2019年高考數(shù)學 高考題和高考模擬題分項版匯編 專題05 平面解析幾何 理（含解析）

專題05 平面解析幾何1【2019年高考全國卷理數(shù)】已知橢圓C的焦點為，過F2的直線與C交于A，B兩點若，則C的方程為ABCD【答案】B【解析】法一：如圖，由已知可設，則，由橢圓的定義有在中，由余弦定理推論得在中，由余弦定理得，解得所求橢圓方程為，故選B法二：由已知可設，則，由橢圓的定義有在和中，由余弦定理得，又互補，兩式消去，得，解得所求橢圓方程為，故選B【名師點睛】本題考查橢圓標準方程及其簡單性質，考查數(shù)形結合思想、轉化與化歸的能力，很好地落實了直觀想象、邏輯推理等數(shù)學素養(yǎng)2【2019年高考全國卷理數(shù)】若拋物線y2=2px(p>0)的焦點是橢圓的一個焦點，則p=A2 B3 C4 D8【答案】D【解析】因為拋物線的焦點是橢圓的一個焦點，所以，解得，故選D【名師點睛】本題主要考查拋物線與橢圓的幾何性質，滲透邏輯推理、運算能力素養(yǎng)解答時，利用拋物線與橢圓有共同的焦點即可列出關于的方程，從而解出，或者利用檢驗排除的方法，如時，拋物線焦點為（1，0），橢圓焦點為（±2，0），排除A，同樣可排除B，C，從而得到選D3【2019年高考全國卷理數(shù)】設F為雙曲線C：的右焦點，為坐標原點，以為直徑的圓與圓交于P，Q兩點若，則C的離心率為ABC2D【答案】A【解析】設與軸交于點，由對稱性可知軸，又，為以為直徑的圓的半徑，又點在圓上，即，故選A【名師點睛】本題為圓錐曲線離心率的求解，難度適中，審題時注意半徑還是直徑，優(yōu)先考慮幾何法，避免代數(shù)法從頭至尾運算繁瑣，準確率大大降低，雙曲線離心率問題是圓錐曲線中的重點問題，需強化練習，才能在解決此類問題時事半功倍，信手拈來解答本題時，準確畫圖，由圖形對稱性得出P點坐標，代入圓的方程得到c與a的關系，可求雙曲線的離心率4【2019年高考全國卷理數(shù)】雙曲線C：=1的右焦點為F，點P在C的一條漸近線上，O為坐標原點，若，則PFO的面積為ABCD【答案】A【解析】由，又P在C的一條漸近線上，不妨設為在上，則，故選A【名師點睛】本題考查以雙曲線為載體的三角形面積的求法，滲透了直觀想象、邏輯推理和數(shù)學運算素養(yǎng)采取公式法，利用數(shù)形結合、轉化與化歸和方程思想解題忽視圓錐曲線方程和兩點間的距離公式的聯(lián)系導致求解不暢，采取列方程組的方式解出三角形的高，便可求三角形面積5【2019年高考北京卷理數(shù)】已知橢圓（ab0）的離心率為，則Aa2=2b2B3a2=4b2Ca=2bD3a=4b【答案】B【解析】橢圓的離心率，化簡得，故選B.【名師點睛】本題考查橢圓的標準方程與幾何性質，屬于容易題，注重基礎知識基本運算能力的考查.由題意利用離心率的定義和的關系可得滿足題意的等式.6【2019年高考北京卷理數(shù)】數(shù)學中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，曲線C：就是其中之一（如圖）給出下列三個結論：曲線C恰好經過6個整點（即橫、縱坐標均為整數(shù)的點）；曲線C上任意一點到原點的距離都不超過；曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積小于3其中，所有正確結論的序號是ABCD【答案】C【解析】由得，所以可取的整數(shù)有0，1，1，從而曲線恰好經過(0，1)，(0，1)，(1，0)，(1，1)， (1，0)，(1，1)，共6個整點，結論正確.由得，解得，所以曲線上任意一點到原點的距離都不超過. 結論正確.如圖所示，易知，四邊形的面積，很明顯“心形”區(qū)域的面積大于，即“心形”區(qū)域的面積大于3，說法錯誤.故選C.【名師點睛】本題考查曲線與方程曲線的幾何性質，基本不等式及其應用，屬于難題，注重基礎知識基本運算能力及分析問題、解決問題的能力考查，滲透“美育思想”.