（浙江專版）2020屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 單元檢測八 立體幾何與空間向量單元檢測（含解析）

單元檢測八立體幾何與空間向量(時間：120分鐘滿分：150分)第卷(選擇題共40分)一、選擇題(本大題共10小題，每小題4分，共40分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1下列命題中，錯誤的是( )A平行于同一平面的兩個平面平行B平行于同一直線的兩個平面平行C一條直線與兩個平行平面中的一個相交，那么這條直線必和另一個平面相交D一條直線與兩個平行平面所成的角相等答案B解析選項A正確，是面面平行的傳遞性選項B錯誤，比如正方體的兩相鄰側(cè)面與一側(cè)棱都平行，但兩側(cè)面所在平面相交選項C正確，由反證法，若直線與另一平面不相交，則直線在平面內(nèi)或直線與平面平行，與直線與第一個平面相交矛盾選項D正確，由線面角定義可知正確2長方體的一個頂點上三條棱長分別是3,4,5，且它的8個頂點都在同一球面上，則這個球的表面積是()A25B50C125D都不對答案B解析長方體的8個頂點都在同一球面上，則這個球是長方體的外接球，所以球的直徑等于長方體的體對角線長，即R，所以球的表面積為4R24·250，故選B.3.如圖，在多面體ABCDEF中，已知底面ABCD是邊長為3的正方形，EFAB，EF，且EF與底面ABCD的距離為2，則該多面體的體積為()A.B5C6D.答案D解析分別取AB，CD的中點G，H，連接EG，GH，EH，把該多面體分割成一個四棱錐與一個三棱柱，可求得四棱錐的體積為3，三棱柱的體積為，進(jìn)而整個多面體的體積為.4.如圖，長方體ABCDA1B1C1D1中，DAD145°，CDC130°，那么異面直線AD1與DC1所成角的余弦值是( )A.B.C.D.答案C解析由長方體DAD145°，CDC130°，設(shè)ADDD11，CD.連接BC1，BD.由AD1BC1，所以異面直線AD1與DC1所成角，即BC1D.在BDC1中，BC1，BD2，C1D2，由余弦定理可得cosBC1D，所以異面直線AD1與DC1所成角的余弦值是.5(2018·嘉興測試)已知兩個不同的平面，和三條不同的直線m，a，b，若m，a且am，b，設(shè)和所成的一個二面角的大小為1，直線a與平面所成的角的大小為2，直線a，b所成的角的大小為3，則()A123B312C13，23D12，32答案D解析由題意可知12或12，因為線面角的范圍為，二面角的范圍為0，所以12；當(dāng)bm時，23，當(dāng)b不與m垂直時，2<3，所以23.故選D.6若圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為2，圓心角為的扇形，則由它的兩條母線所確定的最大截面與底面所成二面角的余弦值為()A.B.C.D.答案A解析設(shè)圓錐底面圓的半徑為r，由2r×2，得r，設(shè)軸截面頂角大小為2，則sin>，所以2>，設(shè)兩條母線所確定的截面最大時，兩條母線的夾角為，則2，最大截面所對應(yīng)的三角形的面積S×2×2sin，則，所以兩條母線所確定的最大截面為等腰直角三角形，其斜邊上的高為，底面圓的圓心到最大截面斜邊的距離為，則兩條母線所確定的最大截面與底面所成二面角的余弦值為.7已知三棱錐SABC的每個頂點都在球O的表面上，SA底面ABC，ABAC4，BC2，且二面角SBCA的正切值為4，則球O的表面積為()A240B248C252D272答案D解析設(shè)BC的中點為D，連接AD，SD，可得AD1，則SDA是二面角SBCA的平面角，由于二面角SBCA的正切值為4，SA4，由余弦定理知，cosCAB，sinCAB，由正弦定理知，ABC的外接圓直徑2r16，設(shè)三棱錐SABC的外接球半徑為R，則2r2R2，得R268，球O的表面積為4R2272，故選D.8.(2018·杭州質(zhì)檢)在三棱錐PABC中，PA平面ABC，BAC90°，D，E分別是BC，AB的中點，ABAC，且AC>AD.