概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題解答第3章.doc

習(xí) 題 三（A）三、解答題 1. 設(shè)口袋中有3個(gè)球，它們上面依次標(biāo)有數(shù)字1，1，2，現(xiàn)從口袋中無(wú)放回地連續(xù)摸出兩個(gè)球，以X，Y分別表示第一次與第二次摸出的球上標(biāo)有的數(shù)字，求(X，Y)的分布律 解：(X，Y)取到的所有可能值為(1，1)，(1，2)，(2，1)由乘法公式： PX=1，Y=1=PX=1PY=1|X=1=2/31/2=/3， PX=1，Y=2= PX=1PY=2|X=1=2/31/2=1/3， PX=2，Y=1= PX=2PY=1|X=2=1/32/2=1/3. (X，Y)的分布律用表格表示如下： YX1211/31/321/30 2設(shè)盒中裝有8支圓珠筆芯，其中3支是藍(lán)的，3支是綠的，2支是紅的，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取2支，以X，Y分別表示抽取的藍(lán)色與紅色筆芯數(shù)，試求： (1) X和Y的聯(lián)合分布律； (2) PX，Y A，其中A = (x，y)| x + y 1解：X，Y所有可能取到的值是0， 1， 2(1) PX=i， Y=j=PX=iPY=j|X=i=， i， j=0，1，2， i+j2或者用表格表示如下： YX01203/286/281/2819/286/28023/2800(2)P(X，Y)A=PX+Y1=PX=0， Y=0+PX=1，Y=0+PX=0，Y=1=3/28+9/28+6/28=9/14. 3設(shè)事件滿(mǎn)足記X，Y分別為一次試驗(yàn)中A，B發(fā)生的次數(shù)，即，求：二維隨機(jī)變量(X，Y)的分布律 解：因?yàn)镻(A)=1/4，由P(B|A)=得P(AB)=1/8， 由P(A|B)=得P(B)=1/4. (X，Y)取到的所有可能數(shù)對(duì)為(0，0)，(1，0)，(0，1)，(1，1)，則 PX=0，Y=0=1-P(A)-P(B)+P(AB)=5/8, PX=0，Y=1=P(B-A)=P(B)-P(AB)=1/8, PX=1，Y=0=P(A-B)=P(A)-P(AB)=1/8, PX=1，Y=1=P(AB)=1/8. 4設(shè)二維隨機(jī)變量(X，Y)的概率密度為試求： (1) 常數(shù)A (2) PX = Y (3) PX < Y (4) (X，Y)的分布函數(shù) 解：(1)由歸一性知：1=-+-+fx,ydxdy=0101Axydxdy=A4， 故A=4 (2) PX=Y=0, (3) PX<Y=01x14xydydx=12. (4)F(x，y)= -x-yf(u,v)dudv=0,x<0或y<0 40x0yuvdudv,0x1,0y<140x01uvdudv,0x1,y>140y01uvdudv,x>1,0y<11,x1,y1即F(x，y)=0，x<0或y<0x2y2,0x1,0y<1x2,0x1,y>1y2,x>1,0y<11,x1,y1 5設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度為求PX + Y 1 解：PX+Y1= 6將一枚硬幣擲3次，以X表示前2次中出現(xiàn)正面的次數(shù)，以Y表示3次中出現(xiàn)正面的次數(shù)，求X，Y的聯(lián)合分布律及(X，Y)的邊緣分布律 解：X的所有可能取值為0，1，2，Y的所有可能取值為0，1，2，3. PX=0，Y=0=0.53=0.125; PX=0，Y=1=0.53=0.125 PX=1，Y=1=， PX=1，Y=2= PX=2，Y=2=0.53=0.125， PX=2，Y=3=0.53=0.125X，Y 的分布律及邊緣分布律可用表格表示如下： YX0123Pi.00.1250.125000.25100.250.2500.52000.1250.1250.25P.j0.1250.3750.3750.1251 解法2： 7設(shè)二維隨機(jī)變量(X，Y)的概率密度為求邊緣概率密度f(wàn)X(x)，fY(y) 解： 8設(shè)二維隨機(jī)變量(X，Y)的概率密度為求： (1) 確定常數(shù)c (2) 邊緣概率密度f(wàn)X(x)，fY(y) 解： (1)所以 c=21/4 (2) 9設(shè)平面區(qū)域D由曲線(xiàn)及直線(xiàn)y = 0，x = 1，x = e2圍成，二維隨機(jī)變量(X，Y)在區(qū)域D上服從均勻分布，求邊緣概率密度f(wàn)X(x)，fY(y) 解： (X，Y)在區(qū)域D上服從均勻分布，故f(x，y)的概率密度為 10設(shè)二維隨機(jī)變量(X，Y)的概率密度為試求條件概率密度f(wàn)(y | x) 解： 當(dāng)0<x1時(shí)， 即， 11設(shè)二維隨機(jī)變量(X，Y)的概率密度為求條件概率密度f(wàn)(x | y) 解：當(dāng)y0時(shí)， 當(dāng)y>0時(shí)，所以， 12已知隨機(jī)變量的概率密度為在給定Y = y條件下，隨機(jī)變量X的條件概率密度為求概率PX > 0.5 解：由得 13設(shè)二維隨機(jī)變量(X，Y)的分布律為 YX-10100.050.150.210.070.110.2220.040.070.09試分別求和的分布律 解：Z=max(X，Y)，W=min(X，Y)的所有可能取值如下表pi0.050.150.20.070.110.220.040.070.09(X，Y)(0，-1)(0，0)(0，1)(1，-1)(1，0)(1，1)(2，-1)(2，0)(2，1)max(X，Y)001111222Min(X，Y)-100-101-101Z=max(X，Y)，W=min(X，Y)的分布律為Z012Pk0.20.60.2 W -101Pj 0.160.530.31 14設(shè)X和Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且，如果定義隨機(jī)變量Z如下：求Z的分布律 解： 由獨(dú)立性得X，Y的聯(lián)合概率密度為則PZ=1=PXY=PZ=0=1-PZ=1=0.5故Z的分布律為Z01Pk0.50.5 15設(shè)二維隨機(jī)變量(X，Y)的概率密度為求邊緣概率密度f(wàn)X(x)，fY(y)；并問(wèn)X與Y是否獨(dú)立？解：同理，顯然，所以X與Y不相互獨(dú)立 16設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，試在以下情況下求的概率密度， (1) ； (2) 解：(1) 利用卷積公式：求fZ(z)= (2) 利用卷積公式： 17設(shè)，且X與Y獨(dú)立，求 解：由定理3.1（P75）知，X+YN(1，2)，故 18設(shè)隨機(jī)變量(X，Y)的概率密度為 (1) 問(wèn)X和Y是否相互獨(dú)立？ (2) 求的概率密度 解：(1) (x>0)同理， y>0顯然，所以X與Y不相互獨(dú)立 (2).利用公式被積函數(shù)所以 19. 設(shè)某系統(tǒng)L由兩個(gè)相互獨(dú)立的系統(tǒng)L1，L2聯(lián)合而成，各連接方式如圖所示已知L1，L2的使用壽命X與Y分別服從參數(shù)為a，b 的指數(shù)分布，求以下各系統(tǒng)L使用壽命Z的分布函數(shù)及概率密度L2L1L2L1解：并聯(lián)時(shí)，系統(tǒng)L的使用壽命Z=maxX，Y因XExp(a)，YExp(b)，故， ， 串聯(lián)時(shí)，系統(tǒng)L的使用壽命Z=minX，Y（B） 1設(shè)二維隨機(jī)變量(X，Y)的分布律為 YX0100.4a1b0.1已知隨機(jī)事件X = 0與X + Y = 1相互獨(dú)立，求a，b的值 解：PX=0=a+0.4，PX+Y=1=PX=1，Y=0+PX=0，Y=1=a+b.PX=0，X+Y=1=PX=0，Y=1=a由于X=0與X+Y=1相互獨(dú)立，所以PX=0， X+Y=1=PX=0 PX+Y=1即 a=(a+0.4)(a+b) (1)再由歸一性知： 0.4+a+b+0.1=1 (2)解(1)，(2)得 a=0.4， b=0.1 2設(shè)二維隨機(jī)變量(X，Y)的概率密度為 (1) 求PX > 2Y (2) 求Z = X + Y的概率密度f(wàn)Z(z) 解: (1) (2) 利用公式計(jì)算 3設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為令，為二維隨機(jī)變量(X，Y)的分布函數(shù)，求 (1) Y的概率密度； (2) 解：(1) FY(y)=PYy=PX2y當(dāng)y<0時(shí)，fY(y)=0當(dāng)y0時(shí)，從而，(2) F(-1/2，4)=PX-1/2，Y4= PX-1/2，X24=P-2X-1/2= 