有限元法 鄒麒

有限元分析的簡介鄒麒（南華大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)械設(shè)計(jì)制造及其自動(dòng)化08級(jí) 4410213）摘要：有限元法的實(shí)質(zhì)是將復(fù)雜的持續(xù)體劃分為有限多種簡樸的單元體,化無限自由度問題為有限自由度問題,將持續(xù)場函數(shù)的(偏)微分方程的求解問題轉(zhuǎn)化成有限個(gè)參數(shù)的代數(shù)方程組的求解問題。The finite element method is the essence of the complex of continuous body of divided into limited DuoGe simple units body, the infinite freedom problems for limited mobility problem, a field of function (partial) solution of the differential equation transformed into a parameter algebraic equations, the solution of the problem 核心詞：有限元 來源 應(yīng)用 發(fā)展 1965年“有限元”這個(gè)名詞第一次浮現(xiàn)，到今天有限元在工程上得到廣泛應(yīng)用，經(jīng)歷了三十近年的發(fā)展歷史，理論和算法都已經(jīng)日趨完善。有限元法的實(shí)質(zhì)是將復(fù)雜的持續(xù)體劃分為有限多種簡樸的單元體,化無限自由度問題為有限自由度問題,將持續(xù)場函數(shù)的(偏)微分方程的求解問題轉(zhuǎn)化成有限個(gè)參數(shù)的代數(shù)方程組的求解問題。有限元的核心思想是機(jī)構(gòu)的離散化，就是將實(shí)際構(gòu)造假想地離散為有限數(shù)目的規(guī)則單元組合體，實(shí)際構(gòu)造的物理性能可以通過對離散體進(jìn)行分析，得出滿足工程精度的近似成果來替代對實(shí)際構(gòu)造的分析，這樣可以解決諸多實(shí)際工程需要解決而理論分析又無法解決的復(fù)雜問題。 有限元分析是隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展而迅速發(fā)展起來的一種現(xiàn)代數(shù)值分析措施。它是50年代一方面在持續(xù)力學(xué)領(lǐng)域-飛機(jī)構(gòu)造靜、動(dòng)態(tài)特性分析中應(yīng)用的一種非常有效的數(shù)值分析措施，隨后不久就廣泛的應(yīng)用于熱傳導(dǎo)、電磁場、流體力學(xué)等持續(xù)性問題求解。 一、有限元的基本思想 有限元法的基本思想是將持續(xù)的求解區(qū)域離散為一組有限個(gè)、且按一定方式互相聯(lián)結(jié)在一起的單元的組合體。由于單元能按不同的聯(lián)結(jié)方式進(jìn)行組合，且單元自身又可以有不同形狀，因此可以模型化幾何形狀復(fù)雜的求解域。一般有限元法都遵循如下基本環(huán)節(jié): 物體的離散化:離散化是有限元法的基本，這就是根據(jù)構(gòu)造的實(shí)際狀況，選擇合適的單元形狀、類型、數(shù)目、大小以及排列方式，將擬分析的物體假想地提成有限個(gè)分區(qū)或分塊的集合體。假設(shè)這些單元在處在它們邊界上的若干個(gè)離散節(jié)點(diǎn)處互相連接，這些節(jié)點(diǎn)的位移將是該問題的基本未知參數(shù)。 挑選形函數(shù)或插值函數(shù):選擇一組函數(shù)，一般是多項(xiàng)式，最簡樸的狀況是位移的線性函數(shù)。這些函數(shù)應(yīng)當(dāng)滿足一定條件，該條件就是平衡方程，它一般是通過變分原理得到的，可由每個(gè)“有限單元”的節(jié)點(diǎn)位移唯一地?cái)M定該單元中的位移狀態(tài)。