概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)：第3章 一維隨機(jī)變量

隨機(jī)變量的概念隨機(jī)變量的概念 一維隨機(jī)變量及其分布一維隨機(jī)變量及其分布 一維離散型隨機(jī)變量一維離散型隨機(jī)變量 二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布 泊松分布泊松分布 幾何分布幾何分布 一維連續(xù)型隨機(jī)變量一維連續(xù)型隨機(jī)變量 均勻分布均勻分布 指數(shù)分布指數(shù)分布 正態(tài)分布正態(tài)分布 一維隨機(jī)變量函數(shù)的分布一維隨機(jī)變量函數(shù)的分布3.1 3.1 隨機(jī)變量的概念隨機(jī)變量的概念 樣本空間太任意，難以把握，需要將其數(shù)量化，從而便于處理。要求問題涉及的隨機(jī)事件與變量相關(guān)(某變量是一個(gè)事件)，這樣可以將概率和函數(shù)建立聯(lián)系(可以用概率去度量變量)。正如隨機(jī)事件是“其發(fā)生與否隨機(jī)會(huì)而定”的事件；隨機(jī)變量就是“其值隨機(jī)會(huì)而定”的變量。其機(jī)會(huì)表現(xiàn)為試驗(yàn)結(jié)果，一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)有許多可能的結(jié)果，到底出現(xiàn)哪一個(gè)要看機(jī)會(huì)，即有一定的概率。如擲骰子，擲出的點(diǎn)數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量，它可以取1，6這6個(gè)值中的1個(gè)，到底是哪一個(gè)，要等擲了骰子后才知道。因此，隨機(jī)變量是試驗(yàn)結(jié)果的函數(shù)。由此可知，隨機(jī)變量與通常的函數(shù)概念沒有什么不同，把握這個(gè)概念的關(guān)鍵在于試驗(yàn)前后之分：在試驗(yàn)前，無法預(yù)知隨機(jī)變量將取何值，這要憑機(jī)會(huì)，“隨機(jī)”的意思就在這里；一旦試驗(yàn)完成后，隨機(jī)變量的取值就確定了。例1 在某廠大批產(chǎn)品中隨機(jī)地抽出100個(gè)，其中所含廢品數(shù)X是隨機(jī)變量。全部可能結(jié)果為wi=“100個(gè)產(chǎn)品中有i個(gè)廢品”(i=0,1,100)故樣本空間=w0,w1,w2,w100 隨機(jī)變量是可能結(jié)果的函數(shù)：X=X(w)w X=X(w0)=0,X=X(w1)=1,X=X(w2)=2,X=X(w100)=100 所以，X=0,1,2,100 事件“廢品數(shù)少于50”=w:X(w)50 =w0,w1,w49 =X50事件30X50=w30,w31,w49例2 用天平秤量某物體重量的誤差X是隨機(jī)變量?？赡芙Y(jié)果 w=“某物體重量的誤差為x”x(0,)X=X(w)=x w 所以，隨機(jī)變量 X(0,)隨機(jī)事件這個(gè)概念包含在隨機(jī)變量這個(gè)更廣的概念之內(nèi)。隨機(jī)事件從靜態(tài)的觀點(diǎn)研究隨機(jī)現(xiàn)象；隨機(jī)變量則是從動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)去研究。概率論的基礎(chǔ)概念是隨機(jī)變量。隨機(jī)變量定義隨機(jī)變量定義定義定義 如果對(duì)任意實(shí)數(shù)x有w:X(w)xF，則稱定義在樣本空間上的單值實(shí)函數(shù)X=X(w)是隨機(jī)變量。其中w，F(xiàn)是事件域，w:X(w)x是一個(gè)基本事件的集合，描述一個(gè)隨機(jī)事件。通常用希臘字母X,Y來表示隨機(jī)變量，用英文字母x、y表示其取值。說明：說明：設(shè)X=X(w)，w，X是定義在樣本空間上的單值實(shí)函數(shù)，對(duì)于任一實(shí)數(shù)x，基本事件w的集合w:X(w)x都是一隨機(jī)事件，則稱X=X(w)為隨機(jī)變量。隨機(jī)變量X=X(w)是基本事件w的函數(shù)，w是自變量，在不必強(qiáng)調(diào)w時(shí)，簡(jiǎn)記X(w)為X，而w的集合w:X(w)x所表示的事件簡(jiǎn)記為Xx。定義中要求對(duì)任一實(shí)數(shù)x，Xx都是事件，表明 Xx是所討論問題的樣本空間上一個(gè)適當(dāng)確定的事件域F中的事件。定義隨機(jī)變量后，隨機(jī)事件可以用隨機(jī)變量來描述。例如對(duì)任意實(shí)數(shù)x，x1，x2可以證明，形如w:X(w)=x,w:X(w)x,w:X(w)x,w:X(w)x,w:x1X(w)x2,w:x1X(w)x2,等等，都是隨機(jī)變量。在不必強(qiáng)調(diào)w時(shí)，簡(jiǎn)記w:x1X(w)x2為x1Xx2。3.2 3.2 一維隨機(jī)變量及其分布函數(shù)一維隨機(jī)變量及其分布函數(shù) 我們不僅關(guān)心我們不僅關(guān)心X取哪些值，更關(guān)心取哪些值，更關(guān)心X以多大的概率取那以多大的概率取那些值，即關(guān)心些值，即關(guān)心X取值的概率規(guī)律取值的概率規(guī)律(通稱為通稱為X的分布的分布)。根據(jù)隨機(jī)變量X的定義，對(duì)于每一個(gè)實(shí)數(shù)x，都有一個(gè)確定的隨機(jī)事件w:X(w)x與x對(duì)應(yīng)，因此，概率Pw:X(w)x是x的函數(shù)，該函數(shù)在理論和應(yīng)用中都很重要，為此引進(jìn)隨機(jī)變量的分布函數(shù)定義。定義定義 設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，x是任意實(shí)數(shù)，函數(shù) F(x)=Pw:X(w)x稱為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)。