4設(shè)(X，Y)為二維離散型隨機(jī)變量，和的邊緣分布律分別如下：X-101pi1/41/21/4Y01pi1/21/2如果，試求 (1) (X，Y)的分布律； (2) 問(wèn)X與Y是否獨(dú)立解：PXY0=1-PXY=0=0即 PX=-1，Y=1+PX=1，Y=1=0由概率的非負(fù)性知，PX=-1，Y=1=0，PX=1，Y=1=0由邊緣分布律的定義，PX=-1= PX=-1，Y=0+ PX=-1，Y=1=1/4得PX=-1，Y=0=1/4再由PX=1= PX=1，Y=0+ PX=1，Y=1=1/4得PX=1，Y=0=1/4再由PY=1=PX=-1，Y=1+ PX=0，Y=1+ PX =1，Y=1= PX=0，Y=1知PX=0，Y=1=1/2最后由歸一性得：PX=0，Y=0=0(X，Y)的分布律用表格表示如下： YX01PX=i-11/401/4001/21/211/401/4PY=j1/21/21(2) 顯然，X和Y不相互獨(dú)立，因?yàn)镻X=-1，Y=0 PX=-1PY=0 5設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，且，求Z = X + Y的概率密度（計(jì)算結(jié)果用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布分布函數(shù)表示）解：X與Y相互獨(dú)立，利用卷積公式計(jì)算 6設(shè)二維隨機(jī)變量(X，Y)在矩形上服從均勻分布，試求邊長(zhǎng)為X和Y的矩形面積S的概率密度 解：(X，Y)(G)設(shè)F(x)和f(s)分別表示S=XY的分布函數(shù)和密度函數(shù)F(s)=PXY<ss<0時(shí)，F(xiàn)S (s)=0s0時(shí)，,所以，于是，S=Y概率密度為 7設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，其中X的分布律為X12pi0.30.7而Y的概率密度為f(y)，求隨機(jī)變量的概率密度 解：由全概率公式：FU(u)=PUu=X+Yu=PX=1PX+Yu|X=1+ PX=2PX+Yu|X=2= PX=1P1+Yu+ PX=2P2+Yu=0.3FY(u-1)+0.7FY(u-2)所以，fU(u) =0.3fY(u-1)+0.7fY(u-2) 8設(shè)二維隨機(jī)變量(X，Y)的概率密度為求：(1) (X，Y)的邊緣概率密度f(wàn)X(x)，fY(y)； (2) 的概率密度；解：(1) (2) 如圖所示，當(dāng)z<0時(shí)，F(xiàn)Z(z)=0; 當(dāng)z2時(shí)，F(xiàn)Z(z)=1 當(dāng)0z<2時(shí):綜上所述，所以Z的概率密度為： 9設(shè)隨機(jī)變量X在區(qū)間(0，1)上服從均勻分布，在X = x（0 < x < 1）的條件下，隨機(jī)變量Y在區(qū)間上服從均勻分布，求： (1) 隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合概率密度； (2) Y的概率密度； (3) 概率PX + Y > 1 解：(1) (2) (3) 10. 設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，X的分布律為，（i = 1，0，1），Y的概率密度為，記，求： (1) 求 (2) 求Z的概率密度 解：(1) PZ1/2|X=0=PX+Y1/2|X=0=PY1/2=1/2 (2) 由全概率公式：FZ(z)=PZz=PX+Yz=PX=1PX+Yz|X=1+PX=0PX+Yz|X=0=PX=-1PX+Yz|X=-1= PX=1P1+Yz+PX=0PYz=PX=-1P-1+Yz=1/3FY(z-1)+ FY(z)+ FY(z+1)從而，fZ(z) =1/3fY(z-1)+ fY(z)+ fY(z+1)= 11設(shè)X與Y的聯(lián)合概率密度為試求的概率密度解：如圖，當(dāng)z<0時(shí)，F(xiàn)Z(z)=0; 當(dāng)z1時(shí)，F(xiàn)Z(z)=1 當(dāng)0z<1時(shí):綜上得：12Z的概率密度為 12設(shè)X與Y獨(dú)立同分布，且都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0，1)，試求的分布解：當(dāng)z<0時(shí)，F(xiàn)Z(z)=0;當(dāng)z0時(shí)，所以，Z的概率密度為