1-6 兩個重要極限

一、極限存在準則1.夾逼準則準則準則 如果數(shù)列如果數(shù)列nnyx,及及nz滿足下列條件滿足下列條件:,lim,lim)2()3,2,1()1(azaynzxynnnnnnn 那末數(shù)列那末數(shù)列nx的極限存在的極限存在,且且axnn lim.說明：準則I可以推廣到函數(shù)的極限準則準則 如果當如果當)(00 xUx (或或Mx )時時,有有,)(lim,)(lim)2(),()()()1()()(00AxhAxgxhxfxgxxxxxx 那末那末)(lim)(0 xfxxx 存在存在,且等于且等于A.準則和準則 稱為夾逼準則.注意:.,).1(的極限是容易求的的極限是容易求的與與并且并且與與鍵是構(gòu)造出鍵是構(gòu)造出利用夾逼準則求極限關利用夾逼準則求極限關nnnnzyzy時的情形也成立時的情形也成立此準則對于此準則對于 x).2()()()(xhxfxg 夾逼定理示意圖A例例1 1).12111(lim222nnnnn 求求解解,11112222 nnnnnnnnnnnnnn111limlim2 又又,1 22111lim1limnnnnn ,1 由夾逼定理得由夾逼定理得.1)12111(lim222 nnnnn2.單調(diào)有界準則滿足條件滿足條件如果數(shù)列如果數(shù)列nx,121 nnxxxx單調(diào)增加,121 nnxxxx單調(diào)減少單調(diào)數(shù)列準則準則 單調(diào)有界數(shù)列必有極限單調(diào)有界數(shù)列必有極限.幾何解釋:x1x2x3xnx1 nxMA1sincosxxx圓扇形圓扇形AOBAOB的面積的面積二、兩個重要極限 1sinlim.10 xxx證證:當當即即xsin21x21xtan21亦即亦即)0(tansin2xxxx),0(2x時，時，)0(2 x,1coslim0 xx1sinlim0 xxx顯然有顯然有AOBAOB 的面積的面積AODAOD的面積的面積xxxcos1sin1故有故有OBAx1DC該極限的特征：極限為 且含有三角因子00“”可作為公式使用0sinlim1uuu例例3.3.求下列極限求下列極限0sin2(1)lim xxxxxx8sin5sinlim)2(0 xxxtanlim)3(020cos1lim)4(xxx0arcsin(5)limxxxxxxsinlim )6(說明：1.以下結(jié)論也可直接作為公式使用0tanlim1uuu0lim1sinuuu0lim1tanuuu2.應用重要極限求極限時要特別注意極限成立的條件練習：求下列極限xxx3sin2tanlim)1(0 xxxsinarctanlim)2(01(3)lim sin xxx01(4)lim sin xxx0arcsinlim1uuu0arctanlim1uuu2.2.e)1(lim1xxx該極限的特征：冪指函數(shù)，極限趨勢為1可作為公式使用：1lim 1)uuue（10lim(1)uueu例例4.4.求下列極限求下列極限xxx21lim)1(10(2)lim 1 3xxx383(3)lim 121xxx)(32lim)4(xxxx1(5)lim1+xexxxee 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)(1)(1)夾逼準則夾逼準則(2)(2)單調(diào)有界準則單調(diào)有界準則1.1.極限存在的兩個準則極限存在的兩個準則2.2.兩個重要極限兩個重要極限1sinlim)1(0e)11(lim)2(或e)1(lim10注注:代表相同的表達式12 結(jié)束語結(jié)束語