X的分布函數(shù)也常簡(jiǎn)記為 F(x)=PXx 任一隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F(x)，x(-,)，具有下列性質(zhì)：(1)單調(diào)不減性。若x1x2，則F(x1)F(x2)。證證 若x1x2,則有Xx1Xx2 根據(jù)概率的性質(zhì)，得PXx1PXx2 即 F(x1)F(x2)(2)(3)左連續(xù)性。對(duì)任意實(shí)數(shù)x0，有 反之，如某實(shí)函數(shù)具有上述3個(gè)性質(zhì)，則它可作為某隨機(jī)變量的分布函數(shù)。xx+lim F(x)=F()=0lim F(x)=F(+)=1-000 xx0lim F(x)=F(x0)=F(x )-v由分布函數(shù)，可以計(jì)算如下概率：PX()=a=F a+0F(a)PX()a=F a+0PX()a=1F aPX()a=1F a+0-3.3 一維離散型隨機(jī)變量一維離散型隨機(jī)變量 隨機(jī)變量全部的可能值只有有限個(gè)或至多可列，則稱其為離散型隨機(jī)變量。對(duì)于離散型隨機(jī)變量，除了關(guān)心它全部的可能值之外，還要知道它以怎樣的概率取這些值。對(duì)于一個(gè)以 為其全部不同可能值的離散型隨機(jī)變量X，若 則稱式(3-1)或稱p1,p2,為X的概率分布(律)，簡(jiǎn)稱分布律。123nx,x,x,x,iiP(X=x)=p (i=1,2,n,)(31)-離散型隨機(jī)變量X的概率分布寫作稱為離散型隨機(jī)變量X的概率分布列，簡(jiǎn)稱分布列。離散型隨機(jī)變量的概率分布p1，p2，Pn，必須滿足兩個(gè)條件：(非負(fù)性條件)(歸一化|規(guī)范性條件)12n12nxxxXpppiii=1(1)p0,(i=1,2,3,)(2)p=1iiiix x x xF(x)=PX x=PX=x =p并且 說明：這里的求和是對(duì)一切xix進(jìn)行的(如果這樣的xi不存在，便規(guī)定F(x)=0)，此時(shí)，F(xiàn)(x)等于X取小于x的所有xi的概率之和或累積，因此分布函數(shù)也叫累積概率。離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)F(x)的圖象為階梯狀，點(diǎn)x1,x2,xn都是F(x)的第一類(跳躍)間斷點(diǎn)。隨機(jī)試驗(yàn)：隨機(jī)試驗(yàn)：接連進(jìn)行兩次射擊，表示未擊中目標(biāo)，表示擊中目標(biāo)。樣本空間：現(xiàn)在我們?cè)O(shè)定隨機(jī)變量X表示擊中目標(biāo)的次數(shù)，則隨機(jī)試驗(yàn)隨機(jī)試驗(yàn)：觀察某程控電話交換機(jī)單位時(shí)間內(nèi)接到的呼喚次數(shù)。樣本空間=0,1,2,，以X表示接到的呼喚次數(shù)，那么，X=X()=，是離散型隨機(jī)變量。1,1,0,1,1,0,0,04321例例3 設(shè)射手進(jìn)行計(jì)分打靶練習(xí)，有如下規(guī)定：射入?yún)^(qū)域e1得2分，射入?yún)^(qū)域e2得1分，否則就得0分）。一射手進(jìn)行一次射擊的得分是隨機(jī)變量，其可能取得的值為0，1，2。不同的射手在射擊之前，他們進(jìn)行一次射擊的得分值都是不可預(yù)知的，他們進(jìn)行一次射擊的得分的概率不同。射手甲在一次射擊中得分X的概率分布為：射手乙在一次射擊中得分Y的概率分布為：01200.20.8X0120.60.30.1Y考慮射手甲的概率分布(列)：計(jì)算X的分布函數(shù)F(x)=P(Xx):當(dāng)x0時(shí)，F(xiàn)(x)=P(Xx)=P()=0當(dāng)0 x1時(shí)，F(xiàn)(x)=P(Xx)=P(X=0)=0當(dāng)1x2時(shí)，F(xiàn)(x)=P(Xx)=P(X=0)+P(X=1)=0.2當(dāng)2x時(shí)，F(xiàn)(x)=P(Xx)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=0+0.2+0.8=101200.20.8X0 x1F(x)=0.2 1 2考慮射手乙的概率分布(列)：計(jì)算Y的分布函數(shù)F(y)=P(Yy):當(dāng)y0時(shí)，F(xiàn)(y)=P(Yy)=P()=0當(dāng)0y1時(shí)，F(xiàn)(y)=P(Yy)=P(Y=0)=0.6當(dāng)1y2時(shí)，F(xiàn)(y)=P(Yy)=P(Y=0)+P(Y=1)=0.9當(dāng)2y時(shí)，F(xiàn)(y)=P(Yy)=P(Y=0)+P(Y=1)+P(Y=2)=0.6+0.3+0.1=10120.60.30.1Y0 y00.6 0 y1F(y)=0.9 1 2 雖然兩人在射擊之前得分的可能值都是一樣的，但兩人取各可能值的概率完全不同，可以認(rèn)為這是兩個(gè)不同的隨機(jī)變量?？傊禐榭傊禐?的概率，以不同的方式分布到各種可的概率，以不同的方式分布到各種可能的取值上，確定了不同的隨機(jī)變量。能的取值上，確定了不同的隨機(jī)變量。0-1分布分布(兩點(diǎn)分布兩點(diǎn)分布)：若隨機(jī)變量X只能取兩個(gè)值，其分布列為：退化分布退化分布(單點(diǎn)分布單點(diǎn)分布)：若隨機(jī)變量X只取常數(shù)值C，即 實(shí)際上這時(shí)X并不是隨機(jī)變量，為了方便和統(tǒng)一起見，將其看作隨機(jī)變量。離散型均勻分布：離散型均勻分布：隨機(jī)變量X的分布列為01X 1p pCPX=C=1X1其分布列 ，：12nijaaaX(aa,ij)111nnn時(shí)例例4 4 已知離散型隨機(jī)變量X的概率分布為試求出常數(shù)a。