《數(shù)字電子技術》第1章邏輯代數(shù)基礎.ppt

基本知識點概述數(shù)制與碼制邏輯代數(shù)邏輯函數(shù),返回主目錄,第一章邏輯代數(shù)基礎,基本知識點,數(shù)制與碼制基本邏輯關系與邏輯運算邏輯代數(shù)基本定律與基本規(guī)則邏輯函數(shù)及表示方法邏輯函數(shù)的變換與化簡,1.1概述,分析數(shù)字電路邏輯功能的數(shù)學方法:一、數(shù)制與碼制;二、邏輯代數(shù)的基本邏輯運算關系、基本公式、常用公式、重要定理、定律和基本規(guī)則;三、邏輯函數(shù)及其表示方法，相互轉換方法，代數(shù)化簡和卡諾圖化簡法。,1.2數(shù)制和碼制,一、二進制數(shù)數(shù)碼在不同的位置上，其代表的數(shù)值不同，稱之為“位權”，或簡稱為“權”。二進制僅使用0和1兩個數(shù)碼計數(shù)的基數(shù)是2，進位規(guī)則是“逢二進一”任意一個二進制數(shù)可按“權”展開例如(1011)2這個4位二進制數(shù)，它可以寫成：(1011)2=123+022+121+120,十六進制使用09和A、B、C、D、E、F共十六個數(shù)碼計數(shù)的基數(shù)是16，進位規(guī)則是“逢十六進一”任意一個十六進制數(shù)可按“權”展開例如(3FA2)16這個四位十六進制數(shù)，它可以寫成：(3FA2)16=3163+15162+10161+2160,二、十六進制數(shù),1.二進制轉換成十進制將二進制數(shù)按“權”展開相加如：（1011）2=123+121+120=8+2+1=（11）10（1110.011）2=123+122+121+12-2+12-3=(14.375)10,三、不同進制間的轉換,2.十進制轉換成二進制整數(shù)部分“除二取余法”如：余數(shù)2291低2140位271231高211位0結果為：（29）10=（11101）2,2.十進制轉換成二進制小數(shù)部分“乘二取整法”如：余數(shù)0.31252=0.6250高0.6252=1.2510.252=0.500.52=1.01低結果為：（0.3125）10=（0.0101）2,3.二進制與十六進制的轉換以小數(shù)點為界，每4位二進制數(shù)為一組（高位不足4位時，前面補0，低位不足4位時，后面補0），并代之以等值的十六進制數(shù)，即可完成轉換將二進制數(shù)轉換成十六進制數(shù)。如：(100110111.01)2=(137.4)16,四、二進制代碼,代碼：在數(shù)字系統(tǒng)中，常常采用一定位數(shù)的二進制碼來表示各種圖形、文字、符號等特定信息，通常稱這種二進制碼為代碼。所有的代碼都是用二進制數(shù)碼“0”和“1”的不同組合構成。在這里的“0”和“1”并不表示數(shù)值的大小，而是僅僅表示某種特定信息。n位二進制數(shù)碼有2n種不同的組合，可以代表2n種不同的信息。編碼：建立這種代碼與圖形、文字、符號或特定對象之間一一對應關系的過程。,常見的二進制碼,1.二十進制碼（BCD碼）BCD碼是用四位二進制數(shù)來表示一位十進制數(shù)。8421BCD碼是一種有權碼，其中“8421”是指在這種編碼中，代碼從高位到低位的位權值分別為8、4、2、1。2421BCD代碼也是一種有權碼，在一組代碼中，從高位到低位，每位的位權值分別為2、4、2、1。5421BCD代碼也是一種有權碼，從高位到低位，每位的位權值分別為5、4、2、1。每組代碼各位的加權系數(shù)之和為其代表的十進制數(shù)。余三碼是由8421BCD的每組代碼加上0011（加上3）形成的，是一種無權碼。,2.ASCII碼ASCII碼全名為美國信息交換標準碼，是一種現(xiàn)代字母數(shù)字編碼。ASCII碼采用七位二進制數(shù)碼來對字母、數(shù)字及標點符號進行編碼，用于微型計算機之間讀取和輸入信息。,在邏輯代數(shù)（又稱布爾代數(shù)）中的變量稱為邏輯變量,一、基本邏輯運算,（一）基本運算的概念,變量的取值只有和兩種可能,只有當兩個開關同時閉合，指示燈才會亮,我們約定：把開關閉合作為條件滿足，把指示燈亮作為結果發(fā)生,只有條件同時滿足時，結果才發(fā)生,邏輯與（邏輯乘、積）,這種因果關系叫做邏輯與，或者叫邏輯乘。,滅,亮,.