擬定單元的性質(zhì):擬定單元性質(zhì)就是對單元的力學(xué)性質(zhì)進(jìn)行描述。擬定了單元位移后，可以很以便地運(yùn)用幾何方程和物理方程求得單元的應(yīng)變和應(yīng)力。一般用單元的剛度矩陣來描述單元的性質(zhì)，擬定單元節(jié)點(diǎn)力與位移的關(guān)系。 構(gòu)成物體的整體方程組:構(gòu)成物體的整體方程組就是由已知的單元?jiǎng)偠染仃嚭蛦卧刃Ч?jié)點(diǎn)載荷列陣集成表達(dá)整個(gè)物體性質(zhì)的構(gòu)造剛度矩陣和構(gòu)造載荷列陣，從而建立起整個(gè)構(gòu)造己知量-總節(jié)點(diǎn)載荷與整個(gè)物體未知量-總節(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系。解有限元方程和輔助計(jì)算:引入強(qiáng)制邊界條件，解方程得到節(jié)點(diǎn)位移。一般整體方程組往往數(shù)目龐大，也許是幾十個(gè)、幾百個(gè)，以至于成千上萬個(gè)。對于這些方程組需要一定的計(jì)算數(shù)學(xué)措施解出其未知量。然后，根據(jù)實(shí)際問題進(jìn)行必要的輔助計(jì)算。完整的有限元的求解過程如下圖所示：二：有限元的數(shù)學(xué)措施從更廣泛的觀點(diǎn)看，有限元法的數(shù)學(xué)基本是變分原理。根據(jù)變分原理發(fā)展而來的有限元法，在求解微分方程方面得到了廣泛的應(yīng)用。變分原理是體現(xiàn)物理基本定律的一種普遍形式，其體現(xiàn)課概括如下：給出一種依賴物理狀態(tài)的變量，同步給出的容許函數(shù)集，即一切也許的物理狀態(tài)，則真是的狀態(tài)是中使達(dá)到極小值的函數(shù)。解釋如下：一方面，有一組微分方程（對實(shí)際問題的控制方程），加上一組邊界條件（特定、限定），再根據(jù)最小（極?。┠芰吭砬蠼鈱?shí)際問題。在構(gòu)造力學(xué)和應(yīng)力分析中，變分原理用得最多。談到變分，不能不談到函數(shù)。函數(shù)的自變量是數(shù)，而泛函的自變量是函數(shù)，因此說泛函數(shù)就是函數(shù)的函數(shù)。例如，公式中，是函數(shù)，又是的函數(shù)，因此稱為泛函。這里為一待求函數(shù)，它必須，滿足為最小值的條件。所謂變分就是對泛函求極值，考慮擬定函數(shù)最小值問題：這里和值已經(jīng)給定，并且，相稱求函數(shù)滿足邊界條件、并使達(dá)到極值的條件。 函數(shù)取極值必須滿足一定條件，即已知，那么為函數(shù)取極值的必要條件。同樣，對泛函數(shù)取極值也有相應(yīng)的必要條件：（為變分專用符號(hào)）。泛函數(shù)取極值的必要條件經(jīng)推導(dǎo)可得到一種歐拉方程【泛函取極值（非充足條件）時(shí)必須滿足歐拉方程】。已知，歐拉方程為或歐拉方程是一種微分方程，為求解這個(gè)微分方程，可得無窮多種極值曲線。當(dāng)把邊界條件代入，就可得到唯一的極值曲線。由于，因此中全導(dǎo)數(shù)的展開式為：歐拉方程的最后形式為：從上面已看出，應(yīng)用變分法為求解過程，一方面是從泛函求極值出發(fā)，產(chǎn)生與變分代表同一物理過程的微分方程（歐拉方程）-必要條件，然后求解微分方程，得到滿足變分的極值曲線。一般來說，函數(shù)求極值得到的是一種數(shù)，而泛函求極值得到的是一種函數(shù)或者是微分方程加邊界條件。泛函求極值計(jì)算可用微分方程的求解來替代，反之，微分方程的求解也可用泛函求極值計(jì)算來替代。變分原理是用來求解微分方程，一方面出目前彈性力學(xué)領(lǐng)域中，由于彈性構(gòu)件的平衡狀態(tài)具有最小的總位能，因此求解彈性力學(xué)的微分方程就很自然的轉(zhuǎn)化為一種變分問題。