解解 由于 3.01021016.0321012aaa52ii 1212a2ap0.16a0.311010a0.3a0.540:a0.6a0.9a2a00,a0,a0.61010解得，由于或 則 所以取 3.3.3.1 3.1 二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布 在1次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的概率是p，則n重伯努利試驗(yàn)中，事件A出現(xiàn)的次數(shù)X是二項(xiàng)分布隨機(jī)變量，其可能取得的值是 0,1,2,k,n有分布律 這個(gè)值也被記作b(k;n，p)，它正是二項(xiàng)式(px+q)n的展開式中xk 的系數(shù)，因而X得名“二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布”。kkn knkn kP(X=k)=C p qn!=p q (0 p 0.9990.04=2.15lg0.04-例例7 7 一個(gè)完全不懂阿拉伯語的人去參加一場(chǎng)阿拉伯語考試。假設(shè)考試有5道選擇題，每題給出n個(gè)結(jié)果供選擇，其中只有一個(gè)結(jié)果是對(duì)的。試問他居然能答對(duì)3題以上而及格的概率。解解 每做1題是1次p=1/n的伯努利試驗(yàn)，這里A是“答題正確”，則考試是p=1/n的5重伯努利試驗(yàn)，在5題中恰好答對(duì)題數(shù)XB(5,1/n),此人及格的概率為：當(dāng)n=3時(shí)，此值=0.29當(dāng)n=4時(shí)，此值=0.10111P()=b(3;5,)+b(4;5,)+b(5;5,)nnn及格定理定理2 2 設(shè)XB(n，p)，則當(dāng)k=ent(n+1)p)時(shí)，b(k;n,p)的值最大。若(n+1)p為整數(shù)，則b(k;n,p)=b(k-1;n,p)同為最大值。證明：證明：當(dāng)k(n+1)p時(shí)，r1,則b(k;n,p)b(k-1;n,p),概率隨k的增大而增大；當(dāng)(n+1)p是整數(shù)且等于k時(shí),r=1,則b(k;n,p)=b(k-1;n,p);當(dāng)k(n+1)p時(shí)，r1,則b(k;n,p)b(k-1;n,p),概率隨k的增大而減??；rkqkpnqpCqpCpnkbpnkbknkknknkkn)(111)1(1),;1(),;(記作綜上所述，可得如下結(jié)論：(1)當(dāng)(n+1)p恰為正整數(shù)，記為k0，則 b(k0;n,p)=b(k0-1;n,p）同為二項(xiàng)分布概率的最大值；(2)當(dāng)(n+1)p不是整數(shù)時(shí)，記k0=ent(n+1)p)，ent(n+1)p)表示取(n+1)p之整數(shù)部分；則b(k0;n,p)為二項(xiàng)分布概率的最大值。例例8 8（漁佬問題）（漁佬問題）漁佬想知道自己承包的魚塘的收入。解解 設(shè)魚的總數(shù)為N，漁佬先從塘中網(wǎng)起100條魚做上記號(hào)后放回塘里，過一段時(shí)間(使其均勻)再?gòu)闹芯W(wǎng)起100條，發(fā)現(xiàn)其中有記號(hào)者為2條，由此可估計(jì)魚的總數(shù)N，若每條魚2斤，每斤5元，則可估其收入。在第二次打魚時(shí)，由于塘中有記號(hào)的魚有100條，在漁佬所網(wǎng)起的魚中可能有記號(hào)，也可能沒有記號(hào)。設(shè)有記號(hào)的條數(shù)為X，則X服從二項(xiàng)分布 。100(100,)XBN 由定理2，當(dāng)X=k0=ent(n+1)p)時(shí)，其概率最大。此時(shí)認(rèn)為 是合理的。這里n=100，p=100/N,k0=2，解得N=5050(條)，由此，魚佬的收入可估計(jì)為 5050255(萬元)值得注意的是：X=2時(shí)取得最大概率只有:2100)1100(N2734.0505010015050100)5050100,100;2(9822100 Cb3.3.3.2 3.2 泊松（泊松（PoissonPoisson）分布分布 若隨機(jī)變量X以全體自然數(shù)為其一切可能值，X=0,1,2,，其分布律為 其中參數(shù)0為強(qiáng)度。則稱X服從參數(shù)的泊松分布，記為XP()。kP(X=k)=e k=0,1,2,k!-k01kXeeek!-因?yàn)?，故有P(X=k)0。(k=0,1,2,)即泊松分布的分布律，具備概率函數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)。即泊松分布的分布律，具備概率函數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)。kxk 0kk 0k 0kk 0 xek!P Xkek!ee e1k!又 在實(shí)際問題中，有很多隨機(jī)變量都近似服從泊松分布。例如:在任給一段固定的時(shí)間間隔內(nèi)，來到公共設(shè)施(公共汽車站、商店、電話交換臺(tái)等)要求給予服務(wù)的顧客個(gè)數(shù)；炸彈爆炸后落在平面上某區(qū)域的碎彈片個(gè)數(shù)；顯微鏡下看到的某種細(xì)菌的生長(zhǎng)個(gè)數(shù)。n=10,p=0.4,=np=4 n=40,p=0.1 =np=4隨著隨著n n增大，若增大，若npnp不變不變,則二項(xiàng)分布與泊松分布逐漸接近。則二項(xiàng)分布與泊松分布逐漸接近。泊松分布與二項(xiàng)分布的關(guān)系泊松分布與二項(xiàng)分布的關(guān)系定理定理(泊松定理)設(shè)隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B(n,p)(p(0,1)，并與n有關(guān))，且滿足 ,則 證明證明nlim np kkkn knnnlim PX=k=lim C p q=e (k=0,1,2,)k!-kkn kkn knnkkkn!P(Xk)C p qp qk!