2019年高考數(shù)學(xué) 高考題和高考模擬題分項(xiàng)版匯編 專題09 不等式、推理與證明 理（含解析）

專題09 不等式、推理與證明1【2019年高考全國(guó)II卷理數(shù)】2019年1月3日嫦娥四號(hào)探測(cè)器成功實(shí)現(xiàn)人類歷史上首次月球背面軟著陸，我國(guó)航天事業(yè)取得又一重大成就，實(shí)現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個(gè)關(guān)鍵技術(shù)問題是地面與探測(cè)器的通訊聯(lián)系為解決這個(gè)問題，發(fā)射了嫦娥四號(hào)中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日點(diǎn)的軌道運(yùn)行點(diǎn)是平衡點(diǎn)，位于地月連線的延長(zhǎng)線上設(shè)地球質(zhì)量為M，月球質(zhì)量為M，地月距離為R，點(diǎn)到月球的距離為r，根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律和萬有引力定律，r滿足方程：.設(shè)，由于的值很小，因此在近似計(jì)算中，則r的近似值為ABCD【答案】D【解析】由，得因?yàn)?，所以，即，解得，所以【名師點(diǎn)睛】由于本題題干較長(zhǎng)，所以，易錯(cuò)點(diǎn)之一就是能否靜心讀題，正確理解題意；易錯(cuò)點(diǎn)之二是復(fù)雜式子的變形出錯(cuò)2【2019年高考全國(guó)II卷理數(shù)】若a>b，則Aln(ab)>0B3a<3bCa3b3>0Da>b【答案】C【解析】取，滿足，知A錯(cuò)，排除A；因?yàn)?，知B錯(cuò)，排除B；取，滿足，知D錯(cuò)，排除D，因?yàn)閮绾瘮?shù)是增函數(shù)，所以，故選C【名師點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)性質(zhì)、冪函數(shù)性質(zhì)及絕對(duì)值意義，滲透了邏輯推理和運(yùn)算能力素養(yǎng)，利用特殊值排除即可判斷3【2019年高考北京卷理數(shù)】若x，y滿足，且y1，則3x+y的最大值為A7B1C5D7【答案】C【解析】由題意作出可行域如圖陰影部分所示. 設(shè),當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí),取最大值5.故選C【名師點(diǎn)睛】本題是簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問題的基本題型,根據(jù)“畫移解”等步驟可得解.題目難度不大,注重了基礎(chǔ)知識(shí)基本技能的考查.4【2019年高考北京卷理數(shù)】在天文學(xué)中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述兩顆星的星等與亮度滿足m2m1=lg，其中星等為mk的星的亮度為Ek（k=1，2）已知太陽的星等是26.7，天狼星的星等是1.45，則太陽與天狼星的亮度的比值為A 1010.1B 10.1C lg10.1D 1010.1【答案】A【解析】?jī)深w星的星等與亮度滿足,令,.故選：A【名師點(diǎn)睛】本題以天文學(xué)問題為背景,考查考生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)信息處理能力閱讀理解能力以及指數(shù)對(duì)數(shù)運(yùn)算.5【2019年高考天津卷理數(shù)】設(shè)變量滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最大值為A2B3C5D6【答案】D【解析】已知不等式組表示的平面區(qū)域如圖中的陰影部分.目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是直線在軸上的截距，故目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)處取得最大值.由，得，所以.故選C.【名師點(diǎn)睛】線性規(guī)劃問題，首先明確可行域?qū)?yīng)的是封閉區(qū)域還是開放區(qū)域，分界線是實(shí)線還是虛線，其次確定目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，是求直線的截距、兩點(diǎn)間距離的平方、直線的斜率、還是點(diǎn)到直線的距離等等，最后結(jié)合圖形確定目標(biāo)函數(shù)最值或范圍即：一畫，二移，三求6【2019年高考天津卷理數(shù)】設(shè)，則“”是“”的A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件【答案】B【解析】化簡(jiǎn)不等式，可知推不出，由能推出，故“”是“”的必要不充分條件，故選B.【名師點(diǎn)睛】本題考查充分必要條件，解題關(guān)鍵是化簡(jiǎn)不等式，由集合的關(guān)系來判斷條件.7【2019年高考浙江卷】若實(shí)數(shù)滿足約束條件，則的最大值是AB 1C 10D 12【答案】C【解析】畫出滿足約束條件的可行域如圖中陰影部分所示。因?yàn)?，所?平移直線可知，當(dāng)該直線經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，z取得最大值.聯(lián)立兩直線方程可得，解得.