（文理通用）江蘇省2020高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題四 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、不等式 第14講 基本不等及其應(yīng)用、簡單的線性聲名規(guī)劃問題練習(xí)

第14講 基本不等及其應(yīng)用、簡單的線性聲名規(guī)劃問題A級高考保分練1設(shè)a，b，cR，ab2，且ca2b2恒成立，則c的最大值為_解析：因?yàn)閍b2，由基本不等式得：a2b2 2ab4，當(dāng)且僅當(dāng)a2b22時取等號，即a2b2取得最小值4，因此c4，所以c的最大值為4.答案：42(2019·南京三模)若實(shí)數(shù)x，y滿足則zx3y的最小值為_解析：作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)zx3y過點(diǎn)B(1，2)時取得最小值，所以zmin13×(2)5.答案：53已知函數(shù)f(x)4x(x>0，a>0)在x3時取得最小值，則a_.解析：f(x)4x2 4，當(dāng)且僅當(dāng)4x，即a4x2時取等號，則由題意知a4×3236.答案：364已知變量x，y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z2xy的最大值是_解析：作出滿足約束條件的可行域如圖中陰影部分所示由圖可知，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過點(diǎn)A(5,3)時，z取得最大值，所以zmax2×537.答案：75若2x2y1，則xy的取值范圍是_解析：因?yàn)?2x2y2，所以2xy，即xy2，當(dāng)且僅當(dāng)xy時取等號答案：(，26設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且C，ab12，則ABC面積的最大值為_解析：由三角形的面積公式：Sabsin Cab×29，當(dāng)且僅當(dāng)ab6時等號成立，則ABC面積的最大值為9.答案：97某種汽車購車時的費(fèi)用為10萬元，每年保險、養(yǎng)路費(fèi)、汽油費(fèi)共1.5萬元，如果汽車的維修費(fèi)第1年0.1萬元，從第2年起，每年比上一年多0.2萬元，這種汽車最多使用_年報廢最合算(即平均每年費(fèi)用最少)解析：設(shè)這種汽車最多使用x年報廢最合算，用x年汽車的總費(fèi)用為101.5x101.5x0.1x2萬元，故用x年汽車每年的平均費(fèi)用為y0.1x1.521.53.5(萬元)，當(dāng)且僅當(dāng)x10時，取等號答案：108(2019·海安期末)設(shè)P(x，y)為橢圓1在第一象限上的點(diǎn)，則的最小值為_解析：因?yàn)闄E圓1可化為4，所以4，當(dāng)且僅當(dāng)x2，y3時，取等號答案：49某游泳館擬建一座平面圖形為矩形且面積為200平方米的泳池，池的深度為1米，池的四周墻壁建造單價為每米400元，中間一條隔壁建造單價為每米100元，池底建造單價每平方米60元(池壁厚忽略不計)，則泳池的長設(shè)計為_米時，可使總造價最低解析：設(shè)泳池的長為x米，則寬為米，總造價f(x)400×100×60×200800×12 0001 60012 00036 000(元)，當(dāng)且僅當(dāng)x(x0)，即x15時等號成立，即泳池的長設(shè)計為15米時，可使總造價最低答案：1510(2019·前黃中學(xué)檢測)已知x，yR且滿足x22xy4y26，則zx24y2的取值范圍為_解析：因?yàn)?xy6(x24y2)，而2xy，所以6(x24y2)，所以x24y24(當(dāng)且僅當(dāng)x2y時取等號)又因?yàn)?x2y)262xy0，即2xy6，所以zx24y262xy12(當(dāng)且僅當(dāng)x2y時取等號)綜上可知4x24y212.答案：4,1211某學(xué)校為了支持生物課程基地研究植物的生長規(guī)律，計劃利用學(xué)?？