(nk)!1 n(n1)(nk1)(1p)(np)k!n(1p)nkknkkknn1(pn)npnn1lim(pn)pnnn(n1)(nk+1)lim=1 n lim(np)=lim(1p)=1lim(1p)=lim(1p)=lim(1p)lim P(X=k)=e=e (k=0,1,2,)k!-由于-所以，用泊松分布代替兩項(xiàng)分布的條件用泊松分布代替兩項(xiàng)分布的條件 在實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng)很大(n10)，很小時(shí)(0.1)，有下面的泊松近似公式其中=np。kkknknP X=k=C p qek!(k=0,1,2,n)-例例9 9 設(shè)每次擊中目標(biāo)的概率為0.001，且各次射擊是否中目標(biāo)可看作相互無影響，若射擊5000次，試求：()擊中12彈的概率；()至少擊中12彈的概率。解解 設(shè)X為擊中目標(biāo)的彈數(shù)，則XB(5000,0.001)，下面用近似公式計(jì)算。其中=np=50000.001=5（）擊中12彈的概率為：（）至少擊中12彈的概率為：121255P X12ee0.003412!12!kk5k 12k 125P X12ee0.0055k!k!例例10 由商店的銷售記錄知，某商品的月售出量X服從=10的泊松分布。為能以95%以上的概率保證不脫銷，問在無庫(kù)存的情況下月底應(yīng)進(jìn)貨多少？解解 商店備貨過多將明顯地提高成本，而長(zhǎng)期貨源不足則會(huì)影響商譽(yù)。因此需用概率方法確定合適的備貨量，依照問題的要求，若月底進(jìn)貨量為Q，則應(yīng)使 P(XQ)0.95 X10kQQ10i 0k 0遵守 的泊松分布，所以有10P(XQ)P(Xk)e0.95 k!P(X14)0.95 P(X15)0.95 應(yīng)取Q=15 故月底進(jìn)貨該商品15件，可有95%以上的把握使該商品在下個(gè)月的經(jīng)營(yíng)中不會(huì)脫銷。查表得：P(X14)00.00050.00230.00760.01890.03780.06310.09010.11260.12510.12510.11370.09480.07290.05210.9166P(X15)0.91660.03470.9513例例1111（合作問題）（合作問題）設(shè)有同類設(shè)備80臺(tái)，各臺(tái)工作是相互獨(dú)立的，發(fā)生故障的概率都是0.01，并且一臺(tái)設(shè)備的故障可由一個(gè)人來處理，試求：(1)由1個(gè)人負(fù)責(zé)維修指定的20臺(tái)設(shè)備，設(shè)備發(fā)生故障而不能及時(shí)維修的概率；(2)由3個(gè)人共同負(fù)責(zé)維修80臺(tái)設(shè)備時(shí)，設(shè)備發(fā)生故障而不能及時(shí)維修的概率。解解 (1)由一個(gè)人負(fù)責(zé)維修20臺(tái)設(shè)備時(shí)，設(shè)X表示同一時(shí)刻發(fā)生故障的設(shè)備臺(tái)數(shù),則XB(20,0.01)。因?yàn)橐粋€(gè)人在同一時(shí)刻只能處理1臺(tái)發(fā)生故障的設(shè)備，所以設(shè)備發(fā)生故障而不能及時(shí)處理，即是在同一時(shí)刻至少有2臺(tái)設(shè)備發(fā)生故障，于是所求概率為 也可用泊松公式近似：=np=200.01=0.2 1k 0002011192020P(X2)1P(X1)1P(Xk)1C 0.01 0.99C 0.010.990.01691k 0k10.2k 0P(X2)1P(X1)1P(Xk)0.21e10.81870.16380.0175k!查表(2)由3個(gè)人共同負(fù)責(zé)維修80臺(tái)設(shè)備時(shí)，設(shè)80臺(tái)設(shè)備中發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)為X，則XB(80,0.01)。當(dāng)同一時(shí)刻至少有4臺(tái)設(shè)備發(fā)生故障時(shí)，故障不能及時(shí)維修。由泊松近似公式=np=800.01=0.8，所求概率為 可見，由三個(gè)人共同負(fù)責(zé)維修80臺(tái)，即每人平均約維修27臺(tái)，比一個(gè)人單獨(dú)維修20臺(tái)更好，既節(jié)約了人力又提高了工作效率。3k 0k30.8k 0查表P(X4)1P(X3)1P(Xk)0.81ek!10.44930.35950.14380.03830.00913.3.3.3 3.3 幾何分布幾何分布 如果隨機(jī)變量的分布律為則稱隨機(jī)變量服從參數(shù)為p的幾何分布，記為XG(p)。幾何分布主要描述這樣的情形：獨(dú)立地連續(xù)做試驗(yàn)，直獨(dú)立地連續(xù)做試驗(yàn)，直到事件到事件A首次出現(xiàn)為止。此時(shí)首次出現(xiàn)首次出現(xiàn)為止。此時(shí)首次出現(xiàn)A時(shí)的試驗(yàn)次數(shù)時(shí)的試驗(yàn)次數(shù)為隨機(jī)變量為隨機(jī)變量X，P(A)=p,則則X服從參數(shù)為服從參數(shù)為p的幾何分布。的幾何分布。如：某射手的命中率為p，此射手向一目標(biāo)獨(dú)立地連續(xù)進(jìn)行射擊，直到命中目標(biāo)為止。若用X表示首次命中目標(biāo)時(shí)的射擊次數(shù)，則X服從參數(shù)為p的幾何分布。k 1PX=k=pq(k=1,2,3,4,q=1p)-；這是p=0.3的幾何分布：k 112k 1k2k 1P(Xk)P(A AAA)pq (k1,2,3,4,.)123kXppqpqpq例例1212 在石頭、剪子、布的游戲中，問：(1)甲方提出“若一次能決出勝負(fù)，則甲方贏；否則乙方 贏”，乙方能同意嗎？(2)比賽三次能決出勝負(fù)嗎？