2019年高考數(shù)學(xué) 高考題和高考模擬題分項版匯編 專題15 不等式選講 理（含解析）

專題15不等式選講1【2019年高考全國卷理數(shù)】已知a，b，c為正數(shù)，且滿足abc=1證明：（1）；（2）【答案】（1）見解析；（2）見解析【解析】（1）因為，又，故有所以（2）因為為正數(shù)且，故有=24所以【名師點睛】本題考查利用基本不等式進(jìn)行不等式的證明問題，考查學(xué)生對于基本不等式的變形和應(yīng)用能力，需要注意的是在利用基本不等式時需注意取等條件能否成立2【2019年高考全國卷理數(shù)】已知（1）當(dāng)時，求不等式的解集；（2）若時，求的取值范圍【答案】（1）；（2）【解析】（1）當(dāng)a=1時，當(dāng)時，；當(dāng)時，所以，不等式的解集為（2）因為，所以當(dāng)，時，所以，的取值范圍是【名師點睛】本題主要考查含絕對值的不等式，熟記分類討論的方法求解即可，屬于常考題型3【2019年高考全國卷理數(shù)】設(shè)，且（1）求的最小值；（2）若成立，證明：或【答案】（1）；（2）見詳解【解析】（1）由于，故由已知得，當(dāng)且僅當(dāng)x=，y=，時等號成立所以的最小值為（2）由于，故由已知，當(dāng)且僅當(dāng)，時等號成立因此的最小值為由題設(shè)知，解得或【名師點睛】兩個問都是考查柯西不等式，屬于柯西不等式的常見題型4【2019年高考江蘇卷數(shù)學(xué)】設(shè)，解不等式【答案】【解析】當(dāng)x<0時，原不等式可化為，解得x<；當(dāng)0x時，原不等式可化為x+12x>2，即x<1，無解；當(dāng)x>時，原不等式可化為x+2x1>2，解得x>1綜上，原不等式的解集為【名師點睛】本題主要考查解不等式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解和推理論證能力5【重慶西南大學(xué)附屬中學(xué)校2019屆高三第十次月考數(shù)學(xué)】設(shè)函數(shù)（1）解不等式；（2）若對于任意，都存在，使得成立，試求實數(shù)的取值范圍【答案】（1）或；（2）【解析】（1）不等式等價于或或解得或（2）對任意，都存在，使得成立，即的值域包含的值域，由圖可得時，所以的值域為，當(dāng)且僅當(dāng)與異號時取等號，所以的值域為，由題，所以，解得【點睛】本題考查絕對值函數(shù)和用絕對值不等式求絕對值函數(shù)中參數(shù)的范圍，是常見考題6【山東省鄆城一中等學(xué)校2019屆高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)】已知函數(shù)，不等式的解集為（1）求實數(shù)a的值；（2）設(shè)，若存在，使成立，求實數(shù)t的取值范圍【答案】（1）1；（2）【解析】（1）由得44，即26，當(dāng)>0時，所以，解得1；當(dāng)<0時，所以，無解所以實數(shù)的值為1（2）由已知|x1|x2|，不等式g（x）tx2轉(zhuǎn)化成g（x）tx2，由題意知函數(shù)的圖象與直線ytx2相交，作出對應(yīng)圖象，由圖得，當(dāng)t<0時，tkAM；當(dāng)t>0時，tkBM，又因為kAM1，所以t1或，即t（，1，）【點睛】本題主要考查了絕對值不等式的解法及分類思想、方程思想，還考查了思想結(jié)合思想及轉(zhuǎn)化能力，考查了作圖能力及計算能力，屬于中檔題7【安徽省合肥市2019屆高三第一次教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)】設(shè)函數(shù)（1）若，求實數(shù)的取值范圍；（2）設(shè)，若的最小值為，求的值【答案】（1）；（2）【解析】（1），即或，實數(shù)的取值范圍是（2），易知函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，解得【點睛】本道題考查了含絕對值不等式的解法，考查了結(jié)合單調(diào)性計算函數(shù)最值，關(guān)鍵得到函數(shù)解析式，難度中等8【河南省中原名校（即豫南九校）2018屆高三第六次質(zhì)量考評理科數(shù)學(xué)】已知函數(shù)（1）若的最小值為1，求實數(shù)的值；（2）若關(guān)于的不等式的解集包含，求實數(shù)的取值范圍【答案】（1）或4（2）【解析】（1）當(dāng)時，因為的最小值為3，所以，解得或4（2）當(dāng)時，即，當(dāng)時，即，因為不等式的解集包含，所以且，即，故實數(shù)的取值范圍是【點睛】本題考查不等式的解法及不等式的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力9【河南省頂級名校2019屆高三質(zhì)量測評數(shù)學(xué)】已知函數(shù)（1）解不等式；（2）若，對，使成立，求實數(shù)的取值范圍【答案】（1）；（2）【解析】（1）不等式等價于或或，解得或或，所以不等式的解集為（2）由知，當(dāng)時，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，解得故實數(shù)的取值范圍是【點睛】本題考查方程有解問題，考查不等式的解法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力10【吉林省吉大附中2018屆高三第四次模擬考試數(shù)學(xué)（理）試卷】已知函數(shù)（1）當(dāng)時，解不等式；（2）若關(guān)于x的不等式的解集為，求證：【答案】（1）或（2）見解析【解析】（1）當(dāng)時，不等式為，當(dāng)時，原不等式可化為，解