邏輯代數(shù),只要條件之一滿足時，結果就發(fā)生，這種因果關系叫做邏輯或,開關閉合時，指示燈不亮，而開關斷開時，指示燈亮邏輯非,只要有任意一個開關閉合，指示燈就亮；,只要條件滿足，結果就不發(fā)生；而條件不滿足，結果一定發(fā)生。這種因果關系叫做邏輯非，或者叫邏輯反,邏輯或（邏輯加、和）,滅,亮,邏輯非（邏輯反、反相）,亮,滅,若條件滿足用1表示，不滿足用0表示；事件發(fā)生用1表示，不發(fā)生用表示0。則可以列出邏輯關系的圖表邏輯真值表,與,或,非,000,010,100,111,000,011,101,111,01,10,1.邏輯真值表,（二）邏輯運算的描述,2.邏輯表達式,3.邏輯符號,Y=AB或?qū)懗桑篩=AB,與：,或：,非:,Y=A+B,實現(xiàn)與、或、非邏輯運算的單元電路分別叫做與門、或門、非門,與門,或門,非門,AB,二、復合邏輯運算,實際的邏輯問題往往比與、或、非復雜的多，不過它們都可以用與、或、非的組合來實現(xiàn)。最常見的復合邏輯運算有與非、或非、與或非、異或、同或等。,001,與非,或非,異或,同或,011,101,110,001,010,100,110,000,011,101,110,001,010,100,111,與或非,與或非真值表：,與或非表達式：,與或非門,邏輯符號,與非門,或非門,異或門,同或門,三、邏輯代數(shù)的基本定律,這些基本公式都可以用真值表來證明,1.邏輯代數(shù)的基本定理有：（1）交換律：AB=BA；A+B=B+A（2）結合律：A(BC)=(AB)C；A+(B+C)=(A+B)+C（3）分配律：A(B+C)=AB+AC；A+BC=(A+B)(A+C)（4）01律：1A=A；0+A=A0A=0；1+A=1（5）互補律：A=0；A+=1（6）重疊律：AA=A；A+A=A（7）反演律德摩根定律：；（8）還原律：,2.邏輯代數(shù)基本規(guī)則,1）代入規(guī)則在任何邏輯等式中，如果將等式兩邊的某一變量用同一個邏輯函數(shù)替代，則等式仍然成立，這個規(guī)則稱為代入規(guī)則。如：已知，試證明用BC替代B后，等式仍然成立。證明：左邊右邊因為左邊=右邊，所以等式成立。,）反演規(guī)則將函數(shù)中所有的“”換成“+”，“+”換成“”，1換成0，0換成1，原變量換成反變量，反變量換成原變量，則得到原來邏輯函數(shù)Y的反函數(shù)，這一規(guī)則稱為反演規(guī)則。應用反演規(guī)則時應注意：變換前后的運算順序不能變，必要時可以加括號來保證原來的運算順序；反演規(guī)則中的反變量和原變量的互換只對單個變量有效。若在“非”號的下面有多個變量，則在變換時，此“非”號要保持不變，而對“非”號下面的邏輯表達式使用反演規(guī)則。,例1：求的反函數(shù)。解：例2：求的反函數(shù)。解：例3：求的反函數(shù)。解：例4：求的反函數(shù)。解：,）對偶規(guī)則將函數(shù)中所有的“”換成“+”，“+”換成“”，1換成0，0換成1，而變量保持不變，就得到一個新函數(shù)Y，則Y和Y互為對偶式，這就是對偶規(guī)則。使用對偶規(guī)則時要注意，變換前后的運算順序不能改變。如：求Y1=A（B+C）和Y2=A+BC的對偶式。解：Y1=A+BCY2=A(B+C)對偶規(guī)則的意義在于：若兩個邏輯函數(shù)相等，則其對偶式也必然相等。,.邏輯函數(shù),一、邏輯函數(shù)及其表示方法1真值表法真值表以表格的形式來描述輸入邏輯變量和邏輯函數(shù)值之間的對應關系。其特點是直觀明了，特別是在把一個實際問題抽象為數(shù)學問題時，使用真值表最為方便。列真值表時，一定要注意把輸入邏輯變量的取值組合列全，n個輸入變量共有2n個取值組合。當輸出變量不止一個時，它們與輸入變量之間的邏輯關系，也應在真值表中一一列出。,2.邏輯函數(shù)表達式法,用與、或、非等邏輯運算符號來表示邏輯函數(shù)中各個變量之間邏輯關系的代數(shù)式，就叫做邏輯函數(shù)表達式。(1)邏輯表達式的幾種常見形式對于給定的邏輯函數(shù)，其真值表是唯一的，但描述同一個邏輯函數(shù)的邏輯表達式卻有多種形式，并且可以互相轉換。這種變換在邏輯電路的分析和設計中要經(jīng)常用到。常見的邏輯表達式主要有五種形式。如函數(shù)：可以表示如下：利用邏輯代數(shù)的基本定律，可以實現(xiàn)上述五種表達式之間的相互轉換。