即點(diǎn)A坐標(biāo)為，所以.故選C.【名師點(diǎn)睛】解答此類問題，要求作圖要準(zhǔn)確，觀察要仔細(xì).往往由于由于作圖欠準(zhǔn)確而影響答案的準(zhǔn)確程度，也有可能在解方程組的過程中出錯(cuò).8【2019年高考浙江卷】若，則“”是 “”的A充分不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則當(dāng)時(shí)，有，解得，充分性成立；當(dāng)時(shí)，滿足，但此時(shí)，必要性不成立，綜上所述，“”是“”的充分不必要條件.【名師點(diǎn)睛】易出現(xiàn)的錯(cuò)誤有，一是基本不等式掌握不熟，導(dǎo)致判斷失誤；二是不能靈活的應(yīng)用“賦值法”，通過特取的值，從假設(shè)情況下推出合理結(jié)果或矛盾結(jié)果.9【2019年高考全國(guó)II卷理數(shù)】中國(guó)有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一印信的形狀多為長(zhǎng)方體、正方體或圓柱體，但南北朝時(shí)期的官員獨(dú)孤信的印信形狀是“半正多面體”（圖1）半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美圖2是一個(gè)棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，且此正方體的棱長(zhǎng)為1則該半正多面體共有_個(gè)面，其棱長(zhǎng)為_（本題第一空2分，第二空3分）【答案】26，【解析】由圖可知第一層與第三層各有9個(gè)面，計(jì)18個(gè)面，第二層共有8個(gè)面，所以該半正多面體共有個(gè)面如圖，設(shè)該半正多面體的棱長(zhǎng)為，則，延長(zhǎng)與交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交正方體棱于，由半正多面體對(duì)稱性可知，為等腰直角三角形，即該半正多面體棱長(zhǎng)為【名師點(diǎn)睛】本題立意新穎，空間想象能力要求高，物體位置還原是關(guān)鍵，遇到新題別慌亂，題目其實(shí)很簡(jiǎn)單，穩(wěn)中求勝是關(guān)鍵立體幾何平面化，無論多難都不怕，強(qiáng)大空間想象能力，快速還原圖形10【2019年高考北京卷理數(shù)】李明自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上經(jīng)營(yíng)一家水果店，銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，價(jià)格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒為增加銷量，李明對(duì)這四種水果進(jìn)行促銷：一次購(gòu)買水果的總價(jià)達(dá)到120元，顧客就少付x元每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后，李明會(huì)得到支付款的80%當(dāng)x=10時(shí)，顧客一次購(gòu)買草莓和西瓜各1盒，需要支付_元；在促銷活動(dòng)中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價(jià)的七折，則x的最大值為_【答案】130 ；15.【解析】（1）,顧客一次購(gòu)買草莓和西瓜各一盒,需要支付元.（2）設(shè)顧客一次購(gòu)買水果的促銷前總價(jià)為元,元時(shí),李明得到的金額為,符合要求.元時(shí),有恒成立,即,即元.所以的最大值為.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查不等式的概念與性質(zhì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)數(shù)學(xué)式子變形與運(yùn)算求解能力,以實(shí)際生活為背景，創(chuàng)設(shè)問題情境，考查學(xué)生身邊的數(shù)學(xué)，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).11【2019年高考天津卷理數(shù)】設(shè)，則的最小值為_【答案】【解析】方法一：.因?yàn)?，所以，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)成立.又因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，結(jié)合可知，可以取到3，故的最小值為.方法二：.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為.【名師點(diǎn)睛】使用基本不等式求最值時(shí)一定要驗(yàn)證等號(hào)是否能夠成立.12（四川省棠湖中學(xué)2019屆高三高考適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)（理)試題）已知集合，則ABCD【答案】C【解析】，故，故選C.