觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納的方法外，還必須采用演繹法。因此，可以通過研究數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)方法來反映數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)的本質(zhì)。其次，從事實(shí)上看，數(shù)學(xué)知識(shí)的經(jīng)驗(yàn)性表明數(shù)學(xué)是適應(yīng)社會(huì)實(shí)踐需要而產(chǎn)生的，是解決實(shí)際問題的經(jīng)驗(yàn)積累。社會(huì)實(shí)踐提出的數(shù)學(xué)問題都要求給出定量的回答，而要作出定量的回答就必須進(jìn)行具體的計(jì)算，所以計(jì)算表征了數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)知識(shí)的特點(diǎn)。而對于各種具體的計(jì)算方法及其一般概括的“算法”（包括公式、原理、法則），也都可以用“算”來概括、反映數(shù)學(xué)知識(shí)的經(jīng)驗(yàn)性在方法論上的計(jì)算或算法特點(diǎn)。同時(shí)，數(shù)學(xué)知識(shí)的演繹性反映數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)在方法論上的演繹特點(diǎn)，所以，可以用“演”來反映數(shù)學(xué)知識(shí)的演繹性。因此，我們可以用“演算”來反映數(shù)學(xué)本質(zhì)的經(jīng)驗(yàn)性與演繹性。第三，為避免概括數(shù)學(xué)本質(zhì)的片面性。自從數(shù)學(xué)分為應(yīng)用數(shù)學(xué)與純粹數(shù)學(xué)以后，許多數(shù)學(xué)家認(rèn)為，數(shù)學(xué)來源于經(jīng)驗(yàn)是很早以前的事，現(xiàn)在已經(jīng)不是了，而是變成一門演繹科學(xué)了。而一般人也接受這種觀點(diǎn)。但這樣強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的演繹性特點(diǎn)，卻忽視了數(shù)學(xué)具有經(jīng)驗(yàn)性質(zhì)的一面。為了避免這種片面性，這里特別通過數(shù)學(xué)方法論來概括和反映數(shù)學(xué)的本質(zhì)。,2.“演算”反映了數(shù)學(xué)研究的特點(diǎn),數(shù)學(xué)研究對象的特殊性產(chǎn)生了數(shù)學(xué)研究特有的問題：計(jì)算與證明。它們成為數(shù)學(xué)研究的兩項(xiàng)主要工作。關(guān)于“證明”。數(shù)學(xué)對象的特殊性使得數(shù)學(xué)成果不能像自然科學(xué)成果那樣通過實(shí)驗(yàn)來證實(shí)，而必須通過邏輯演繹來證明，否則數(shù)學(xué)家是不予承認(rèn)的。所以，數(shù)學(xué)家如何把自己的成果表達(dá)成一系列的演繹推理（即證明）就成為重要工作。證明成為數(shù)學(xué)研究工作的重要特點(diǎn)。關(guān)于“計(jì)算”。數(shù)學(xué)本身就是起源于計(jì)算，即使數(shù)學(xué)發(fā)展到高度抽象理論的今天，也不能沒有計(jì)算。數(shù)學(xué)家在證明一個(gè)定理之前，必須經(jīng)過大量的具體計(jì)算，進(jìn)行各種試驗(yàn)或?qū)嶒?yàn)，并加以分析、歸納，才能形成證明的思路和方法。只有在這時(shí)候，才能從邏輯上進(jìn)行綜合論證，表達(dá)為一系列的演繹推理過程，即證明。從應(yīng)用數(shù)學(xué)來看，更是需要大量的計(jì)算，所以人們才發(fā)明各種計(jì)算機(jī)。在電子計(jì)算機(jī)廣泛應(yīng)用的今天，計(jì)算的規(guī)模更大了，以致在數(shù)學(xué)中出現(xiàn)數(shù)值實(shí)驗(yàn)。因此，計(jì)算成為數(shù)學(xué)研究的另一項(xiàng)重要工作。既然“計(jì)算與證明”是數(shù)學(xué)研究的兩項(xiàng)主要工作和特點(diǎn)，那么“數(shù)學(xué)是演算的科學(xué)”這一概括是否反映出這一特點(diǎn)？