,二、邏輯函數(shù)的代數(shù)變換與化簡,運用邏輯代數(shù)中的基本定理和法則，對函數(shù)表達式進行變換，消去多余項和多余變量，以獲得最簡函數(shù)表達式的方法，就稱為公式法化簡，也稱為代數(shù)法化簡。判斷與或表達式是否最簡的條件是：（1）邏輯乘積項最少；（2）每個乘積項中變量最少,常見的公式化簡方法,1并項法（運用公式）如2.吸收法（運用公式A+AB=A和）如Y=AB+AB（C+D）=AB（1+C+D）=AB又如,3.消去法（運用公式：）如4.配項法（運用公式：、）如,.邏輯函數(shù)的最小項表達式1）最小項的定義：在n變量的邏輯函數(shù)中，如果一個乘積項包含了所有的變量，并且每個變量在該乘積項中以原變量或反變量的形式作為一個因子出現(xiàn)一次，則該乘積項就稱為邏輯函數(shù)的最小項。n變量的最小項共有2n個。通常用m來表示最小項，其下標為最小項的編號。編號的方法如下：在每一個最小項中，原變量取值為1，反變量取值為0，則每一個最小項對應一組二進制數(shù)，該二進制數(shù)所對應的十進制數(shù)就是這個最小項的編號。,三、卡諾圖化簡法,2）最小項的性質(zhì),對于任意一個最小項，只有一組變量取值使它的值為1，而其他各種變量取值均使它的值為0;對于變量的任一組取值，任意兩個最小項的乘積為0;對于變量的任一組取值，全體最小項的和為1。,.卡諾圖,1）最小項的相鄰性,兩個最小項只有一個變量取值不同，我們就說這兩個最小項在邏輯上相鄰。,例如：,、ABC就是兩個邏輯相鄰的最小項。,中，,用公式可以化簡上式：,這兩個最小項合并成了一項，消去了那個變量取值不同的變量（因子），剩下“公共”變量（因子）。,這是一個規(guī)律,但直接從表達式中觀察相鄰的最小項有一定的難度。,2）卡諾圖,三變量的卡諾圖,四變量的卡諾圖,除了幾何位置（上下左右）相鄰的最小項邏輯相鄰以外，一行或一列的兩端也有相鄰性。,圖形左側和上側的數(shù)字，表示對應最小項變量的取值,要熟記這些數(shù)字和最小項的排列次序,3）用卡諾圖表示邏輯函數(shù),例1：填寫三變量邏輯函數(shù)Y（A、B、C、D）=m(0，1，4，8，10，11)的卡諾圖,解：Y有5個最小項m0、m1、m4、m8、m10、m11，就在四變量卡諾圖的相應位置填1，其它位置填0（也可以不填）。,例2：填寫三變量邏輯函數(shù)的卡諾圖,解：先對函數(shù)進行變換：,就在三變量卡諾圖的相應位置填1。,4）用卡諾圖化簡邏輯函數(shù),AC,AB,A,A,D,最小項的合并規(guī)律是：兩個相鄰，并消去一個變量四個相鄰，并消去兩個變量八個相鄰，并消去三個變量,用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)的步驟,畫出邏輯函數(shù)的卡諾圖；,將各個包圍圈所得到的乘積項相加，即可得到最簡的與或表達式。,合并卡諾圖中的相鄰最小項；要合并最小項，首先要將相鄰的最小項用包圍圈圈起來。,畫包圍圈的規(guī)則：,在同一個包圍圈里只能包含2n個相鄰的最小項；包圍圈的個數(shù)要盡量少，以保證化簡后得到的項數(shù)最少。但所有的最小項（即填1的小方格）均應圈過，不能遺漏；每個包圍圈要盡量大，以使得每個乘積項中包含的變量個數(shù)最少；最小項可以重復使用，但每個包圍圈中至少要有一個最小項未被其它包圍圈圈過。,例：化簡Y（A，B，C，D）=m(1,2,3,4,5,6),解：Y直接給的是最小項之和的形式，可以直接填寫卡諾圖。,Y原來是6個最小項之和，現(xiàn)在合并成了3項，Y就應當是這4項的和，即：,注意不能漏掉任何一個“1”,將相鄰的“1”（最小項）圈起來，表示將它們合并成一項，,四、具有約束的邏輯函數(shù)的化簡,1.邏輯函數(shù)中的約束項約束項是指那些與所討論的邏輯問題沒有關系的變量取值組合所對應的最小項。在卡諾圖中，約束項用“”表示。在邏輯函數(shù)表達式中，用字母d和相應的編號來表示無關項。,2.具有約束項的邏輯函數(shù)的化簡在卡諾圖中，約束項所對應的小方格可以視為1，也可以視為0。,例用卡諾圖化簡具有無關項的邏輯函數(shù)：Y=m(0,1,4,6,9,13)+d(2,3,5,7,10,11)。,寫出最簡的與或表達式,解:(1)畫出四變量的卡諾圖,(2)合并最小項,1,