將所給方程進行等價變形確定x的范圍可得整點坐標和個數(shù)，結合均值不等式可得曲線上的點到坐標原點距離的最值和范圍，利用圖形的對稱性和整點的坐標可確定圖形面積的范圍.7【2019年高考天津卷理數(shù)】已知拋物線的焦點為，準線為，若與雙曲線的兩條漸近線分別交于點和點，且（為原點），則雙曲線的離心率為ABCD【答案】D【解析】拋物線的準線的方程為，雙曲線的漸近線方程為，則有，.故選D.【名師點睛】本題考查拋物線和雙曲線的性質以及離心率的求解，解題關鍵是求出AB的長度.解答時，只需把用表示出來，即可根據(jù)雙曲線離心率的定義求得離心率.8【2019年高考浙江卷】漸近線方程為x±y=0的雙曲線的離心率是AB1CD2【答案】C【解析】因為雙曲線的漸近線方程為，所以，則，所以雙曲線的離心率.故選C.【名師點睛】本題根據(jù)雙曲線的漸近線方程可求得，進一步可得離心率，屬于容易題，注重了雙曲線基礎知識、基本計算能力的考查.理解概念，準確計算，是解答此類問題的基本要求.部分考生易出現(xiàn)理解性錯誤.9【2019年高考浙江卷】已知圓的圓心坐標是，半徑長是.若直線與圓C相切于點，則=_，=_【答案】，【解析】由題意可知，把代入直線AC的方程得，此時.【名師點睛】本題主要考查圓的方程、直線與圓的位置關系.首先通過確定直線的斜率，進一步得到其方程，將代入后求得，計算得解.解答直線與圓的位置關系問題，往往要借助于數(shù)與形的結合，特別是要注意應用圓的幾何性質.10【2019年高考浙江卷】已知橢圓的左焦點為，點在橢圓上且在軸的上方，若線段的中點在以原點為圓心，為半徑的圓上，則直線的斜率是_【答案】【解析】方法1：如圖，設F1為橢圓右焦點.由題意可知，由中位線定理可得，設，可得，與方程聯(lián)立，可解得（舍），又點在橢圓上且在軸的上方，求得，所以.方法2：（焦半徑公式應用）由題意可知，由中位線定理可得，即，從而可求得，所以.【名師點睛】本題主要考查橢圓的標準方程、橢圓的幾何性質、圓的方程與性質的應用，利用數(shù)形結合思想，是解答解析幾何問題的重要途徑.結合圖形可以發(fā)現(xiàn)，利用三角形中位線定理，將線段長度用圓的方程表示，與橢圓方程聯(lián)立可進一步求解.也可利用焦半徑及三角形中位線定理解決，則更為簡潔.11【2019年高考全國卷理數(shù)】設為橢圓C:的兩個焦點，M為C上一點且在第一象限.若為等腰三角形，則M的坐標為_.【答案】【解析】由已知可得，設點的坐標為，則，又，解得，解得（舍去），的坐標為【名師點睛】本題考查橢圓標準方程及其簡單性質，考查數(shù)形結合思想、轉化與化歸的能力，很好地落實了直觀想象、邏輯推理等數(shù)學素養(yǎng)解答本題時，根據(jù)橢圓的定義分別求出，設出的坐標，結合三角形面積可求出的坐標.12【2019年高考全國卷理數(shù)】已知雙曲線C：的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點若，則C的離心率為_【答案】2【解析】如圖，由得又得OA是三角形的中位線，即由，得，又OA與OB都是漸近線，得又，又漸近線OB的斜率為，該雙曲線的離心率為【名師點睛】本題結合平面向量考查雙曲線的漸近線和離心率，滲透了邏輯推理、直觀想象和數(shù)學運算素養(yǎng)，采取幾何法，利用數(shù)形結合思想解題解答本題時，通過向量關系得到和，從而可以得到，再結合雙曲線的漸近線可得進而得到從而由可求離心率.13【2019年高考江蘇卷】在平面直角坐標系中，若雙曲線經過點（3，4)，則該雙曲線的漸近線方程是 .【答案】【解析】由已知得，解得或，因為，所以.因為，所以雙曲線的漸近線方程為.【名師點睛】雙曲線的標準方程與幾何性質，往往以小題的形式考查，其難度一般較小，是高考必得分題.雙曲線漸近線與雙曲線標準方程中的密切相關，事實上，標準方程中化1為0，即得漸近線方程.14【2019年高考江蘇卷】在平面直角坐標系中，P是曲線上的一個動點，則點P到直線x+y=0的距離的最小值是 .【答案】4【解析】當直線x+y=0平移到與曲線相切位置時，切點Q即為點P，此時到直線x+y=0的距離最小.