解解(1)P(甲方贏)=P(第一次就能決出勝負(fù))=P(甲勝或乙勝)=P(甲勝)+P(乙勝)=1/3+1/3=2/3 P(乙方贏)=1-P(甲方贏)=1/3 故乙方不能同意。(2)比賽三次能決出勝負(fù)嗎？設(shè)X為決出勝負(fù)所需的比賽次數(shù)，則X的取值為1,2,3,，此為獨(dú)立連續(xù)試驗(yàn)。P(在1次比賽中能決出勝負(fù))=2/3，于是X服從p=2/3的幾何分布。即 P(三次還不能決出勝負(fù))=P(X3)=1-P(X3)2k 1123kX2/3(1/3)(2/3)(1/3)(2/3)(1/3)(2/3)1P(X1)P(X2)P(X3)26112727 例例13 一個(gè)人要開門，他共有n把鑰匙，其中僅有一把是能開此門的，現(xiàn)隨機(jī)地從中取出一把鑰匙來試開門，在試開時(shí)每一把鑰匙均以1/n的概率被取用，問此人直到第S次試開時(shí)方才成功的概率是多少？解解 A=試開門成功s 11n11P()=P(A)=nnn-取每把鑰匙概率幾何分布具有如下特征：幾何分布具有如下特征：如X的分布律為g(k;p)，則對(duì)任意正整數(shù)s、t，有 P(Xs+tXs)=P(Xt)稱幾何分布具有“無記憶”性。證明證明s tk 1tk s t 1sk 1k s 1tk 1tk t 1PXstP(Xst Xs)PXsqqp1qqqqp1qqPXtqppq1qP(Xst Xs)PXt 超幾何分布超幾何分布例例14 在一箱N件裝的產(chǎn)品中混進(jìn)了M件次品，今從中抽取n件(nM)，求從中查出次品的件數(shù)X的概率分布。解解kn kMNMnNC CP(X=k)=,C k=0,1,2,n-負(fù)二項(xiàng)分布負(fù)二項(xiàng)分布 在“成功”概率是p的貝努利試驗(yàn)中，出現(xiàn)第r次成功時(shí)所作的試驗(yàn)次數(shù)X所服從的分布稱為負(fù)二項(xiàng)分布。由于f(k;r,p)是負(fù)指數(shù)二項(xiàng)式 展開式中的項(xiàng)，故X所服從的分布稱為負(fù)二項(xiàng)分布。由此也可以證明r 1rk rk 1P(Xk)Cp qf k;r,pkr,r1,r2,q1pr1q()ppk rf k;r,p1r 1rkrk 1krkrkr lr 1rllrlrlrl 1rl 0l 0rrl-r-rllr-1r+l-1f k;r,pCp qCp qC(1)p qp(1q)1-r(-r-1)(-r-l+1)其中C=l!r(r+1)(r+l-1)=(-1)l!=(-1)C 令證明證明例例1515 兩個(gè)同類型的系統(tǒng)，開始時(shí)各有N個(gè)備件，一旦出現(xiàn)故障，就要更換一個(gè)備件。假定兩個(gè)系統(tǒng)的運(yùn)行條件相同，不同時(shí)發(fā)生故障。試求當(dāng)一個(gè)系統(tǒng)需用備件而發(fā)現(xiàn)備件已用光時(shí)，另一系統(tǒng)尚有r個(gè)備件的概率Pr。(r=0,1,N)解解 只考慮出故障的時(shí)刻故障的出現(xiàn)看作是貝努利試驗(yàn)，有第一個(gè)系統(tǒng)出故障A第二個(gè)系統(tǒng)出故障A1pP(A)2 要第一個(gè)系統(tǒng)缺備件而第二個(gè)系統(tǒng)剩r件，應(yīng)該是A出現(xiàn)N1次故障(前N次用去所有N個(gè)備件，最后一次故障發(fā)生時(shí)缺乏調(diào)換的備件)，而A出現(xiàn)Nr次，這事件的概率為：對(duì)于第二個(gè)系統(tǒng)先缺備件的情況可同樣考慮，因此所求概率Pr為：2Nr 12NrNNr2Nr2Nr11P2CC22 r 1rk rk 12N r 1N2N rf k;r,pCp q1f(2Nr1,N1,1/2)C23.3.4 4 一維連續(xù)型隨機(jī)變量一維連續(xù)型隨機(jī)變量 當(dāng)一個(gè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)FX(x)可寫成“變上限積分”的形式：稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量，稱為fX(x)為X的概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱密度函數(shù)。可以證明，連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)是連續(xù)函數(shù)。xXXF(x)=P(Xx)=f(t)dt-密度函數(shù)與分布函數(shù)的性質(zhì)：密度函數(shù)與分布函數(shù)的性質(zhì)：(3)而分布函數(shù)F(x)的導(dǎo)函數(shù)(在連續(xù)點(diǎn)上)就是其密度函 數(shù)，即 (1)f(x)0(2)f(x)dx=1+-dF(x)f(x)=dxba(4)Pa Xb =f(x)dx=F(b)F(a)-對(duì)任意類型的對(duì)任意類型的隨機(jī)變量均成立隨機(jī)變量均成立證明證明 ()由定義知，顯然f(x)0。()分布函數(shù)性質(zhì)知，由廣義積分概念與分布函數(shù)的定義知，xFlim F x1 xxxf x dxlimf t dtlim F xF1 (3)x0 xxxx0F xxF xFxlimxf t dtf t dtlimx xxxx0 x0f t dtf xxxlimlimxxf x (5)密度函數(shù)f(x)并不直接表示概率值的大小。但在區(qū)間很小時(shí)，f(x)的數(shù)值還是能反映出隨機(jī)變量在x附近取值的概率大小的。上式表明，在小區(qū)間x-x,x內(nèi)的概率值大約為密度值與區(qū)間長(zhǎng)度x的乘積。xxxP(xxXx)f(t)dtf(x)x(6)可見，連續(xù)型隨機(jī)變量X取一個(gè)固定值的概率為0。