（天津?qū)Ｓ茫?020屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 單元質(zhì)檢7 立體幾何（B）（含解析）新人教A版

單元質(zhì)檢七立體幾何(B)(時間:45分鐘滿分:100分)一、選擇題(本大題共6小題,每小題7分,共42分)1.若圓錐的表面積是底面積的3倍,則該圓錐的側(cè)面展開圖扇形的圓心角為()A.23B.56C.D.762.如圖,在三棱錐A-BCD中,DA,DB,DC兩兩垂直,且DB=DC,E為BC的中點,則AE·BC等于()A.3B.2C.1D.03.在空間四邊形ABCD中,E,F分別為AB,AD上的點,且AEEB=AFFD=14.又H,G分別為BC,CD的中點,則()A.BD平面EFG,且四邊形EFGH是平行四邊形B.EF平面BCD,且四邊形EFGH是梯形C.HG平面ABD,且四邊形EFGH是平行四邊形D.EH平面ADC,且四邊形EFGH是梯形4.如圖,已知直平行六面體ABCD-A1B1C1D1的各條棱長均為3,BAD=60°,長為2的線段MN的一個端點M在DD1上運動,另一個端點N在底面ABCD上運動,則MN的中點P的軌跡(曲面)與共頂點D的三個面所圍成的幾何體的體積為()A.29B.49C.23D.435. (2018上海,15)九章算術(shù)中,稱底面為矩形而有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐為陽馬.設(shè)AA1是正六棱柱的一條側(cè)棱,如圖.若陽馬以該正六棱柱的頂點為頂點,以AA1為底面矩形的一邊,則這樣的陽馬的個數(shù)是()A.4B.8C.12D.166.已知正方體ABCD-A1B1C1D1,平面過直線BD,平面AB1C,平面AB1C=m,平面過直線A1C1,平面AB1C,平面ADD1A1=n,則m,n所成角的余弦值為()A.0B.12C.22D.32二、填空題(本大題共2小題,每小題7分,共14分)7.在菱形ABCD中,AB=2,BCD=60°,現(xiàn)將其沿對角線BD折成直二面角A-BD-C(如圖),則異面直線AB與CD所成的角的余弦值為. 8.已知球O的球面上有四點S,A,B,C,其中O,A,B,C四點共面,ABC是邊長為2的正三角形,平面SAB平面ABC,則三棱錐S-ABC的體積的最大值為. 三、解答題(本大題共3小題,共44分)9. (14分)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,PA平面ABCD,E為PD的中點. (1)證明:PB平面AEC;(2)設(shè)二面角D-AE-C為60°,AP=1,AD=3,求三棱錐E-ACD的體積.10.(15分) 如圖,在幾何體ABCDE中,四邊形ABCD是矩形,AB平面BEC,BEEC, AB=BE=EC=2,G,F分別是線段BE,DC的中點.(1)求證:GF平面ADE;(2)求平面AEF與平面BEC所成銳二面角的余弦值.11.(15分) 如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA平面ABCD,ADBC,ADCD,且AD=CD=2, BC=22,PA=2.(1)取PC的中點N,求證:DN平面PAB;(2)求直線AC與PD所成角的余弦值;(3)在線段PD上是否存在一點M,使得二面角M-AC-D的大小為45°?如果存在,求BM與平面MAC所成的角;如果不存在,請說明理由.單元質(zhì)檢七立體幾何(B)1.C解析設(shè)圓錐的底面半徑為r,母線長為l,側(cè)面展開圖扇形的圓心角為,根據(jù)條件得rl+r2=3r2,即l=2r,根據(jù)扇形面積公式得l22=rl,即=r·2l=r·22r=,故選C.2.D解析AE·BC=(AD+DE)·BC=AD·BC+DE·BC=AD·(BD+DC)=AD·BD+AD·DC=0.3.B解析如圖,由題意,得EFBD,且EF=15BD,HGBD,且HG=12BD,故EFHG,且EFHG.因此,四邊形EFGH是梯形.由題可得EF平面BCD,而EH與平面ADC不平行,故選B.4.A解析MN=2,則DP=1,則點P的軌跡為以D為球心,半徑r=1的球面的一部分,則球的體積為V=43·r3=43.BAD=60°,ADC=120°,120°為360°的13,只取半球的13,則V'=43×13×12=29.5.D解析設(shè)正六棱柱為ABCDEF-A1B1C1D1E1F1,以側(cè)面AA1B1B,AA1F1F為底面矩形的陽馬有E-AA1B1B,E1-AA1B1B,D-AA1B1B,D1-AA1B1B,C-AA1F1F,C1-AA1F1F,D-AA1F1F,D1-AA1F1F,共8個;以對角面AA1C1C,AA1E1E為底面矩形的陽馬有F-AA1C1C,F1-AA1C1C,D-AA1C1C,D1-AA1C1C,B-AA1E1E,B1-AA1E1E,D-AA1E1E,D1-AA1E1E,共8個.所以共有8+8=16(個),故選D.6.D解析如圖所示,BD1平面AB1C,平面過直線BD,平面AB1C,平面即為平面DBB1D1.設(shè)ACBD=O.平面AB1C=OB1=m.平面A1C1D過直線A1C1,與平面AB1C平行,而平面過直線A1C1,平面AB1C,平面A1C1D即為平面.