設(shè)PC與DE所成角為，PD與平面ABC所成角為，二面角PBCA為，則()A<<B<<C<<D<<答案A解析由題圖可知PCA<，PDA<，因為PA平面ABC，所以tan，tan.又AC>AD，故tan>tan，則>.過點A作AQBC，垂足為Q，連接PQ，則PQA，同理可證得>，所以<<，故選A.9.如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為矩形，側(cè)棱AP平面ABCD，AB1，AP，點M在線段BC上，且AMMD，則當(dāng)PMD的面積最小時，線段BC的長度為()A.B2C.D.答案D解析方法一設(shè)BMx，MCy，則BCADxy，PA平面ABCD，MD平面ABCD，PAMD，又AMMD，PAAMA，PA，AM平面PAM，MD平面PAM，又PM平面PAM，MDPM，易知AM，MD，在RtAMD中，AM2MD2AD2，即x21y21(xy)2，化簡得xy1.在RtPMD中，PM，MD，SPMDPM·MD··，當(dāng)且僅當(dāng)x2，即x，y時取等號，此時BCxy.方法二由題意知，AB，AD，AP兩兩垂直以A為坐標(biāo)原點，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)BCa，M(1，x,0)，x>0，則A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1，a,0)，D(0，a,0)，P(0,0，)由AMMD，得·0，即(1，x,0)·(1，ax,0)axx210，解得ax，而·axx210，PMMD，SPMD|·|··，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，此時BC.10(2018·溫州市高考適應(yīng)性考試)已知正四面體PABC，Q為ABC內(nèi)的一點，記PQ與平面PAB，PAC，PBC所成的角分別為，則下列式子恒成立的是()Asin2sin2sin22Bcos2cos2cos22Ctan2tan2tan21D.1答案B解析取點Q為ABC的中心，設(shè)正面體的棱長為1，則sinsinsin，所以sin2sin2sin2<2，排除A；所以cos2cos2cos212，所以tan2tan2tan2，所以24>1，排除D；取BC的中點D，連接PD，AD，易知AP與平面PBC所成的角為APD，且cosAPD，所以sinAPD，所以tanAPD>1，所以當(dāng)點Q靠近點A時，QP與平面PBC所成的角的正切值大于1，所以tan2tan2tan2>1，排除C.故選B.第卷(非選擇題共110分)二、填空題(本大題共7小題，多空題每題6分，單空題每題4分，共36分把答案填在題中橫線上)11某空間幾何體的三視圖(單位：cm)如圖所示，則此幾何體側(cè)視圖的面積為_cm2，此幾何體的體積為_cm3.答案26解析此幾何體的側(cè)視圖為直角三角形，高為4cm，底為，面積為×4×2；該幾何體是以正視圖為底面的四棱錐，如圖所示，其底面為直角梯形，面積是(42)×618(cm2)，高為，體積為×18×6(cm3)12已知過球面上三點A，B，C的截面到球心的距離等于球半徑的一半，且ACBC6，AB4，則球面面積為_答案54解析如圖，設(shè)球的半徑為r，O是ABC的外心，外接圓半徑為R，D是AB的中點，則OO平面ABC.在RtACD中，cosA，則sinA.在ABC中，由正弦定理得2R，得R，即OC.在RtOCO中，r2r2，得r，S球表4×54.13.如圖，在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，AB1，AD2，AA13，BAD90°，BAA1DAA160°，則AC1_.答案解析BAA1DAA160°，A1在平面ABCD上的射影必落在直線AC上，平面ACC1A1平面ABCD，AB1，AD2，AA13，|2()2|2|2|22·2·2·14902×1×3×2×2×3×23，|，AC1.14(2018·浙江五校聯(lián)考)在正三棱錐SABC中，M是SC的中點，且AMSB，底面邊長AB2，則正三棱錐SABC的體積為_，其外接球的表面積為_答案12解析由正三棱錐的對棱互相垂直可得SBAC，又SBAM，AMACA，AM，AC平面SAC，所以SB平面SAC，則SBSA，SBSC.