得，當(dāng)時，原等式可化為，解得，不滿足，舍去；當(dāng)時，原不等式可化為，解得；不等式的解集為或（2）即，解得，而解集是，所以，解得，從而于是只需證明，即證，因為所以，證畢【點睛】本題主要考查了絕對值不等式的解法和證明，主要注意先確定參數(shù)的值，進(jìn)而對定義域進(jìn)行分類討論，確定解所在的區(qū)間，屬于中檔題11【河北衡水金卷2019屆高三12月第三次聯(lián)合質(zhì)量測評數(shù)學(xué)】設(shè)函數(shù)（1）當(dāng)時，求不等式的解集；（2）當(dāng)時，求的取值范圍【答案】（1）；（2）【解析】（1）當(dāng)a=1時，可得的解集為；（2）當(dāng)時，因為，所以所以，所以所以a的取值范圍是3，1【點睛】含絕對值不等式的解法有兩個基本方法，一是運用零點分區(qū)間討論，二是利用絕對值的幾何意義求解法一是運用分類討論思想，法二是運用數(shù)形結(jié)合思想，將絕對值不等式與函數(shù)以及不等式恒成立交匯、滲透，解題時強(qiáng)化函數(shù)、數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化化歸思想方法的靈活應(yīng)用12【河北省衡水中學(xué)2019屆高三第一次摸底考試數(shù)學(xué)】已知函數(shù)（1）求不等式的解集；（2）若函數(shù)的定義域為，求實數(shù)的取值范圍【答案】（1）；（2）【解析】（1）由已知不等式，得，當(dāng)時，絕對值不等式可化為，解得，所以；當(dāng)時，絕對值不等式可化為，解得，所以；當(dāng)時，由得，此時無解綜上可得所求不等式的解集為（2）要使函數(shù)的定義域為，只需的最小值大于0即可又，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號所以只需，即所以實數(shù)的取值范圍是【點睛】絕對值不等式的常見解法：利用絕對值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想；利用“零點分段法”求解，體現(xiàn)了分類討論的思想；通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想13【甘肅省蘭州市第一中學(xué)2019屆高三6月最后高考沖刺模擬數(shù)學(xué)】已知函數(shù)（1）解不等式；（2）記函數(shù)的最小值為，若均為正實數(shù)，且，求的最小值【答案】（1）；（2）【解析】（1）由題意，所以等價于或或解得或，所以不等式的解集為；（2）由（1）可知，當(dāng)時，取得最小值，所以，即，由柯西不等式得，整理得，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時等號成立所以的最小值為【點睛】本題主要考查含絕對值不等式的解法，以及柯西不等式的應(yīng)用，熟記不等式解法以及柯西不等式即可，屬于?？碱}型14【四川省成都市第七中學(xué)2019屆高三二診模擬考試數(shù)學(xué)】已知設(shè)函數(shù)（1）若，求不等式的解集；（2）若函數(shù)的最小值為，證明：）【答案】（1）；（2）詳見解析【解析】（1），不等式，即，當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，解集為；（2），【點睛】考查了含絕對值不等式的解法，考查了基本不等式，考查了不等式的證明，難度中等偏難15【四川省成都市第七中學(xué)2019屆高三一診模擬考試數(shù)學(xué)】已知函數(shù)，且（1）若，求的最小值；（2）若，求證：【答案】（1）；（2）見解析【解析】（1）由柯西不等式得，（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），所以，即的最小值為；（2）因為，所以，故結(jié)論成立【點睛】本題考查了利用柯西不等式求最值，考查了利用絕對值三角不等式證明的問題，屬于中等題16【黑龍江省大慶市第一中學(xué)2019屆高三下學(xué)期第四次模擬（最后一卷）數(shù)學(xué)】已知函數(shù)，其中實數(shù)（1）當(dāng)時，求不等式的解集；（2）若不等式的解集為，求的值【答案】（1）不等式的解集為；（2）【解析】（1）當(dāng)時，可化為，由此可得或，故不等式的解集為；（2）法一：（從去絕對值的角度考慮）由，得，此不等式化等價于或，解得或，因為，所以不等式組的解集為，由題設(shè)可得，故法二：（從等價轉(zhuǎn)化角度考慮）由，得，此不等式化等價于，即為不等式組，解得，因為，所以不等式組的解集為，由題設(shè)可得，故法三：（從不等式與方程的關(guān)系角度突破）因為是不等式的解集，所以是方程的根，把代入得，因為，所以【點睛】本題考查解絕對值不等式，不等式問題中求參數(shù)范圍的問題，難度較小17【廣東省揭陽市2019屆高三高考二模數(shù)學(xué)】已知正實數(shù)x，y滿足x+y=1（1）解關(guān)于x的不等式；（2）證明：【答案】（1）（2）見解析【解析】（1），且，解得，所以不等式的解集為（2）解法1：，且，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立解法2：，且，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立【點睛】主要考查了絕對值不等式的求解、不等式證明、以及基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題對于絕對值不等式的求解，主要運用零點分段法，也可以運用圖像法而不等式的證明，關(guān)鍵是靈活運用不等式的性質(zhì)以及基本不等式14