并且有 babaP(aXb)P(aXb)P(aXb)P(aXb)F(b)F(a)P aXbP XbP Xaf x dxf x dxf x dxF(b)F(a)CCCC0C0P(XC)limf(t)dtlim f(C)C0 對(duì)任意類型的對(duì)任意類型的隨機(jī)變量均成立隨機(jī)變量均成立例例16 設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為()求常數(shù)、；()判斷X是否是連續(xù)型隨機(jī)變量；()求 P-1X1/2解解()由分布函數(shù)性質(zhì)得 x2x1Ae,x03F x1Be,x03 xxx2xxx10lim F xlimAeA311lim F xlimBeB3(2)因?yàn)?所以F(x)不是連續(xù)函數(shù)，從而X不是連續(xù)型隨機(jī)變量。x0112lim F xF 01333(3)11111P1XFF122111ee3321e3例例17 設(shè)已知連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度函數(shù)是(1)確定a的值；(2)求X的分布函數(shù)F(x)；(3)求概率P(X21)。解解 (1)根據(jù)密度的性質(zhì)，有a0以及 并稱該隨機(jī)變量服從柯西(Cauchy)分布。A22BABABadx(x)dxdxa lim1x1xa lim(arctan Aarctan B)a11故得 a=，2a(x)(x)1x (2)求X的分布函數(shù)F(x)：(3)求概率P(X21)：F(x)P(X x)xx211(x)dxdx1x111(arctan x)arctan x222211121P(X1)1P(X1)1P(1X1)1(x)dx111dx1x11122例例18 向半徑為R的圓形靶射擊，假定不會(huì)發(fā)生脫靶的情況，彈著點(diǎn)落在以靶心O為中心，r為半徑(rR)的圓形區(qū)域的概率與該區(qū)域的面積成正比。設(shè)隨機(jī)變量X表示彈著點(diǎn)與靶心的距離，試求X的分布函數(shù)F(x)及其密度函數(shù)f(x)解解 因?yàn)椴粫?huì)發(fā)生脫靶，所以X的一切可能值是0,R，當(dāng)x0時(shí)，F(xiàn)(x)=P(Xx)=P()=0，當(dāng)0 xR時(shí)，F(xiàn)(x)=P(Xx)=kx2，由于F(R)=P(XR)=1，kR2=1 221xk=,F(x)=RR 當(dāng)xR時(shí)，F(xiàn)(x)=P(Xx)=P(必然事件)=1 由于 所以，密度函數(shù)為：20 x0 xF(x)0 xRR1 xRf(x)F(x)20 x0 xRf(x)2x0 xRR或3.4.13.4.1均勻分布均勻分布 最簡(jiǎn)單的連續(xù)型隨機(jī)變量是密度函數(shù)在某有限區(qū)間取正的常數(shù)值，其余皆取零的隨機(jī)變量，稱為均勻分布。均勻分布密度函數(shù)f(x)為 XXU(a,ab),b1a x 0f(x)=0 x0-axx1ex 0F(x)=f(t)dt=0 x0-指數(shù)分布的密度函數(shù)與分布函數(shù)圖像例例26 26 設(shè)到某服務(wù)窗口辦事，需要排隊(duì)等候，若等待的時(shí)間X是指數(shù)分布隨機(jī)變量(單位：分鐘)，則其概率密度為 某人到此窗口辦事，在等待15分鐘后仍未能得到接待時(shí)，他就憤然離去，若此人在一個(gè)月內(nèi)共去該處10次，試求：(1)有2次憤然離去的概率；(2)最多有2次憤然離去的概率；(3)至少有2次憤然離去的概率。000101)(10ttetft解解 首先求出他在任一次排隊(duì)服務(wù)時(shí)，以憤然離去而告終的概率。在10次排隊(duì)中憤然離去的次數(shù)YB(10,p)(1)有2次憤然離去的概率 P(Y=2)=(2)最多有2次憤然離去的概率 (3)至少有2次憤然離去的概率 P(Y2)22810C p q0.297310928P(Y2)P(Y0)P(Y1)P(Y2)q10pq45p q0.08010.29610.29730.6735109P(Y2)1P(Y2)1P(Y0)P(Y1)1p10pq10.08010.29610.6238t310215151pP(X15)f(t)dtedte0.223110自測(cè)題自測(cè)題 設(shè)隨機(jī)變量X具有分布密度試確定，并求P(X0.1)。答案答案：=3 P(X0.1)=0.2593xex0(x)0 x03.3.5 5 正態(tài)分布正態(tài)分布 在實(shí)際問題中，有許多隨機(jī)變量都服從或近似服從正態(tài)分布，例如，測(cè)量誤差；各種產(chǎn)品的質(zhì)量指示(零件的尺寸、材料的強(qiáng)度、電子管的壽命)；生物學(xué)中，同一群體的某種特征(某種動(dòng)物的身長(zhǎng)、體重；某種植物的株高、單位面積產(chǎn)量，)等等。在理論上可以證明，若在理論上可以證明，若X是某一隨機(jī)試驗(yàn)的隨機(jī)變量，如是某一隨機(jī)試驗(yàn)的隨機(jī)變量，如果決定試驗(yàn)結(jié)果的是大量的偶然因素的總和，各個(gè)偶然因素之果決定試驗(yàn)結(jié)果的是大量的偶然因素的總和，各個(gè)偶然因素之間近乎相互獨(dú)立，并且每個(gè)偶然因素的單獨(dú)作用相對(duì)于作用的間近乎相互獨(dú)立，并且每個(gè)偶然因素的單獨(dú)作用相對(duì)于作用的總和來說均勻地小，那么總和來說均勻地小，那么X就近似服從正態(tài)分布就近似服從正態(tài)分布。正態(tài)分布又叫高斯(Gauss)分布，它是最重要的連續(xù)型分布，在概率論中占有極其重要的地位，在實(shí)際中有著十分廣泛的應(yīng)用。稱概率密度為 的隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布(或高斯分布)，記作XN(,2)，其中，0，與是常數(shù)。正態(tài)分布的分布函數(shù)是22(x)21f(x)=e (x +)2-22(x)x21F(x)edx2 特別地稱N(0,1)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，其概率密度常記為 其分布函數(shù)記為2x21(x)e(x)2 2xx 21(x)edx2若 XN(2)，則結(jié)論當(dāng)a=-或b=+時(shí)也成立。