【名師點(diǎn)睛】本題考查集合的交集，屬于基礎(chǔ)題，解題時(shí)注意對(duì)數(shù)不等式的等價(jià)轉(zhuǎn)化.13【廣東省韶關(guān)市2019屆高考模擬測(cè)試（4月)數(shù)學(xué)試題】若，滿足約束條件，則的最大值為ABC5D6【答案】C【解析】變量，滿足約束條件的可行域如圖中陰影部分所示：目標(biāo)函數(shù)是斜率等于1、縱截距為的直線，當(dāng)直線經(jīng)過可行域的點(diǎn)時(shí)，縱截距取得最小值，則此時(shí)目標(biāo)函數(shù)取得最大值，由可得，目標(biāo)函數(shù)的最大值為：5故選：C【名師點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃的簡(jiǎn)單應(yīng)用，考查計(jì)算能力以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用14【山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)等四校2019屆高三聯(lián)合考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題】已知實(shí)數(shù)，滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最小值為ABCD【答案】B【解析】作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：目標(biāo)函數(shù)的幾何意義為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的斜率，當(dāng)位于時(shí)，此時(shí)的斜率最小，此時(shí)故選B【名師點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用以及兩點(diǎn)之間的斜率公式的計(jì)算，利用z的幾何意義，通過數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵15【黑龍江省大慶市第一中學(xué)2019屆高三下學(xué)期第四次模擬（最后一卷)考試數(shù)學(xué)試題】設(shè)不等式組，表示的平面區(qū)域?yàn)椋趨^(qū)域內(nèi)任取一點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)滿足不等式的概率為ABCD【答案】A【解析】畫出所表示的區(qū)域如圖中陰影部分所示，易知，所以的面積為，滿足不等式的點(diǎn)，在區(qū)域內(nèi)是一個(gè)以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓面，其面積為，由幾何概型的公式可得其概率為，故選A.【名師點(diǎn)睛】本題考查由約束條件畫可行域，求幾何概型，屬于簡(jiǎn)單題.16【山西省2019屆高三高考考前適應(yīng)性訓(xùn)練（三)數(shù)學(xué)試題】設(shè)，則ABCD【答案】A【解析】，,即，故.又，所以.故，所以選A.【名師點(diǎn)睛】本題考查利用作差法、作商法比較大小，考查對(duì)數(shù)的化簡(jiǎn)與計(jì)算，考查分析計(jì)算，化簡(jiǎn)求值的能力，屬中檔題.17【陜西省2019年高三第三次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題】若正數(shù)滿足，則的最小值為ABCD3【答案】A【解析】由題意，因?yàn)椋瑒t，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為，故選A.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了利用基本不等式求最小值問題，其中解答中合理構(gòu)造，利用基本不等式準(zhǔn)確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.18【浙江省三校2019年5月份第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)卷】已知log2a-2+log2b-11，則2a+b取到最小值時(shí)，ab=A3B4C6D9【答案】D【解析】由log2a-2+log2b-11，可得a-2>0，b-1>0且a-2b-12.所以2a+b=2a-2+b-1+522a-2b-1+522×2+5=9，當(dāng)2a-2=b-1且a-2b-1=2時(shí)等號(hào)成立，解得a=b=3.所以2a+b取到最小值時(shí)ab=3×3=9.故選D.【名師點(diǎn)睛】本題考查基本不等式取得最值的條件，多次用不等式求最值時(shí)要注意不等式取等的條件要同時(shí)滿足.19【北京市東城區(qū)2019屆高三第二學(xué)期綜合練習(xí)（一)數(shù)學(xué)試題】某校開展“我身邊的榜樣”評(píng)選活動(dòng)，現(xiàn)對(duì)3名候選人甲、乙、丙進(jìn)行不記名投票，投票要求詳見選票. 這3名候選人的得票數(shù)（不考慮是否有效）分別為總票數(shù)的 , ,，則本次投票的有效率（有效票數(shù)與總票數(shù)的比值）最高可能為ABC96%D98%【答案】C【解析】設(shè)投1票的有x,2票的y,3票的z，則,則,即,由題投票有效率越高z越小，則x=0時(shí)，z=4,故本次投票的有效率（有效票數(shù)與總票數(shù)的比值）最高可能為96%.故選：C.