由，得，即切點，則切點Q到直線x+y=0的距離為，故答案為【名師點睛】本題考查曲線上任意一點到已知直線的最小距離，滲透了直觀想象和數(shù)學運算素養(yǎng).采取導數(shù)法和公式法，利用數(shù)形結合和轉化與化歸思想解題.15【2019年高考全國卷理數(shù)】已知拋物線C：y2=3x的焦點為F，斜率為的直線l與C的交點為A，B，與x軸的交點為P（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；（2）若，求|AB|【答案】（1）；（2）.【解析】設直線（1）由題設得，故，由題設可得由，可得，則從而，得所以的方程為（2）由可得由，可得所以從而，故代入的方程得故【名師點睛】本題考查拋物線的幾何性質、直線與拋物線的綜合應用問題，涉及平面向量、弦長的求解方法，解題關鍵是能夠通過直線與拋物線方程的聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關系構造等量關系.16【2019年高考全國卷理數(shù)】已知點A(2，0)，B(2，0)，動點M(x，y)滿足直線AM與BM的斜率之積為.記M的軌跡為曲線C.（1）求C的方程，并說明C是什么曲線；（2）過坐標原點的直線交C于P，Q兩點，點P在第一象限，PEx軸，垂足為E，連結QE并延長交C于點G.（i）證明：是直角三角形；（ii）求面積的最大值.【答案】（1）見解析；（2）.【解析】（1）由題設得，化簡得，所以C為中心在坐標原點，焦點在x軸上的橢圓，不含左右頂點（2）（i）設直線PQ的斜率為k，則其方程為由得記，則于是直線的斜率為，方程為由得設，則和是方程的解，故，由此得從而直線的斜率為所以，即是直角三角形（ii）由（i）得，所以PQG的面積設t=k+，則由k>0得t2，當且僅當k=1時取等號因為在2，+）單調遞減，所以當t=2，即k=1時，S取得最大值，最大值為因此，PQG面積的最大值為【名師點睛】本題考查了求橢圓的標準方程，以及利用直線與橢圓的位置關系，判斷三角形形狀以及三角形面積最大值問題，考查了數(shù)學運算能力，考查了求函數(shù)最大值問題.17【2019年高考全國卷理數(shù)】已知曲線C：y=，D為直線y=上的動點，過D作C的兩條切線，切點分別為A，B.（1）證明：直線AB過定點：（2）若以E(0，)為圓心的圓與直線AB相切，且切點為線段AB的中點，求四邊形ADBE的面積.【答案】（1）見詳解；（2）3或.【解析】（1）設，則.由于，所以切線DA的斜率為，故 .整理得設，同理可得.故直線AB的方程為.所以直線AB過定點.（2）由（1）得直線AB的方程為.由，可得.于是，.設分別為點D，E到直線AB的距離，則.因此，四邊形ADBE的面積.設M為線段AB的中點，則.由于，而，與向量平行，所以.解得t=0或.當=0時，S=3；當時，.因此，四邊形ADBE的面積為3或.【名師點睛】此題第一問是圓錐曲線中的定點問題，第二問是求面積類型，屬于常規(guī)題型，按部就班地求解就可以，思路較為清晰，但計算量不小.18【2019年高考北京卷理數(shù)】已知拋物線C：x2=2py經過點（2，1）（1）求拋物線C的方程及其準線方程；（2）設O為原點，過拋物線C的焦點作斜率不為0的直線l交拋物線C于兩點M，N，直線y=1分別交直線OM，ON于點A和點B求證：以AB為直徑的圓經過y軸上的兩個定點【答案】（1）拋物線的方程為，準線方程為；（2）見解析.【解析】（1）由拋物線經過點，得.所以拋物線的方程為，其準線方程為.（2）拋物線的焦點為.設直線的方程為.由得.設，則.直線的方程為.令，得點A的橫坐標.同理得點B的橫坐標.設點，則，.令，即，則或.綜上，以AB為直徑的圓經過y軸上的定點和.