所以正三棱錐SABC的三個側(cè)面都是等腰直角三角形又AB2，所以SASBSC2，故正三棱錐SABC是棱長為2的正方體的一個角，其體積為SA·SB·SC，其外接球的直徑2R2，故外接球的表面積為4R212.15.如圖，在三棱錐SABC中，若AC2，SASBSCABBC4，E為棱SC的中點，則直線AC與BE所成角的余弦值為_，直線AC與平面SAB所成的角為_答案60°解析取SA的中點M，連接ME，BM，則直線AC與BE所成的角等于直線ME與BE所成的角，因為ME，BMBE2，cosMEB，所以直線AC與BE所成角的余弦值為.取SB的中點N，則ANSB，CNSB，又ANCNN，AN，CN平面ACN，即SB平面ACN，即平面SAB平面ACN，因此直線AC與平面SAB所成的角為CAN，因為ANCNAC2，所以CAN60°，因此直線AC與平面SAB所成的角為60°.16如圖，已知四棱錐ABCDE中，ABBC2，BE2CD4，ABC120°，EBC30°，BECD，M為棱DE的中點，三棱錐MABC的體積為，則點M到平面ABC的距離為_，二面角ABCD的正弦值為_答案1解析在ABC中，因為ABBC2，ABC120°，所以SABC×AB×BC×sinABC.設(shè)點M到平面ABC的距離為h，則由題意得，×SABC×h××h，所以h1.作MFBC于點F，MN平面ABC于點N，連接FN，則BC平面MNF，故NFBC，故MFN為二面角ABCD的平面角或其補角過點E作ESBC于點S，過點D作DTBC的延長線于點T(圖略)，則ESBEsin30°2，又BECD，所以DTCDsin30°1，所以MF，由(1)知MNh1，所以sinMFN，設(shè)二面角ABCD的平面角為，則sinsinMFN.17已知邊長為1的正ABC的頂點A在平面內(nèi)，頂點B，C在平面外的同一側(cè)，點B，C分別為B，C在平面內(nèi)的射影，設(shè)BBCC，直線CB與平面ACC所成的角為.若ABC是以角A為直角的直角三角形，則tan的最小值為_答案解析如圖，以點A為坐標(biāo)原點，AC，AB所在直線分別為x軸，y軸，建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)B(0，b，m)，C(c,0，n)，則可得mn且0<mn，故0<m，又因為c2n21，故n<1，又mn，故m>，又因為tanb，<m，所以tan<，所以tan的最小值為.三、解答題(本大題共5小題，共74分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)18(14分)如圖，在直三棱柱(側(cè)棱垂直于底面)ABCA1B1C1中，AC9，BC12，AB15，AA112，點D是AB的中點(1)求證：ACB1C；(2)求證：AC1平面CDB1.證明(1)三棱柱ABCA1B1C1為直三棱柱，CC1平面ABC，又AC平面ABC，CC1AC.又AC9，BC12，AB15，AC2BC2AB2，ACBC.CC1，BC平面BB1C1C，CC1BCC，AC平面BB1C1C，又B1C平面BB1C1C，ACB1C.(2)取A1B1的中點D1，連接C1D1，D1D和AD1.ADD1B1，且ADD1B1，四邊形ADB1D1為平行四邊形，AD1DB1，又AD1平面CDB1，DB1平面CDB1，AD1平面CDB1.CC1DD1，且CC1DD1，四邊形CC1D1D為平行四邊形，C1D1CD，又CD平面CDB1，C1D1平面CDB1，C1D1平面CDB1.AD1C1D1D1，AD1，C1D1平面AC1D1，平面AC1D1平面CDB1，又AC1平面AC1D1，AC1平面CDB1.19(15分)如圖，在四棱錐PABCD中，AD平面PDC，ADBC，PDPB，AD1，BC3，CD4，PD2.(1)求異面直線AP與BC所成角的余弦值；(2)求證：PD平面PBC；(3)求直線AB與平面PBC所成角的正弦值(1)解由已知ADBC，得DAP或其補角即為異面直線AP與BC所成的角因為AD平面PDC，所以ADPD.在RtPDA中，由已知，得AP，故cosDAP.