證明證明baPa X b=()()-22(x)bb2aa1Pa X b=f(x)dx=edx 2222-(x)b2abt2a1xed()21baedt()2x(t 令*aXbP(a X b)=P()abba=P(X)=()()標(biāo)準(zhǔn)變換-查表 一般正態(tài)分布的概率可由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布計(jì)算。一般正態(tài)分布的概率可由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布計(jì)算。若 XN(2),作標(biāo)準(zhǔn)變換：則新的隨機(jī)變量X*N(0 1)*XX=-bbP(X a)=1P(Xa)=1()-特-別地，正態(tài)分布的密度函數(shù)與分布函數(shù)有下列性質(zhì)：正態(tài)分布的密度函數(shù)與分布函數(shù)有下列性質(zhì)：(1)f(x)和F(x)處處大于零，且具有各階連續(xù)導(dǎo)數(shù)；(2)f(x)在區(qū)間(-,)內(nèi)單調(diào)增加，在區(qū)間(,+)內(nèi)單調(diào)減少，在x=處取得最大值當(dāng)x-或x+時(shí),f(x)0,即x軸(y=0)是f(x)的漸近線。f(x)的圖形關(guān)于直線x=對(duì)稱，即f(-x)=f(+x)。是X的數(shù)學(xué)期望(加權(quán)平均值)。=0時(shí)，則有f(-x)=f(x)，即這時(shí)f(x)關(guān)于y軸(x=0)對(duì)稱。1f()=2固定時(shí)，越小，密度曲線越是尖狹；固定時(shí)，越大，密度曲線越是平寬。是X的標(biāo)準(zhǔn)差(描述了X的發(fā)散程度)。(3)F(-x)=1-F(+x)特別有F(-x)=1-F(x)(-x)=1-(x)(4),F(x)=1F(x)xF(x)=()-(5)如果XN(0,1),則P|X|x=2(x)-1證明(6)如果XN(0,1)，則P|X|x=2 1-(x)證明P|X|xP xXx(x)(x)(x)1(x)2(x)1 P|X|x1P|X|x12(x)121(x)例例20 設(shè)XN(0,1)，借助于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)(x)的表計(jì)算：(1)PX-1.24 (2)P|X|1.54(1)PX1.24(1.24)1(1.24)10.89250.1075(2)P|X|1.542(1.54)120.938210.8764 解解例例21 設(shè)XN(0,1)，求使P|X|x=0.1的x。P|X|x21(x)1(x)1P|X|x210.50.100.95反得 x=1.645查表解解 例例22 設(shè)XN(-1 4)，試求P(-5X1),P(-2X2),P(|X|1)，P(|X|3/2)解解 =-1，2=4，=2 51X111P(5X1)P()2221151()()22(1)(2)標(biāo)準(zhǔn)變換 由于-x=1-(x)查表P(5X1)=(1)(2)=(1)1(2)(1)(2)10.84130.977210.8185 21X121P(2X2)P()2222121()()(1.5)(0.5)22(1.5)(0.5)10.93320.691510.6247 333P(|X|)P(X)P(X)222X11.51X11.51P()1P()2222(0.25)1(1.25)1(0.25)1(1.25)2(0.25)(1.25)0.5069 查表11X111P(|X|1)P(1X1)P()222(1)(0)0.84130.50.3413 )P X =2(1)1=0.6826P X 2=2(2)1=0.9546P X 3=2(3)1=0.9974P X k=2(k)12對(duì)任意XN(,，有-例例23 設(shè)已知測(cè)量誤差XN(0,102)，現(xiàn)獨(dú)立重復(fù)進(jìn)行100次測(cè)量，求誤差絕對(duì)值超過19.6的次數(shù)不少于3的概率。解解 這個(gè)問題既涉及正態(tài)分布，又涉及二項(xiàng)分布。第一步：以A表示一次測(cè)量中“誤差絕對(duì)值超過19.6”的事件，則有 P(A)P(|X|19.6)1P(|X|19.6)1P(19.6X19.6)19.6019.601()()101012(1.96)122(1.96)0.05 第二步：以Y表示100次獨(dú)立重復(fù)測(cè)量中，事件A發(fā)生的次數(shù)，則YB(100,0.05)。誤差絕對(duì)值超過19.6的次數(shù)不少于3的概率為 P(Y3)=1-P(Y3)第三步：由于n=100較大而p=0.05很小，故二項(xiàng)分布可用=np=5的泊松分布近似代替，查泊松分布表可得 P(Y3)=1-P(Y3)=1-P(Y=0)-P(Y=1)-P(Y=2)8754.0!25!15!051525150查表eee例例2424 公共汽車車門的高度是按男子與車門頂碰頭的機(jī)會(huì)在0.01以下來設(shè)計(jì)的。設(shè)男子身高X服從=170cm,=6cm的正態(tài)分布，即XN(170，62)，試確定車門的高度。解解 設(shè)車門的高度為hcm，根據(jù)設(shè)計(jì)要求應(yīng)有 P(Xh)0.01 則 1-P(Xh)0.01 即 P(Xh)0.99 由于XN(170，62)，18433.26170 33.26170 99.09901.0)33.2 hh得所以（查表得h170P(Xh)()0.996 例例25 從南郊某地乘車前往北區(qū)火車站搭火車有兩條路線可走，第一條穿過市區(qū)，路程較短，但交通擁擠，所需時(shí)間(單位為分鐘)服從正態(tài)分布N(50,100)，第二條沿環(huán)城公路走，路線較長(zhǎng)，但意外堵塞較少，所需時(shí)間(單位為分鐘)服從正態(tài)分布N(60,16)。