【名師點睛】本題主要考查拋物線方程的求解與準線方程的確定，直線與拋物線的位置關系，圓的性質及其應用等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.19【2019年高考天津卷理數(shù)】設橢圓的左焦點為，上頂點為已知橢圓的短軸長為4，離心率為（1）求橢圓的方程；（2）設點在橢圓上，且異于橢圓的上、下頂點，點為直線與軸的交點，點在軸的負半軸上若（為原點），且，求直線的斜率【答案】（1）；（2）或【解析】（1）設橢圓的半焦距為，依題意，又，可得，所以，橢圓的方程為（2）由題意，設設直線的斜率為，又，則直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立整理得，可得，代入得，進而直線的斜率在中，令，得由題意得，所以直線的斜率為由，得，化簡得，從而所以，直線的斜率為或【名師點睛】本小題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質、直線方程等基礎知識考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質考查運算求解能力，以及用方程思想解決問題的能力20【2019年高考江蘇卷】如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓C:的焦點為F1（1、0），F(xiàn)2（1，0）過F2作x軸的垂線l，在x軸的上方，l與圓F2:交于點A，與橢圓C交于點D.連結AF1并延長交圓F2于點B，連結BF2交橢圓C于點E，連結DF1已知DF1=（1）求橢圓C的標準方程；（2）求點E的坐標【答案】（1）；（2）.【解析】（1）設橢圓C的焦距為2c.因為F1(1，0)，F(xiàn)2(1，0)，所以F1F2=2，c=1.又因為DF1=，AF2x軸，所以DF2=，因此2a=DF1+DF2=4，從而a=2.由b2=a2c2，得b2=3.因此，橢圓C的標準方程為.（2）解法一：由（1）知，橢圓C：，a=2，因為AF2x軸，所以點A的橫坐標為1.將x=1代入圓F2的方程(x1) 2+y2=16，解得y=±4.因為點A在x軸上方，所以A(1，4).又F1(1，0)，所以直線AF1：y=2x+2.由，得，解得或.將代入，得，因此.又F2(1，0)，所以直線BF2：.由，得，解得或.又因為E是線段BF2與橢圓的交點，所以.將代入，得.因此.解法二：由（1）知，橢圓C：.如圖，連結EF1.因為BF2=2a，EF1+EF2=2a，所以EF1=EB，從而BF1E=B.因為F2A=F2B，所以A=B，所以A=BF1E，從而EF1F2A.因為AF2x軸，所以EF1x軸.因為F1(1，0)，由，得.又因為E是線段BF2與橢圓的交點，所以.因此.【名師點睛】本小題主要考查直線方程、圓的方程、橢圓方程、橢圓的幾何性質、直線與圓及橢圓的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、分析問題能力和運算求解能力.21【2019年高考浙江卷】如圖，已知點為拋物線的焦點，過點F的直線交拋物線于A、B兩點，點C在拋物線上，使得的重心G在x軸上，直線AC交x軸于點Q，且Q在點F的右側記的面積分別為（1）求p的值及拋物線的準線方程；（2）求的最小值及此時點G的坐標【答案】（1）p=2，準線方程為x=1；（2）最小值為，此時G（2，0）【解析】（1）由題意得，即p=2.所以，拋物線的準線方程為x=1.（2）設，重心.令，則.由于直線AB過F，故直線AB方程為，代入，得，故，即，所以.又由于及重心G在x軸上，故，得.所以，直線AC方程為，得.由于Q在焦點F的右側，故.從而.令，則m>0，.當時，取得最小值，此時G（2，0）【名師點睛】本題主要考查拋物線的幾何性質，直線與拋物線的位置關系等基礎知識，同時考查運算求解能力和綜合應用能力.22【遼寧省丹東市2019屆高三總復習質量測試理科數(shù)學（二）】經過點作圓的切線，則的方程為AB或CD或【答案】C【解析】，所以圓心坐標為，半徑為，當過點的切線存在斜率，切線方程為，圓心到它的距離為，所以有，即切線方程為，當過點的切線不存在斜率時，即，顯然圓心到它的距離為，所以不是圓的切線.因此切線方程為，故本題選C.【名師點睛】本題考查了求圓的切線.本題實際上是過圓上一點求切線，所以只有一條.