極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限【教育知識(shí)】

第一章第一章 函數(shù)與極限函數(shù)與極限第六節(jié)第六節(jié) 極限存在準(zhǔn)則極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限兩個(gè)重要極限內(nèi)容要點(diǎn)：1.極限存在準(zhǔn)則：夾逼準(zhǔn)則和單調(diào)有界收斂準(zhǔn)則（函數(shù)與數(shù)列兩種情形）2.兩個(gè)重要極限：exexxxxxxxx1001lim 11lim ,1sinlim或1教書(shū)育人一、極限存在準(zhǔn)則一、極限存在準(zhǔn)則1.夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則準(zhǔn)則準(zhǔn)則 如果數(shù)列如果數(shù)列nnyx,及及nz滿(mǎn)足下列條件滿(mǎn)足下列條件:,lim,lim)2()3,2,1()1(azaynzxynnnnnnn 那末數(shù)列那末數(shù)列nx的極限存在的極限存在,且且axnn lim.證證,azaynn使得使得,0,0,021 NN 2教書(shū)育人,1 ayNnn時(shí)恒有時(shí)恒有當(dāng)當(dāng),max21NNN 取取恒有恒有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),Nn ,ayan即即,2 azNnn時(shí)恒有時(shí)恒有當(dāng)當(dāng),azan上兩式同時(shí)成立上兩式同時(shí)成立,azxyannn,成立成立即即 axn.limaxnn 上述數(shù)列極限存在的準(zhǔn)則可以推廣到函數(shù)的極限上述數(shù)列極限存在的準(zhǔn)則可以推廣到函數(shù)的極限3教書(shū)育人準(zhǔn)則準(zhǔn)則 如果當(dāng)如果當(dāng))(00 xUx (或或Mx )時(shí)時(shí),有有,)(lim,)(lim)2(),()()()1()()(00AxhAxgxhxfxgxxxxxx 那末那末)(lim)(0 xfxxx 存在存在,且等于且等于A(yíng).注意注意:.,的極限是容易求的的極限是容易求的與與并且并且與與鍵是構(gòu)造出鍵是構(gòu)造出利用夾逼準(zhǔn)則求極限關(guān)利用夾逼準(zhǔn)則求極限關(guān)nnnnzyzy準(zhǔn)則準(zhǔn)則 和和準(zhǔn)則準(zhǔn)則 稱(chēng)為稱(chēng)為夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則.4教書(shū)育人例例).12111(lim222nnnnn 求求解解,11112222 nnnnnnnnnnnnnn111limlim2 又又,1 22111lim1limnnnnn ,1 由夾逼定理得由夾逼定理得.1)12111(lim222 nnnnn5教書(shū)育人x1x2x3x1 nxnx2.單調(diào)有界準(zhǔn)則單調(diào)有界準(zhǔn)則滿(mǎn)足條件滿(mǎn)足條件如果數(shù)列如果數(shù)列nx,121 nnxxxx單調(diào)增加單調(diào)增加,121 nnxxxx單調(diào)減少單調(diào)減少單調(diào)數(shù)列單調(diào)數(shù)列準(zhǔn)則準(zhǔn)則 單調(diào)有界數(shù)列必有極限單調(diào)有界數(shù)列必有極限.幾何解釋幾何解釋:AM6教書(shū)育人例例.)(333的極限存在的極限存在式式重根重根證明數(shù)列證明數(shù)列nxn 證證,1nnxx 顯然顯然 ;是單調(diào)遞增的是單調(diào)遞增的nx,331 x又又,3 kx假定假定kkxx 3133 ,3 ;是有界的是有界的nx.lim存在存在nnx,31nnxx ,321nnxx ),3(limlim21nnnnxx ,32AA 2131,2131 AA解得解得(舍去舍去).2131lim nnx7教書(shū)育人AC二、兩個(gè)重要極限二、兩個(gè)重要極限(1)1sinlim0 xxx)20(,xxAOBO 圓心角圓心角設(shè)單位圓設(shè)單位圓,tan,sinACxABxBDx 弧弧于是有于是有xoBD.ACO，得，得作單位圓的切線(xiàn)作單位圓的切線(xiàn),xOAB的圓心角為的圓心角為扇形扇形,BDOAB的高為的高為 8教書(shū)育人,tansinxxx ,1sincos xxx即即.02也成立也成立上式對(duì)于上式對(duì)于 x,20時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xxxcos11cos0 2sin22x 2)2(2x,22x,02lim20 xx,0)cos1(lim0 xx,1coslim0 xx,11lim0 x又又.1sinlim0 xxx9教書(shū)育人xxxtanlim 10例10教書(shū)育人例例2 2.cos1lim20 xxx 求求解解2202sin2limxxx 原式原式220)2(2sinlim21xxx 20)22sin(lim21xxx 2121 .21 11教書(shū)育人xxxarcsinlim 30例12教書(shū)育人(2)exxx )11(lim定義定義ennn )11(limnnnx)11(設(shè)設(shè) 21!2)1(1!11nnnnn).11()21)(11(!1)11(!2111nnnnnn nnnnnnn1!)1()1(13教書(shū)育人).11()221)(111()!1(1)111()221)(111(!1)111(!21111 nnnnnnnnnnnxn,1nnxx 顯然顯然 ;是單調(diào)遞增的是單調(diào)遞增的nx!1!2111nxn 1212111 n1213 n,3 ;是有界的是有界的nx.lim存在存在nnx ennn )11(lim記為記為)71828.2(e類(lèi)似地類(lèi)似地,14教書(shū)育人,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x,1 xxx有有,)11()11()111(1 xxxxxx)11(lim)11(lim)11(lim1xxxxxxxx 而而,e 11)111(lim)111(lim)111(lim xxxxxxxx,e.)11(limexxx 15教書(shū)育人,xt 令令ttxxtx )11(lim)11(limttt)111(lim )111()111(lim1 tttt.e exxx )11(lim,1xt 令令ttxxtx)11(lim)1(lim10 .e exxx 10)1(lim16教書(shū)育人例例4 4.)11(limxxx 求求解解xxx )11(1lim1)11(lim xxx原式原式.1e 17教書(shū)育人例例.)23(lim2xxxx 求求解解422)211()211(lim xxxx原式原式.2e 18教書(shū)育人三、小結(jié)三、小結(jié)1.兩個(gè)準(zhǔn)則兩個(gè)準(zhǔn)則2.兩個(gè)重要極限兩個(gè)重要極限夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則;單調(diào)有界準(zhǔn)則單調(diào)有界準(zhǔn)則.;1sinlim10 某過(guò)程某過(guò)程.)1(lim210e 某過(guò)程某過(guò)程,為某過(guò)程中的無(wú)窮小為某過(guò)程中的無(wú)窮小設(shè)設(shè) 19教書(shū)育人