所以異面直線AP與BC所成角的余弦值為.(2)證明因為AD平面PDC，直線PD平面PDC，所以ADPD.又因為BCAD，所以PDBC，又PDPB，BC，PB平面PBC，BCPBB，所以PD平面PBC.(3)解過點D作AB的平行線交BC于點F，連接PF，則DF與平面PBC所成的角等于AB與平面PBC所成的角因為PD平面PBC，故PF為DF在平面PBC上的射影，所以DFP為直線DF和平面PBC所成的角由于ADBC，DFAB，故BFAD1，由已知，得CFBCBF2.又ADDC，故BCDC，在RtDCF中，可得DF2，在RtDPF中，可得sinDFP.所以，直線AB與平面PBC所成角的正弦值為.20(15分)如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為直角梯形，ADCBCD90°，BC2，CD，PD4，PDA60°，且平面PAD平面ABCD.(1)求證：ADPB；(2)在線段PA上是否存在一點M，使二面角MBCD的大小為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由(1)證明過點B作BOCD，交AD于點O，連接PO，則ADBO，在PDO中，PD4，DO2，PDA60°，則POAD，POBOO，PO，BO平面POB，AD平面POB，又PB平面POB，ADPB.(2)解假設(shè)存在點M，過點M作AD的平行線交PO于點N，連接BN，易知M，N，B，C四點共面，平面MBC平面BCDBC，由(1)知，AD平面POB，BCAD，則BC平面POB，又BN平面POB，BNBC，又OBCD，則OBBC，則NBO即為二面角MBCD的平面角，則tanNBO，得NO1，PNPONO21，1.21(15分)如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AA11，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(1)求A1E與B1F所成的角；(2)求A1E與平面BCC1B1所成的角解(1)取AD的中點H，連接A1H，HE，HF.由于H，F(xiàn)分別是AD，BC的中點，ABCD為正方形，所以HFAB，且HFAB，所以A1B1HF，且A1B1HF，所以A1B1FH為平行四邊形，所以B1FA1H，且B1FA1H，故A1E與B1F所成的角等于A1E與A1H所成的角，A1E，HE，A1H，故HA1E60°，故A1E與B1F所成的角為60°.(2)因為平面BCC1B1平面ADD1A1，所以直線A1E與平面BCC1B1所成的角即為直線A1E與平面ADD1A1所成的角，所以EA1A即為所求角，而易知EA1A45°，所以直線A1E與平面BCC1B1所成的角為45°.22(15分)如圖，四棱錐PABCD中，底面ABCD是矩形，平面PAD平面ABCD，且PAD是邊長為2的等邊三角形，PC，點M是PC的中點(1)求證：PA平面MBD；(2)點F在PA上，且滿足，求直線DM與平面FBD所成角的正弦值(1)證明連接AC，交BD于點E，連接ME.因為四邊形ABCD是矩形，所以點E是AC的中點，又點M是PC的中點，所以PAME，又PA平面MBD，EM平面MBD，所以PA平面MBD.(2)解取AD的中點O，則POAD，又平面PAD底面ABCD，平面PAD底面ABCDAD，PO平面PAD，故PO平面ABCD，連接OC.在RtPOC中，OC，所以在RtODC中，DC3，以O(shè)為坐標(biāo)原點，OA，OE，OP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A(1,0,0)，B(1,3,0)，D(1，0,0)，C(1,3,0)，P(0,0，)，M，則(2，3,0)，設(shè)F(x0，y0，z0)，(x01，y0，z0)，(1,0，)，(x01，y03，z0)則由得(x01，y0，z0)(1,0，)，即F，則.設(shè)平面FBD的法向量m(x，y，z)，則得令x3，則y2，z5，故m(3，2，5)，又，設(shè)直線DM與平面FBD所成的角為，則sin|cosm，|，故直線DM與平面FBD所成角的正弦值為.18