2019高考數學三輪沖刺 大題提分 大題精做7 立體幾何：建系困難問題 理

大題精做7 立體幾何：建系困難問題2019·長沙統(tǒng)測已知三棱錐（如圖一）的平面展開圖（如圖二）中，四邊形為邊長等于的正方形，和均為正三角形，在三棱錐中：（1）證明：平面平面；（2）若點在棱上運動，當直線與平面所成的角最大時，求二面角的余弦值圖一圖二【答案】（1）見解析；（2）【解析】（1）設的中點為，連接，由題意，得，在中，為的中點，在中，平面，平面，平面，平面平面（2）由（1）知，平面，是直線與平面所成的角，且，當最短時，即是的中點時，最大由平面，于是以，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖示空間直角坐標系，則，設平面的法向量為，則由得：令，得，即設平面的法向量為，由得：，令，得，即由圖可知，二面角的余弦值為12019·安慶期末矩形中，點為中點，沿將折起至，如圖所示，點在面的射影落在上（1）求證：面面；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值22019·南陽期末如圖1，在矩形中，點在線段上，且，現將沿折到的位置，連結，如圖2（1）若點在線段上，且，證明：；（2）記平面與平面的交線為若二面角為，求與平面所成角的正弦值32019·蘇州調研如圖，在四棱錐中，已知底面是邊長為1的正方形，側面平面，與平面所成角的正弦值為（1）求側棱的長；（2）設為中點，若，求二面角的余弦值1【答案】（1）詳見解析；（2）【解析】（1）在四棱錐中，從而有，又面，而面，而、面，且，由線面垂直定理可證面，又面，由面面垂直判斷定定理即證面面（2）由條件知面，過點做的平行線，又由（1）知面，以、分別為、軸建立空間直角坐標系，如圖所示：，面的一個法向量為，設面的法向量為，則有，從而可得面的一個法向量為，設平面與平面所成銳二面角為，與互補，則，故平面與平面所成二面角的余弦值為2【答案】（1）詳見解析；（2）【解析】證明：（1）先在圖1中連結，在中，由，得，在中，由，得，則，從而有，即在圖2中有，平面，則；解：（2）延長，交于點，連接，根據公理3得到直線即為，再根據二面角定義得到在平面內過點作底面垂線，以為原點，分別為，及所作垂線為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，則，設平面的一個法向量為，由，取，得與平面所成角的正弦值為3【答案】（1）或；（2）【解析】（1）取中點，中點，連結，又平面平面，平面，平面平面，平面，又是正方形，以為原點，為，軸建立空間直角坐標系（如圖），則，設，則，設平面的一個法向量為，則有，取，則，從而，設與平面所成角為，解得或，或（2）由（1）知，由（1）知，平面的一個法向量為，設平面的一個法向量為，而，取，則，即，設二面角的平面角為，根據圖形得為銳角，二面角的余弦值為8