平面ADD1A1=A1D=n,又A1DB1C,m,n所成角為OB1C,由AB1C為正三角形,則cosOB1C=cos6=32.故選D.7.14解析如圖,取BD的中點O,連接AO,CO,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,AB=2,BCD=60°,A(0,0,3),B(1,0,0),D(-1,0,0),C(0,3,0),AB=(1,0,-3),CD=(-1,-3,0),cos<AB,CD>=AB·CD|AB|CD|=-12×2=-14.異面直線AB與CD所成的角的余弦值為14.8.33解析記球O的半徑為R,由ABC是邊長為2的正三角形,且O,A,B,C四點共面,易求R=23.作SDAB于D,連接OD,OS,易知SD平面ABC,注意到SD=SO2-OD2=R2-OD2,因此要使SD最大,則需OD最小,而OD的最小值為12×23=33,因此高SD的最大值為232-332=1.因為三棱錐S-ABC的體積為13SABC·SD=13×34×22×SD=33SD,所以三棱錐S-ABC的體積的最大值為33×1=33.9.(1)證明如圖,連接BD交AC于點O,連接EO.因為底面ABCD為矩形,所以O(shè)為BD的中點.又因為E為PD的中點,所以EOPB.因為EO平面AEC,PB平面AEC,所以PB平面AEC.(2)解因為PA平面ABCD,底面ABCD為矩形,所以AB,AD,AP兩兩垂直.如圖,以A為坐標(biāo)原點,分別以AB,AD,AP的方向為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz,則P(0,0,1),D(0,3,0),E0,32,12,AE=0,32,12.設(shè)B(m,0,0)(m>0),則C(m,3,0),AC=(m,3,0).設(shè)n1=(x,y,z)為平面ACE的法向量,則n1·AC=0,n1·AE=0,即mx+3y=0,32y+12z=0,可取n1=3m,-1,3.由題意得n2=(1,0,0)為平面DAE的一個法向量.由題設(shè)|cos<n1,n2>|=12,即33+4m2=12,解得m=32.因為E為PD的中點,所以三棱錐E-ACD的高為12.三棱錐E-ACD的體積V=13×12×3×32×12=38.10.(1)證法一如圖,取AE的中點H,連接HG,HD.因為G是BE的中點,所以GHAB,且GH=12AB.又因為F是CD的中點,所以DF=12CD.由四邊形ABCD是矩形,得ABCD,AB=CD,所以GHDF,且GH=DF,從而四邊形HGFD是平行四邊形,所以GFDH.又因為DH平面ADE,GF平面ADE,所以GF平面ADE.證法二如圖,取AB中點M,連接MG,MF.因為G是BE的中點,所以GMAE.又因為AE平面ADE,GM平面ADE,所以GM平面ADE.在矩形ABCD中,由M,F分別是AB,CD的中點,得MFAD.又因為AD平面ADE,MF平面ADE,所以MF平面ADE.又因為GMMF=M,GM平面GMF,MF平面GMF,所以平面GMF平面ADE.因為GF平面GMF,所以GF平面ADE.(2)解如圖,在平面BEC內(nèi),過B點作BQEC.因為BECE,所以BQBE.又因為AB平面BEC,所以ABBE,ABBQ.以B為原點,分別以BE,BQ,BA的方向為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,2),B(0,0,0),E(2,0,0),F(2,2,1).因為AB平面BEC,所以BA=(0,0,2)為平面BEC的一個法向量.設(shè)n=(x,y,z)為平面AEF的法向量,由題意,得AE=(2,0,-2),AF=(2,2,-1).由n·AE=0,n·AF=0,得2x-2z=0,2x+2y-z=0,取z=2,得n=(2,-1,2).從而cos<n,BA>=n·BA|n|BA|=43×2=23.所以平面AEF與平面BEC所成銳二面角的余弦值為23.11.解建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(0,-1,0),B(2,-1,0),C(0,1,0),D(-1,0,0),P(0,-1,2).(1)證明:PC中點N(0,0,1),DN=(1,0,1).設(shè)平面PAB的法向量為n=(x,y,z),由AP=(0,0,2),AB=(2,0,0),可得n=(0,1,0).DN·n=0,DN平面PAB,DN平面PAB.(2)設(shè)AC與PD所成的角為.AC=(0,2,0),PD=(-1,1,-2),cos=22×6=66.(3)設(shè)M(x,y,z)及PM=PD,則x=-,y+1=,z-2=-2M(-,-1,2(1-).設(shè)平面ACM的法向量為m=(x,y,z),由AC=(0,2,0),AM=(-,2(1-),可得m=(2-2,0,),平面ACD的法向量為a=(0,0,1),cos<m,a>=1·2+(2-2)2=222=52-8+4,解得=23或=2(舍去).M-23,-13,23,BM=-83,23,23,m=23,0,23.設(shè)BM與平面MAC所成的角為,則sin=|cos<BM,m>|=-129223×22=12,=6.10