“證明”是從一定的前提（基本概念和公理）出發(fā)，按照邏輯規(guī)則所進(jìn)行的一種演繹推理。而“演（繹）”正可以反映“證明”這一特點(diǎn)。而“算”顯然更可以直接反映“計(jì)算”或“算法”及其特點(diǎn)。由此可見，“演算”反映了數(shù)學(xué)研究的計(jì)算和證明這兩項(xiàng)基本工作及其特點(diǎn)。,3.“演”與“算”的對立統(tǒng)一反映數(shù)學(xué)性質(zhì)的辯證性,首先，從數(shù)學(xué)發(fā)展的宏觀來看。數(shù)學(xué)史告訴我們，數(shù)學(xué)起源于“算”，即起源于物體個(gè)數(shù)、田畝面積、物體長度等的計(jì)算。要計(jì)算就要有計(jì)算方法，當(dāng)各種計(jì)算方法積累到一定數(shù)量的時(shí)候，數(shù)學(xué)家就進(jìn)行分類，概括出適用于某類問題的計(jì)算公式、法則、原理，統(tǒng)稱為算法。所以數(shù)學(xué)的童年時(shí)期叫做算術(shù)，它表現(xiàn)為一種經(jīng)驗(yàn)知識(shí)。當(dāng)歐幾里得建立數(shù)學(xué)史上第一個(gè)公理系統(tǒng)時(shí)，才出現(xiàn)“演繹法”。此后，“演”與“算”便構(gòu)成了數(shù)學(xué)發(fā)展中的一對基本矛盾，推動(dòng)著數(shù)學(xué)的發(fā)展。這在西方數(shù)學(xué)思想史中表現(xiàn)最為突出。大致說來，在歐幾里得以前，數(shù)學(xué)思想主要是算法；歐幾里得所處的亞歷山大里亞前期，數(shù)學(xué)主要思想已由算法轉(zhuǎn)向演繹法；從亞歷山大里亞后期到18世紀(jì)，數(shù)學(xué)主要思想再次由演繹法轉(zhuǎn)向算法；19世紀(jì)到20世紀(jì)上半葉，數(shù)學(xué)主要思想又由算法轉(zhuǎn)向演繹法；電子計(jì)算機(jī)的應(yīng)用促進(jìn)了計(jì)算數(shù)學(xué)的發(fā)展及其與之交叉的諸如計(jì)算流體力學(xué)、計(jì)算幾何等邊緣學(xué)科的產(chǎn)生以及數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的出現(xiàn)。這一切又使算法思想重新得到發(fā)展，成為與演繹法并駕齊驅(qū)的思想?？梢灶A(yù)言，隨著計(jì)算機(jī)作為數(shù)學(xué)研究工具地位的確立，算法思想將成為今后相當(dāng)長一個(gè)時(shí)期數(shù)學(xué)的主要思想。算法思想與演繹思想在數(shù)學(xué)發(fā)展過程中的這種更迭替代，從一個(gè)側(cè)面體現(xiàn)了“演”與“算”這對矛盾在一定條件下的相互轉(zhuǎn)化。所以，有的數(shù)學(xué)史工作者從方法論的角度把數(shù)學(xué)的發(fā)展概括為算法傾向與演繹傾向螺旋式交替上升的過程。,其次，從數(shù)學(xué)研究的微觀來看?！把荨敝杏小八恪?，這充分表明了我們上面所分析的“證明”中包含著“計(jì)算”，包含著“算”向“演”轉(zhuǎn)化?！八恪敝杏小把荨?，這充分表現(xiàn)在算術(shù)和代數(shù)中。算術(shù)和代數(shù)表現(xiàn)為“算”，但是，算術(shù)和代數(shù)的“算”，并不是自由地計(jì)算，而是要遵循基本的四則運(yùn)算及其規(guī)律，即計(jì)算要按照一定的計(jì)算規(guī)則，就像證明要遵守推理規(guī)則一樣。所以“算”中包含著“演”，包含著“演”向“算”的轉(zhuǎn)化?！把荨迸c“算”的這種對立統(tǒng)一更充分地體現(xiàn)在計(jì)算機(jī)的數(shù)值計(jì)算和定理證明中。這種“算”與“演”的對立統(tǒng)一關(guān)系，從一個(gè)側(cè)面反映了數(shù)學(xué)的經(jīng)驗(yàn)性與演繹性的辯證關(guān)系，反映了數(shù)學(xué)性質(zhì)的辯證性。綜上所述，既然“演算”概括了數(shù)學(xué)研究的特點(diǎn)，反映了數(shù)學(xué)的經(jīng)驗(yàn)性與演繹性及其辯證關(guān)系，我們就有理由把它作為對數(shù)學(xué)本質(zhì)的概括，說“數(shù)學(xué)是一門演算的科學(xué)”。,