解答本題時，設直線存在斜率，點斜式設出方程，利用圓心到直線的距離等于半徑求出斜率，再討論直線不存在斜率時，是否能和圓相切，如果能，寫出直線方程，綜合求出切線方程.23【廣東省深圳市深圳外國語學校2019屆高三第二學期第一次熱身考試數(shù)學試題】已知橢圓的離心率為，橢圓上一點到兩焦點距離之和為12，則橢圓短軸長為A8B6C5D4【答案】A【解析】橢圓的離心率：，橢圓上一點到兩焦點距離之和為，即，可得：，則橢圓短軸長為.本題正確選項為A.【名師點睛】本題考查橢圓的定義、簡單幾何性質的應用，屬于基礎題解答本題時，利用橢圓的定義以及離心率，求出，然后求解橢圓短軸長即可24【山東省德州市2019屆高三第二次練習數(shù)學試題】已知橢圓（ab0）與雙曲線（a0，b0）的焦點相同，則雙曲線漸近線方程為ABCD【答案】A【解析】依題意橢圓與雙曲線即的焦點相同，可得：，即，可得，雙曲線的漸近線方程為：，故選A【名師點睛】本題考查橢圓和雙曲線的方程和性質，考查漸近線方程的求法，考查方程思想和運算能力，屬于基礎題解答本題時，由題意可得，即，代入雙曲線的漸近線方程可得答案.25【江西省新八校2019屆高三第二次聯(lián)考數(shù)學試題】如圖，過拋物線的焦點的直線交拋物線于點，交其準線于點，若，且，則為ABCD【答案】B【解析】設準線與軸交于點，作垂直于準線，垂足為.由，得：，由拋物線定義可知：，設直線的傾斜角為，由拋物線焦半徑公式可得：，解得：，解得：，本題正確選項為B.【名師點睛】本題考查拋物線的定義和幾何性質的應用，關鍵是能夠利用焦半徑公式中的傾斜角構造出方程，從而使問題得以解決.26【福建省廈門市廈門外國語學校2019屆高三最后一模數(shù)學試題】雙曲線的焦點是，若雙曲線上存在點，使是有一個內角為的等腰三角形，則的離心率是_.【答案】【解析】根據(jù)雙曲線的對稱性可知，等腰三角形的兩個腰應為與或與，不妨設等腰三角形的腰為與，且點在第一象限，故，等腰有一內角為，即，由余弦定理可得，由雙曲線的定義可得，即，解得：.【名師點睛】本題考查了雙曲線的定義、性質等知識，解題的關鍵是要能準確判斷出等腰三角形的腰所在的位置.解答本題時，根據(jù)雙曲線的對稱性可知，等腰三角形的腰應該為與或與，不妨設等腰三角形的腰為與，故可得到的值，再根據(jù)等腰三角形的內角為，求出的值，利用雙曲線的定義可得雙曲線的離心率.27【重慶西南大學附屬中學校2019屆高三第十次月考數(shù)學試題】已知橢圓的左頂點為，離心率為（1）求橢圓C的方程；（2）過點的直線l交橢圓C于A，B兩點，當取得最大值時，求的面積【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由題意可得：，得，則.所以橢圓.（2）當直線與軸重合時，不妨取，此時；當直線與軸不重合時，設直線的方程為：，聯(lián)立得，顯然，.所以.當時，取最大值.此時直線方程為，不妨取，所以.又，所以的面積.【名師點睛】本題考查橢圓的基本性質，運用了設而不求的思想，將向量和圓錐曲線結合起來，是典型考題.（1）由左頂點M坐標可得a=2，再由可得c，進而求得橢圓方程.（2）設l的直線方程為，和橢圓方程聯(lián)立，可得，由于，可用t表示出兩個交點的縱坐標和，進而得到關于t的一元二次方程，得到取最大值時t的值，求出直線方程，而后計算出的面積.28【黑龍江省大慶市第一中學2019屆高三下學期第四次模擬（最后一卷)考試數(shù)學試題】已知拋物線的焦點為，直線與軸的交點為，與拋物線的交點為，且.（1）求的值；（2）已知點為上一點，是上異于點的兩點，且滿足直線和直線的斜率之和為，證明直線恒過定點，并求出定點的坐標【答案】（1）4；（2）證明過程見解析，直線恒過定點.【解析】（1）設，由拋物線定義知，又，所以，解得，將點代入拋物線方程，解得.（2）由（1）知，的方程為，所以點坐標為，設直線的方程為，點，由得，.所以，所以，解得，所以直線的方程為，恒過定點【名師點睛】本題考查拋物線的定義，直線與拋物線相交，直線過定點問題，屬于中檔題.（1）設點坐標，根據(jù)拋物線的定義得到點橫坐標，然后代入拋物線方程，得到的值；（2），直線和曲線聯(lián)立，得到，然后表示出，化簡整理，得到和的關系，從而得到直線恒過的定點.26