盏亟ㄔ煲婚g室內(nèi)面積為900 m2的矩形溫室，在溫室內(nèi)劃出三塊全等的矩形區(qū)域，分別種植三種植物，相鄰矩形區(qū)域之間間隔1 m，三塊矩形區(qū)域的前、后與內(nèi)墻各保留1 m寬的通道，左、右兩塊矩形區(qū)域分別與相鄰的左右內(nèi)墻保留3 m寬的通道，如圖設(shè)矩形溫室的室內(nèi)長為x(單位：m)，三塊種植植物的矩形區(qū)域的總面積為S(單位：m2)(1)求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)求S的最大值解：(1)由題設(shè)，得S(x8)2x916，x(8,450)(2)因?yàn)?<x<450，所以2x2 240，當(dāng)且僅當(dāng)x60時等號成立，從而S676.故當(dāng)矩形溫室的室內(nèi)長為60 m時，三塊種植植物的矩形區(qū)域的總面積最大，為676 m2.12(2019·孝感模擬)經(jīng)測算，某型號汽車在勻速行駛的過程中每小時耗油量y(L)與速度x(km/h)(50x120)的關(guān)系可近似表示為y(1)該型號汽車的速度為多少時，可使得每小時耗油量最低？(2)已知A，B兩地相距120 km，假定該型號汽車勻速從A地駛向B地，則汽車速度為多少時總耗油量最少？解：(1)當(dāng)x50,80)時，y(x2130x4 900)(x65)2675，當(dāng)x65時，y有最小值，為×6759，當(dāng)x80,120時，函數(shù)y12單調(diào)遞減，故當(dāng)x120時，y有最小值，為10，因?yàn)?<10，所以該型號汽車的速度為65 km/h時，每小時耗油量最低(2)設(shè)總耗油量為l，由題意可知ly·，當(dāng)x50,80)時，ly·16，當(dāng)且僅當(dāng)x，即x70時，l取得最小值，最小值為16.當(dāng)x80,120時，ly·2為減函數(shù)，故當(dāng)x120時，l取得最小值，最小值為10，因?yàn)?0<16，所以當(dāng)速度為120 km/h時，總耗油量最少B級難點(diǎn)突破練1(2019·揚(yáng)州期末)已知正實(shí)數(shù)x，y滿足x4yxy0，若xym恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_解析：(“1”的代換)因?yàn)閤，y是正實(shí)數(shù)，由x4yxy0，得1，xy(xy)·5259，當(dāng)且僅當(dāng)x6，y3時，等號成立，即xy的最小值是9，故m9.答案： (，92(2019·金陵中學(xué)期中)已知正數(shù)a，b，c滿足b22(ac)bac0，則的最大值為_解析：b22(ac)bac0c，c>0，a2b>0，.令t2(t>0)，則，當(dāng)且僅當(dāng)t，即t時取“”答案：3已知函數(shù)f(x)2x2x.(1)求方程f(x)2的根；(2)若對于任意xR，不等式f(2x)mf(x)6恒成立，求實(shí)數(shù)m的最大值解：(1)方程f(x)2，即2x2x2，亦即(2x)22×2x10，所以(2x1)20，即2x1，解得x0.(2)由條件知f(2x)22x22x(2x2x)22(f(x)22.因?yàn)閒(2x)mf(x)6對于xR恒成立，且f(x)0，所以m對于xR恒成立而f(x)2 4，且4，所以m4，故實(shí)數(shù)m的最大值為4.4某商人投資81萬元建一間工作室，第一年裝修費(fèi)為1萬元，以后每年增加2萬元，把工作室出租，每年收入租金30萬元(1)若扣除投資和各種裝修費(fèi)，則從第幾年開始獲取純利潤？(2)若干年后該商人為了投資其他項(xiàng)目，對該工作室有兩種處理方案：年平均利潤最大時，以46萬元出售該工作室；純利潤總和最大時，以10萬元出售該工作室問該商人會選擇哪種方案？解：(1)設(shè)第n年獲取利潤為y萬元n年付出的裝修費(fèi)構(gòu)成一個首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，則n年付出的裝修費(fèi)之和為n×1×2n2，又投資81萬元，n年共收入租金30n萬元，利潤y30nn281(nN*)令y0，即30nn2810，n230n810，解得3n27(nN*)，從第4年開始獲取純利潤(2)方案：年平均利潤t30n3030212當(dāng)且僅當(dāng)n，即n9時取等號，年平均利潤最大時，以46萬元出售該工作室共獲利潤12×946154(萬元)方案：純利潤總和y30nn281(n15)2144(nN*)，當(dāng)n15時，純利潤總和最大，為144萬元，純利潤總和最大時，以10萬元出售該工作室共獲利潤14410154(萬元)，兩種方案盈利相同，但方案時間比較短，所以選擇方案.- 6 -