全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)(八年級(jí))教學(xué)案全集第11講 勾股定理與應(yīng)用

全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)(八年級(jí))教學(xué)案全集第十一講 勾股定理與應(yīng)用在課內(nèi)我們學(xué)過(guò)了勾股定理及它的逆定理勾股定理 直角三角形兩直角邊a，b的平方和等于斜邊c的平方，即a2+b2=c2勾股定理逆定理 如果三角形三邊長(zhǎng)a，b，c有下面關(guān)系：a2+b2=c2那么這個(gè)三角形是直角三角形早在3000年前，我國(guó)已有“勾廣三，股修四，徑陽(yáng)五”的說(shuō)法關(guān)于勾股定理，有很多證法，在我國(guó)它們都是用拼圖形面積方法來(lái)證明的下面的證法1是歐幾里得證法證法1 如圖2-16所示在RtABC的外側(cè)，以各邊為邊長(zhǎng)分別作正方形ABDE，BCHK，ACFG，它們的面積分別是c2，a2，b2下面證明，大正方形的面積等于兩個(gè)小正方形的面積之和過(guò)C引CMBD，交AB于L，連接BG，CE因?yàn)锳B=AE，AC=AG，CAE=BAG，所以ACEAGB(SAS)而所以 SAEML=b2 同理可證 SBLMD=a2 +得SABDE=SAEML+SBLMD=b2+a2，即 c2=a2+b2證法2 如圖2-17所示將RtABC的兩條直角邊CA，CB分別延長(zhǎng)到D，F(xiàn)，使AD=a，BF=b完成正方形CDEF(它的邊長(zhǎng)為a+b)，又在DE上截取DG=b，在EF上截取EH=b，連接AG，GH，HB由作圖易知ADGGEHHFBABC，所以AG=GH=HB=AB=c，BAG=AGH=GHB=HBA=90°，因此，AGHB為邊長(zhǎng)是c的正方形顯然，正方形CDEF的面積等于正方形AGHB的面積與四個(gè)全等的直角三角形(ABC，ADG，GEH，HFB)的面積和，即化簡(jiǎn)得 a2+b2=c2證法3 如圖2-18在直角三角形ABC的斜邊AB上向外作正方形ABDE，延長(zhǎng)CB，自E作EGCB延長(zhǎng)線于G，自D作DKCB延長(zhǎng)線于K，又作AF， DH分別垂直EG于F，H由作圖不難證明，下述各直角三角形均與RtABC全等：AFEEHDBKDACB設(shè)五邊形ACKDE的面積為S，一方面S=SABDE+2SABC， 另一方面S=SACGF+SHGKD+2SABC 由，所以 c2=a2+b2關(guān)于勾股定理，在我國(guó)古代還有很多類似上述拼圖求積的證明方法，我們將在習(xí)題中展示其中一小部分，它們都以中國(guó)古代數(shù)學(xué)家的名字命名利用勾股定理，在一般三角形中，可以得到一個(gè)更一般的結(jié)論定理 在三角形中，銳角(或鈍角)所對(duì)的邊的平方等于另外兩邊的平方和，減去(或加上)這兩邊中的一邊與另一邊在這邊(或其延長(zhǎng)線)上的射影的乘積的2倍證 (1)設(shè)角C為銳角，如圖2-19所示作ADBC于D， 則CD就是AC在BC上的射影在直角三角形ABD中，AB2=AD2+BD2， 在直角三角形ACD中，AD2=AC2-CD2， 又BD2=(BC-CD)2， ，代入得AB2=(AC2-CD2)+(BC-CD)2=AC2-CD2+BC2+CD2-2BC·CD=AC2+BC2-2BC·CD，即c2=a2+b2-2a·CD (2)設(shè)角C為鈍角，如圖2-20所示過(guò)A作AD與BC延長(zhǎng)線垂直于D，則CD就是AC在BC(延長(zhǎng)線)上的射影在直角三角形ABD中，AB2=AD2+BD2， 在直角三角形ACD中，AD2=AC2-CD2， 又BD2=(BC+CD)2， 將，代入得AB2=(AC2-CD2)+(BC+CD)2=AC2-CD2+BC2+CD2+2BC·CD=AC2+BC2+2BC·CD，即c2=a2+b2+2a·cd 綜合，就是我們所需要的結(jié)論特別地，當(dāng)C=90°時(shí)，CD=0，上述結(jié)論正是勾股定理的表述：c2=a2+b2因此，我們常又稱此定理為廣勾股定理(意思是勾股定理在一般三角形中的推廣)由廣勾股定理我們可以自然地推導(dǎo)出三角形三邊關(guān)系對(duì)于角的影響在ABC中，(1)若c2=a2+b2，則C=90°；(2)若c2a2+b2，則C90°；(3)若c2a2+b2，則C90°勾股定理及廣勾股定理深刻地揭示了三角形內(nèi)部的邊角關(guān)系，因此在解決三角形(及多邊形)的問(wèn)題中有著廣泛的應(yīng)用例1 如圖2-21所示已知：在正方形ABCD中，BAC的平分線交BC于E，作EFAC于F，作FGAB于G求證：AB2=2FG2分析 注意到正方形的特性CAB=45°，所以AGF是等腰直角三角形，從而有AF2=2FG2，因而應(yīng)有AF=AB，這啟發(fā)我們?nèi)プC明ABEAFE證 因?yàn)锳E是FAB的平分線，EFAF，又AE是AFE與ABE的公共邊，所以RtAFERtABE(AAS)，所以 AF=AB 