(1)如有70分鐘可用，問應(yīng)走哪一條路線？(2)如只有65分鐘可用，問應(yīng)走哪一條路線？X(1)707050PX70()0.9772107060PX70()0.99384設(shè) 表示行車時(shí)間。有分鐘可用時(shí)走第一條路線及時(shí)趕到的概率為：走第二條路線及時(shí)趕到的概率為：應(yīng)走第二條路線。解解(2)656550PX65()0.9332106560PX65()0.89444有分鐘可用時(shí)走第一條路線及時(shí)趕到的概率為：走第二條路線及時(shí)趕到的概率為：應(yīng)走第一條路線。3.7 3.7 一維隨機(jī)變量函數(shù)的分布一維隨機(jī)變量函數(shù)的分布 當(dāng)隨機(jī)變量X的分布已知時(shí)，怎樣求出它的函數(shù) Yg(X)的分布。為了使Y有分布，要求Y是隨機(jī)變量，因此對(duì)函數(shù)Y=g(x)也必須有一定的要求。為簡(jiǎn)單起見，只討論g(x)是連續(xù)、分段連續(xù)或單調(diào)的情形，在這些情形下，如果X是隨機(jī)變量，則Yg(X)也是隨機(jī)變量。在一些具體的分布中，可以了解解決這類問題的基本方法。例例27 27 設(shè)X的分布律為試求函數(shù)YX2，Z2X-1，W|X|+1 的分布。解解 由X的分布律可列出下表：將表中取相同值的部分作適當(dāng)并項(xiàng)，得YX2的分布律：X-2-1012P0.150.20.20.20.25X241014P0.150.20.20.20.25Y X2014P0.20.40.4Z2X-1的分布律：W|X|+1：將表中取相同值的部分作適當(dāng)并項(xiàng)，得W|X|+1的分布律為Z2X-1-5-3-113P0.150.20.20.20.25W|X|+1 32123P0.150.20.20.20.25W|X|+1 123P0.20.40.4一般情況下，已知離散型隨機(jī)變量X的分布律：則函數(shù)g(X)的分布（若某些g(xi)相等，合并同值項(xiàng)）：Xx1x2xnPp1p2png(X)g(x1)g(x2)g(xn)Pp1p2pn 對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量X，求其函數(shù)g(X)的分布。例例28 設(shè)隨機(jī)變量X具有連續(xù)的分布密度fXx，試求Y=aX+b的(其中a，b是常數(shù)，且a0)密度函數(shù)fY(y)。解解 設(shè)Y的分布函數(shù)為FY(y)當(dāng)a0時(shí)，Yy bu at byaXXYYXybF(y)P(Yy)P(aXby)P(X)a1ubf(t)dtf()duaadF(y)1ybf(y)f()dyaa令當(dāng)a0時(shí)，0時(shí),FY(y)=P(eX y)=P(Xlny)e 2222(x a)ln y2(x a)ln y21F(y)P(ey)P(ln y)edx20y0所以F(y)1edxy02，則有密度函數(shù)：2222(ln y a)2(ln y a)20y0f(y)F(y)1e(ln y)y020y01ey02 y2222222222=a+b，由P56例3-16由有1yb(y)()aa11ybexp N(,)，=a+b，有N(a+b,aa22a1(yab)exp2a2aN(au,a)b 例例3 31 1證明證明作業(yè)評(píng)講作業(yè)評(píng)講1、解、解 0)()1)()(,0,1xFaxdttfxFbaxbaxabxfx則的密度函數(shù)為：bxbxaaxabaxxFdttfdttfdttfxFbxabaxabaxdttfdttfxFbxaxbbaaxaa10)(1010)()()()()30)()()()22、解、解0)(0)321)(10)21)(1)1xPxFxxxPxFxxPxFx12、解、解%62.92!9139,03.0,30097.003.0131309130300300kkkkkkekPnppnCP利用近似公式計(jì)算。14、解、解2111111111)22(111111122arctgxdxxPAAAarctgxdxxA15、解、解104121)(2)341214121)(20)22121)(0)1)()(220000 xtxtxxtxdtdtdtexFxxdtdtexFxedtexFxdttxF16、解、解4.02)(1002)()(11)(lim)1(7.03.07.03.01xdxdxxfxxdxxdFxfAxFAFx其它18、解、解3230130103000301)(103010dxPxxf其它分鐘。則點(diǎn)設(shè)公共汽車到達(dá)時(shí)間為19、解、解%72.2)1(128.01081018.0256dxxxPP23、解、解271)1()2278)1(131100150033330031501002ppCppCdxxPp所求概率）所求概率表示電子管的壽命。設(shè)25、解、解符合要求。99.09973.0150)28665.0)11.1()18200180(11801180)1PPP27、解、解1112108)1(3)21(321)(1)(211212)1(22yyyyabyayyabyba即其中令其它1108)1(3)(2yyy其它故即其中令01023)(10123)(3)()2(2121230222yyyfyyyyfydxxyyPyPyPyFy28、解、解0)(02)(lnexp211)(ln1)(ln)()(0)(lnln)(22yfyayyyyfydyydFdyydFyfyyFyPyePyPyF時(shí)，當(dāng)時(shí)當(dāng)29、解、解)(3131)()()()()(332323333yyydyydFdyydFyfyFyPyPyPyF其它其它10031)(31)(1001)(32332yyyyyfxx30、解、解y2yy22yy22yyye222y2F(y)PyP2lnyPe F(e)dF(y)dF(e)1f(y)edydy21e f(e)e e22y即f(y)exp(e)y22