高考理科數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第五章 第6講 不等式的證明

,歡迎進(jìn)入數(shù)學(xué)課堂,第6講不等式的證明,常用的證明不等式的方法,(1)比較法：比較法證明不等式的一般步驟：作差變形判斷結(jié)論為了判斷作差后的符號(hào)，有時(shí)要把這個(gè)差變形為一個(gè)常數(shù)，或者變形為一個(gè)常數(shù)與一個(gè)或幾個(gè)平方和的形式，也可變形為幾個(gè)因式的積的形式，以便判斷其正負(fù)(2)綜合法：利用某些已經(jīng)證明過(guò)的不等式(例如算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的定理)和不等式的性質(zhì)，推導(dǎo)出所要證明的不等式，這個(gè)證明方法叫綜合法利用某些已經(jīng)證明過(guò)的不等式和不等式的性質(zhì)時(shí)要注意它們各自成立的條件,綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系是：AB1B2BnB，及從已知條件A出發(fā)，逐步推演不等式成立的必要條件，推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論B.,(3)分析法：從求證的不等式出發(fā)，分析使這個(gè)不等式成立的充分條件，把證明不等式轉(zhuǎn)化為判定這些充分條件是否具備的問(wèn)題，即“執(zhí)果索因”綜合過(guò)程有時(shí)正好是分析過(guò)程的逆推，所以常用分析法探索證明的途徑，然后用綜合法的形式寫(xiě)出證明過(guò)程,(4)反證法：可以從正難則反的角度考慮，即要證明不等式A>B，先假設(shè)AB，由題設(shè)及其它性質(zhì)，推出矛盾，從而肯定A>B.凡涉及到的證明不等式為否定命題、惟一性命題或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等詞語(yǔ)時(shí)，可以考慮用反證法,(5)放縮法：要證明不等式A0，且a1，若Ploga(a31)，Qloga(a21)，,則P與Q的大小關(guān)系為(,),A,AP>Q,BPQ,CPQ,Ab>c時(shí)，前兩項(xiàng)為正，最后一項(xiàng)為負(fù)，如何使得三項(xiàng)之和為正，成為問(wèn)題的關(guān)鍵，需采用“拆”的技巧，把第三項(xiàng)并入前兩項(xiàng)中去，于是想到ca(ca)ca(cb)(ba)ca(cb)ca(ba)，問(wèn)題便迎刃而解證明：左一右ab(ab)bc(bc)ca(ca)ab(ab)bc(bc)ca(cb)(ba)a(ab)(bc)c(bc)(ba)(ab)(bc)(ac),例1：已知：a>b>c，求證：a2bb2cc2a>ab2bc2ca2.,a>b>c，(ab)(bc)(ca)>0.因此：a2bb2cc2a>ab2bc2ca2.,比較法證不等式步驟可歸納為：,第一步：作差并化簡(jiǎn)，其化簡(jiǎn)目標(biāo)應(yīng)是n個(gè)因式之積或完,全平方式或常數(shù)的形式,第二步：判斷差值與零的大小關(guān)系，必要時(shí)須進(jìn)行討論第三步：得出結(jié)論,【互動(dòng)探究】,證明：ab1，,ax2by2(axby)2ax2by2a2x22abxyb2y2a(1a)x2b(1b)y22abxyabx2bay22abxyab(xy)2.,又a、bR+，ab(xy)20.ax2by2(axby)2.,考點(diǎn)2,綜合法,【互動(dòng)探究】,1b1a,考點(diǎn)3,反證法,例3：已知a>0，b>0，且ab>2.求證：,1ba,，,1ab,中至少,解題思路：由于題目結(jié)論是：至少有一個(gè)小于2，情況較復(fù)雜，討論起來(lái)比較繁，宜采用反證法,證明：假設(shè),1ba,，,1ab,都不小于2，則,1ba,2，,1ab,2.,a>0，b>0，1b2a,1a2b，兩式相加可得1b1a2(ab)，即ab2，這與已知ab>2矛盾故假設(shè)不成立,因此：,，,ab,，中至少有一個(gè)小于2.,有一個(gè)小于2.,從正難則反的角度考慮，即要證明不等式A>B，先假設(shè)AB，由題設(shè)及其它性質(zhì)，推出矛盾，從而肯定A>B，凡涉及到的證明不等式為否定命題、惟一性命題或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等詞語(yǔ)時(shí)，可以考慮用反證法,【互動(dòng)探究】3若0<x、y、zB，可適當(dāng)選擇一個(gè)C，使得CB，,反之亦然主要應(yīng)用于不等式兩邊差異較大時(shí)的證明一般的放縮技巧有：,分式放縮：固定分子，放縮分母；固定分母，放縮分子,多見(jiàn)于分式類(lèi)不等式的證明；,添舍放縮：視情況丟掉或增多一些項(xiàng)進(jìn)行放縮，多見(jiàn)于,整式或根式配方后需要放縮的不等式的證明,【互動(dòng)探究】,用分析法論證“若A則B”這個(gè)命題的模式是：欲證命題B為真，只需證明命題B1為真，從而又只需證明命題B2為真，從而又只需證明命題A為真，今已知A真，故B必真簡(jiǎn)寫(xiě)為：BB1B2BnA.,論中正確的是(,),D,A(a1)(c1)>0Cac1,Bac>1Dacf(c)，不成立，故01，由f(a)>f(c)得：lga>lgc，即lgac<0，0<acf(b)，則下列結(jié),2數(shù)學(xué)歸納法：當(dāng)不等式是一個(gè)與自然數(shù)n有關(guān)的命題，可以利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明3構(gòu)造法：在不等式的證明中，可根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，恰當(dāng)?shù)臉?gòu)造一個(gè)與不等式相關(guān)的數(shù)學(xué)模型，如構(gòu)造函數(shù)、方程、數(shù)列、向量等，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，從而使不等式得到證明,同學(xué)們,來(lái)學(xué)校和回家的路上要注意安全,同學(xué)們,來(lái)學(xué)校和回家的路上要注意安全,