【名師點(diǎn)睛】本題考查推理的應(yīng)用，考查推理與轉(zhuǎn)化能力，明確有效率與無效票之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵,是中檔題.20【西南名校聯(lián)盟重慶市第八中學(xué)2019屆高三5月高考適應(yīng)性月考卷數(shù)學(xué)試題】甲、乙、丙、丁四個(gè)人參加某項(xiàng)競(jìng)賽，四人在成績(jī)公布前做出如下預(yù)測(cè)：甲說：獲獎(jiǎng)?wù)咴谝冶∪酥?；乙說：我不會(huì)獲獎(jiǎng)，丙獲獎(jiǎng)；丙說：甲和丁中的一人獲獎(jiǎng)；丁說：乙猜測(cè)的是對(duì)的.成績(jī)公布后表明，四人中有兩人的預(yù)測(cè)與結(jié)果相符，另外兩人的預(yù)測(cè)與結(jié)果不相符.已知倆人獲獎(jiǎng)，則獲獎(jiǎng)的是A甲和丁B甲和丙C乙和丙D乙和丁【答案】D【解析】乙、丁的預(yù)測(cè)要么同時(shí)與結(jié)果相符，要么同時(shí)與結(jié)果不符，若乙、丁的預(yù)測(cè)成立，則甲、丙的預(yù)測(cè)不成立，可知矛盾，故乙、丁的預(yù)測(cè)不成立，從而獲獎(jiǎng)的是乙和丁，故選D.【名師點(diǎn)睛】本題考查了邏輯推理能力，假設(shè)法是解決此類問題常用的方法.21【廣東省深圳市深圳外國(guó)語學(xué)校2019屆高三第二學(xué)期第一次熱身考試數(shù)學(xué)試題】已知實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值是_【答案】【解析】由約束條件可知可行域?yàn)閳D中陰影部分所示：其中，又，可知的幾何意義為可行域中的點(diǎn)到直線距離的倍可行域中點(diǎn)到直線距離最大的點(diǎn)為.，故填.【名師點(diǎn)睛】本題考查利用線性規(guī)劃求解最值的問題，關(guān)鍵是能夠明確目標(biāo)函數(shù)所表示的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合來進(jìn)行求解22【天津市和平區(qū)2018-2019學(xué)年度第二學(xué)期高三年級(jí)第三次質(zhì)量調(diào)查數(shù)學(xué)試題】已知，且，則最小值為_【答案】【解析】，結(jié)合可知原式，且，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.即的最小值為.【名師點(diǎn)睛】在應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)，要把握不等式成立的三個(gè)條件，就是“一正各項(xiàng)均為正；二定積或和為定值；三相等等號(hào)能否取得”，若忽略了某個(gè)條件，就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤23【天津市河北區(qū)2019屆高三二模數(shù)學(xué)試題】已知首項(xiàng)與公比相等的等比數(shù)列an中，若m，滿足aman2=a42，則2m+1n的最小值為_【答案】1【解析】設(shè)等比數(shù)列an公比為q，則首項(xiàng)a1=q，由aman2=a42得：a1qm-1a1qn-12=a1q32，則：qm+2n=q8，m+2n=8，2m+1n=182m+1nm+2n=182+4nm+mn+2=184+4nm+mn，4nm>0,mn>0.則4nm+mn24nmmn=4（當(dāng)且僅當(dāng)4nm=mn，即2n=m時(shí)取等號(hào)）2m+1nmin=18×4+4=1.故填1.【名師點(diǎn)睛】本題考查基本不等式求解和最小值的問題，關(guān)鍵是能夠根據(jù)等比數(shù)列各項(xiàng)之間的關(guān)系，通過等比數(shù)列基本量得到m,n滿足的等式，從而配湊出符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得結(jié)果.24【山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)等四校2019屆高三聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題】觀察下列式子，根據(jù)上述規(guī)律，第個(gè)不等式應(yīng)該為_【答案】【解析】根據(jù)題意，對(duì)于第一個(gè)不等式，則有，對(duì)于第二個(gè)不等式，則有，對(duì)于第三個(gè)不等式，則有，依此類推：第個(gè)不等式為：，故答案為：【名師點(diǎn)睛】本題考查歸納推理的應(yīng)用，分析不等式的變化規(guī)律25【陜西省延安市2019屆高考模擬試題數(shù)學(xué)】甲、乙、丙三位教師分別在延安、咸陽、寶雞的三所中學(xué)里教不同的學(xué)科A，B，C，已知：甲不在延安工作，乙不在咸陽工作；在延安工作的教師不教C學(xué)科；在咸陽工作的教師教A學(xué)科；乙不教B學(xué)科.可以判斷乙工作的地方和教的學(xué)科分別是_、_【答案】寶雞，C【解析】由得在咸陽工作的教師教A學(xué)科；又由得乙不在咸陽工作，所以乙不教A學(xué)科；由得乙不教B學(xué)科，結(jié)合乙不教A學(xué)科，可得乙必教C學(xué)科，所以由得乙不在延安工作，由得乙不在咸陽工作；所以乙在寶雞工作，綜上，乙工作地方和教的學(xué)科分別是寶雞和C學(xué)科故答案為：寶雞，C【名師點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單的合理推理，考查邏輯推理能力，是基礎(chǔ)題16