在RtAGF中，因?yàn)镕AG=45°，所以AG=FG，AF2=AG2+FG2=2FG2 由，得AB2=2FG2說(shuō)明 事實(shí)上，在審題中，條件“AE平分BAC”及“EFAC于F”應(yīng)使我們意識(shí)到兩個(gè)直角三角形AFE與ABE全等，從而將AB“過(guò)渡”到AF，使AF(即AB)與FG處于同一個(gè)直角三角形中，可以利用勾股定理進(jìn)行證明了例2 如圖2-22所示AM是ABC的BC邊上的中線，求證：AB2+AC2=2(AM2+BM2)證 過(guò)A引ADBC于D(不妨設(shè)D落在邊BC內(nèi))由廣勾股定理，在ABM中，AB2=AM2+BM2+2BM·MD 在ACM中，AC2=AM2+MC2-2MC·MD +，并注意到MB=MC，所以AB2+AC2=2(AM2+BM2) 如果設(shè)ABC三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，它們對(duì)應(yīng)邊上的中線長(zhǎng)分別為ma，mb，mc，由上述結(jié)論不難推出關(guān)于三角形三條中線長(zhǎng)的公式推論 ABC的中線長(zhǎng)公式：說(shuō)明 三角形的中線將三角形分為兩個(gè)三角形，其中一個(gè)是銳角三角形，另一個(gè)是鈍角三角形(除等腰三角形外)利用廣勾股定理恰好消去相反項(xiàng)，獲得中線公式，中的ma，mb，mc分別表示a，b，c邊上的中線長(zhǎng)例3 如圖2-23所示求證：任意四邊形四條邊的平方和等于對(duì)角線的平方和加對(duì)角線中點(diǎn)連線平方的4倍分析 如圖2-23所示對(duì)角線中點(diǎn)連線PQ，可看作BDQ的中線，利用例2的結(jié)論，不難證明本題證 設(shè)四邊形ABCD對(duì)角線AC，BD中點(diǎn)分別是Q，P由例2，在BDQ中，即2BQ2+2DQ2=4PQ2+BD2 在ABC中，BQ是AC邊上的中線，所以在ACD中，QD是AC邊上的中線，所以將，代入得=4PQ2+BD2，即AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2+4PQ2說(shuō)明 本題是例2的應(yīng)用善于將要解決的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已解決的問(wèn)題，是人們解決問(wèn)題的一種基本方法，即化未知為已知的方法下面，我們?cè)倏磧蓚€(gè)例題，說(shuō)明這種轉(zhuǎn)化方法的應(yīng)用例4 如圖2-24所示已知ABC中，C=90°，D，E分別是BC，AC上的任意一點(diǎn)求證：AD2+BE2=AB2+DE2分析 求證中所述的4條線段分別是4個(gè)直角三角形的斜邊，因此考慮從勾股定理入手證 AD2=AC2+CD2，BE2=BC2+CE2，所以AD2+BE2=(AC2+BC2)+(CD2+CE2)=AB2+DE2例5 求證：在直角三角形中兩條直角邊上的中線的平方和的4倍等于斜邊平方的5倍如圖2-25所示設(shè)直角三角形ABC中，C=90°，AM，BN分別是BC，AC邊上的中線求證：4(AM2+BN2)=5AB2分析 由于AM，BN，AB均可看作某個(gè)直角三角形的斜邊，因此，仿例4的方法可從勾股定理入手，但如果我們能將本題看成例4的特殊情況即M，N分別是所在邊的中點(diǎn)，那么可直接利用例4的結(jié)論，使證明過(guò)程十分簡(jiǎn)潔證 連接MN，利用例4的結(jié)論，我們有AM2+BN2=AB2+MN2，所以 4(AM2+BN2)=4AB2+4MN2 由于M，N是BC，AC的中點(diǎn)，所以所以 4MN2=AB2 由，4(AM2+BN2)=5AB2說(shuō)明 在證明中，線段MN稱為ABC的中位線，以后會(huì)知道中位線的基本性質(zhì)：“MNAB且MN=圖2-26所示MN是ABC的一條中位線，設(shè)ABC的面積為S由于M，N分別是所在邊的中點(diǎn)，所以SACM=SBCN，兩邊減去公共部分CMN后得SAMN=SBMN，從而AB必與MN平行又SABM=高相同，而SABM=2SBMN，所以AB=2MN練習(xí)十一1用下面各圖驗(yàn)證勾股定理(虛線代表輔助線)：(1)趙君卿圖(圖2-27)；(2)項(xiàng)名達(dá)圖(2-28)；(3)楊作枚圖(圖2-29)2已知矩形ABCD，P為矩形所在平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，求證：PA2+PC2=PB2+PD2(提示：應(yīng)分三種情形加以討論，P在矩形內(nèi)、P在矩形上、P在矩形外，均有這個(gè)結(jié)論)3由ABC內(nèi)任意一點(diǎn)O向三邊BC，CA，AB分別作垂線，垂足分別是D，E，F(xiàn)求證：AF2+BD2+CE2=FB2+DC2+EA24如圖2-30所示在四邊形ADBC中，對(duì)角線ABCD求證：AC2+BD2=AD2+BC2它的逆定理是否成立？證明你的結(jié)論5如圖2-31所示從銳角三角形ABC的頂點(diǎn)B，C分別向?qū)呑鞔咕€BE，CF求證：BC2=AB·BF+AC·CE