（文理通用）江蘇省2020高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題三 解析幾何 第11講 圓錐曲線中最值、范圍問題練習(xí)

第11講 圓錐曲線中最值、范圍問題1已知點(diǎn)(m，n)在橢圓8x23y224上，則2m4的取值范圍是_解析：因?yàn)辄c(diǎn)(m，n)在橢圓8x23y224上，即在橢圓1上，所以點(diǎn)(m，n)滿足橢圓的范圍|x|，|y|2，因此|m|，即m，所以2m442，42答案：42，422(2019·常州期末)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)直線l：xy10與雙曲線C：1(a>0，b>0)的兩條漸近線都相交且交點(diǎn)都在y軸左側(cè)，則雙曲線C的離心率e的取值范圍是_解析：雙曲線的漸近線分別為yx，yx，依題意有>1，即b<a，e<.又因?yàn)閑>1，所以e的取值范圍是(1，)答案：(1，)3(2019·海安中學(xué)月考)已知AB2，M是線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)且PAPB6，則PM的最大值為_解析：由題意，知點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)A，B為焦點(diǎn)的橢圓，其長軸長為6，焦距為2，所以短軸長為4，易知PM的最大值為3.答案：34直線xy20分別與x軸，y軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在圓(x2)2y22上，則ABP面積的取值范圍是_解析：設(shè)圓(x2)2y22的圓心為C，半徑為r，點(diǎn)P到直線xy20的距離為d，則圓心C(2,0)，r，所以圓心C到直線xy20的距離為2，可得dmax2r3，dmin2r.由已知條件可得AB2，所以ABP面積的最大值為×AB×dmax6，ABP面積的最小值為×AB×dmin2.綜上，ABP面積的取值范圍是2,6答案：2,65已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，以其兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是一個(gè)面積為4的正方形，設(shè)P為該橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，C，D的坐標(biāo)分別是(，0)，(，0)，則·的最大值為_解析：由面積為4的正方形可知所以橢圓方程為1，所以C，D為橢圓的焦點(diǎn)設(shè)P(x0，y0)，則·xy2，又x4，所以·y22.答案：26設(shè)橢圓C：1(a>b>0)恒過定點(diǎn)A(1,2)，則橢圓的中心到準(zhǔn)線的距離的最小值是_. 解析：由已知得1，因?yàn)闇?zhǔn)線方程為x，所以橢圓的中心到準(zhǔn)線的距離為d，即d2a2592949(2)2，當(dāng)且僅當(dāng)a252時(shí)取等號所以d2，即dmin2.答案：27(2019·鎮(zhèn)江中學(xué)檢測)已知橢圓C：1(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，且長軸長為8，T為橢圓C上異于A，B的點(diǎn)，直線TA，TB的斜率之積為.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)M(8,0)的動(dòng)直線與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)，求OPQ面積的最大值解：(1)設(shè)T(x，y)(x±4)，則直線TA的斜率為k1，直線TB的斜率為k2.于是由k1k2，得·，整理得1(x±4)，故橢圓C的方程為1.(2)由題意設(shè)直線PQ的方程為xmy8，由得(3m24)y248my1440，(48m)24×144×(3m24)12×48(m24)>0，即m2>4，yPyQ，yPyQ.所以PQ·，又點(diǎn)O到直線PQ的距離d .所以SOPQ×PQ×d4當(dāng)且僅當(dāng)m2時(shí)等號成立，且滿足m2>4.故OPQ面積的最大值為4.8已知橢圓C：1(ab0)的離心率為，兩條準(zhǔn)線之間的距離為8.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程(2)若A，B分別為橢圓C的左、右頂點(diǎn)，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過點(diǎn)B作x軸的垂線l，點(diǎn)P是直線l上(異于點(diǎn)B)任意一點(diǎn)，直線AP交橢圓C于點(diǎn)Q.若OP與BQ交于點(diǎn)M，且2，求直線AP的方程；求·的取值范圍解：(1)由題意知e，8，解得c1，a2，b，故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)由(1)知A(2,0)，B(2,0)，設(shè)Q(x0，y0)，y00，P(2，t)，A，Q，P三點(diǎn)共線，kAQkAP，得t，P.設(shè)點(diǎn)M(x1，y1)，2，(x12，y1)2(x0x1，y0y1)，即得點(diǎn)M.O，M，P三點(diǎn)共線，解得y00(舍去)或x00，又點(diǎn)Q在橢圓C上，Q(0，±)，故直線AP的方程為y±(x2)由易知··(x02，y0)2(x02).點(diǎn)Q在橢圓C上，1，得4y3(4x)，將4y3(4x)代入上式得，·2(x02)2x0，2x02，02x04，·的取值范圍為(0,4)9已知橢圓E：1(a0，b0)的長軸長為4，離心率為.(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程(2)設(shè)斜率為k(k0)的直線l與橢圓E相交于C，D兩點(diǎn)若點(diǎn)P(1，m)(m0)在橢圓E上，直線l過橢圓上的右焦點(diǎn)F，且直線PC，PD的斜率之積為1，求直線l的方程；若k，求OC·OD的最大值解：(1)由題意得解得所以b2a2c23，所以橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)因?yàn)闄E圓E過點(diǎn)P(1，m)，所以得1，又m0，所以m.由(1)知F(1,0)，所以直線l的方程為yk(x1)，與1聯(lián)立并消元得，(34k2)x28k2x4k2120，0，設(shè)C(x1，y1)，D(x2，y2)，直線PC，PD的斜率分別為k1，k2，所以x1x2，x1x2，所以k1k2·k1，所以k，直線l的方程為7x4y70.設(shè)C(x1，y1)，D(x2，y2)，直線l的方程為yxn，代入1并消去y得3x22nx2n260，所以x1x2n，x1x2，所以xx(x1x2)22x1x222·4，所以O(shè)C2OD2xyxyx3x37，所以O(shè)C·OD，當(dāng)且僅當(dāng)OCOD時(shí)取等號，所以O(shè)C·OD的最大值為.10已知橢圓C：1(a>b>0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為F1(1,0)，F(xiàn)2(1,0)，P為橢圓C上一點(diǎn)，滿足3PF15PF2且cosF1PF2.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)直線l：ykxm與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)Q，若AQBQ，求k的取值范圍解：(1)由題意設(shè)PF1r1，PF2r2，則3r15r2，又r1r22a，r1a，r2a.在PF1F2中，由余弦定理得，cosF1PF2，解得a2，c1，b2a2c23，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)聯(lián)立消去y得(34k2)x28kmx4m2120，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1x2，且48(34k2m2)>0.設(shè)AB的中點(diǎn)為M(x0，y0)，連接QM，則x0，y0kx0m.AQBQ，ABQM，又Q，M為AB的中點(diǎn)，k0，直線QM的斜率存在，k·kQMk·1，解得m.把代入得34k2>2，整理得16k48k23>0，即(4k21)(4k23)>0，解得k>或k<，故k的取值范圍為.- 7 -