廣西2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 考點規(guī)范練23 解三角形 文

考點規(guī)范練23解三角形一、基礎(chǔ)鞏固1.在ABC中,c=3,A=75°,B=45°,則ABC的外接圓的面積為()A.4B.C.2D.4答案B解析在ABC中,c=3,A=75°,B=45°,故C=180°-A-B=60°.設(shè)ABC的外接圓半徑為R,則由正弦定理可得2R=csinC=332,解得R=1,故ABC的外接圓的面積S=R2=.2.ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知a=3,b=2,A=60°,則c=()A.12B.1C.3D.2答案B解析由已知及余弦定理,得3=4+c2-2×2×c×12,整理,得c2-2c+1=0,解得c=1.故選B.3.(2018廣東中山質(zhì)檢)在ABC中,a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的對邊,a=1,ccos A+acos C=2bcos B,ABC的面積S=3,則b等于()A.13B.4C.3D.15答案A解析由題意可得,2sinBcosB=sinCcosA+sinAcosC=sin(A+C)=sinB,cosB=12,B=3.又S=12ac·sinB=12×1×c×32=3,c=4.又b2=a2+c2-2accosB=1+16-2×1×4×12=13,b=13.4.設(shè)ABC的三內(nèi)角A,B,C成等差數(shù)列,sin A,sin B,sin C成等比數(shù)列,則這個三角形的形狀是()A.直角三角形B.鈍角三角形C.等腰直角三角形D.等邊三角形答案D解析ABC的三內(nèi)角A,B,C成等差數(shù)列,B=3.sinA,sinB,sinC成等比數(shù)列,sin2B=sinAsinC,由正弦定理得b2=ac.在ABC中,由余弦定理得b2=a2+c2-2accos3,ac=a2+c2-ac,(a-c)2=0,a=c.ABC為等邊三角形.5.如圖,兩座相距60 m的建筑物AB,CD的高度分別為20 m,50 m,BD為水平面,則從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的張角為()A.30°B.45°C.60°D.75°答案B解析依題意可得AD=2010m,AC=305m,又CD=50m,所以在ACD中,由余弦定理,得cosCAD=AC2+AD2-CD22AC·AD=(305)2+(2010)2-5022×305×2010=600060002=22,又0°<CAD<180°,所以CAD=45°,所以從頂端A看建筑物CD的張角為45°.6.在ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若2a-cb=cosCcosB,b=4,則ABC的面積的最大值為()A.43B.23C.2D.3答案A解析在ABC中,2a-cb=cosCcosB,(2a-c)cosB=bcosC.(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC.2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin(B+C)=sinA.cosB=12,即B=3.由余弦定理可得16=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac2ac-ac=ac,故ac16,當(dāng)且僅當(dāng)a=c時取等號,因此,ABC的面積S=12acsinB=34ac43,故選A.7.已知ABC的三個內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且滿足(sinA-sinC)(a+c)b=sin A-sin B,則C=. 答案3解析在ABC中,(sinA-sinC)(a+c)b=sinA-sinB,(a-c)(a+c)b=a-b.a2+b2-c2=ab,cosC=a2+b2-c22ab=12.C=3.8.在ABC中,B=120°,AB=2,A的角平分線AD=3,則AC=. 答案6解析由題意及正弦定理,可知ABsinADB=ADsinB,即2sinADB=332,故ADB=45°.所以12A=180°-120°-45°,故A=30°,則C=30°,所以三角形ABC是等腰三角形.所以AC=22sin60°=6.9.某氣象儀器研究所按以下方案測試一種“彈射型”氣象觀測儀器的垂直彈射高度:在C處(點C在水平地面下方,O為CH與水平地面ABO的交點)進行該儀器的垂直彈射,水平地面上兩個觀察點A,B兩地相距100米,BAC=60°,其中A到C的距離比B到C的距離遠40米,A地測得該儀器在C處的俯角為OAC=15°,A地測得最高點H的仰角為HAO=30°,則該儀器的垂直彈射高度CH為米. 答案1406解析由題意,設(shè)AC=x米,則BC=(x-40)米,在ABC中,由余弦定理得BC2=BA2+CA2-2BA·CA·cosBAC,即(x-40)2=x2+10000-100x,解得x=420.在ACH中,AC=420米,CAH=30°+15°=45°,CHA=90°-30°=60°,由正弦定理得CHsinCAH=ACsinAHC,可得CH=AC·sinCAHsinAHC=1406(米).10.已知島A南偏西38°方向,距島A 3 n mile的B處有一艘緝私艇.島A處的一艘走私船正以10 n mile/h的速度向島北偏西22°方向行駛,問緝私艇朝何方向以多大速度行駛,恰好用0.5 h能截住該走私船?參考數(shù)據(jù):sin38°=5314,sin22°=3314解設(shè)緝私艇在C處截住走私船,D為島A正南方向上的一點,緝私艇的速度為xnmile/h,則BC=0.5xnmile,AC=5nmile,依題意,BAC=180°-38°-22°=120°,由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos120°,解得BC2=49,BC=0.5x=7,解得x=14.又由正弦定理得sinABC=ACsinBACBC=5×327=5314,所以ABC=38°.又BAD=38°,所以BCAD.故緝私艇以14nmile/h的速度向正北方向行駛,恰好用0.5h截住該走私船.二、能力提升11.ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c=2,則C=()A.12B.6C.4D.3答案B解析由題意結(jié)合三角形的內(nèi)角和,可得sin(A+C)+sinA(sinC-cosC)=0,整理得sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC-sinAcosC=0,則sinC(sinA+cosA)=0,因為sinC>0,所以sinA+cosA=0,即tanA=-1,因為A(0,),所以A=34.由正弦定理asinA=csinC,得2sin34=2sinC,即sinC=12,所以C=6,故選B.12.(2018全國,文16)ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知bsin C+csin B=4asin Bsin C,b2+c2-a2=8,則ABC的面積為. 答案233解析由正弦定理及條件,得bc+cb=4absinC,所以csinC=2a,設(shè)ABC的外接圓半徑為R,則csinC=2R,所以a=R.因為b2+c2-a2=8>0,所以cosA>0,0<A<2,因為asinA=2R,所以sinA=12,A=30°,所以cosA=b2+c2-a22bc=32,所以bc=833,所以SABC=12bcsinA=233.13.在ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,如果ABC的面積等于8,a=5,tan B=-43,那么a+b+csinA+sinB+sinC=. 答案5654解析在ABC中,tanB=-43,sinB=45,cosB=-35.又SABC=12acsinB=2c=8,c=4,b=a2+c2-2accosB=65.a+b+csinA+sinB+sinC=bsinB=5654.14.ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知bcos C+bsin C=a.(1)求角B的大小;(2)若BC邊上的高等于14a,求cos A的值.解(1)因為bcosC+bsinC=a,由正弦定理,得sinBcosC+sinBsinC=sinA.因為A+B+C=,所以sinBcosC+sinBsinC=sin(B+C).即sinBcosC+sinBsinC=sinBcosC+cosBsinC.因為sinC0,所以sinB=cosB.因為cosB0,所以tanB=1.因為B(0,),所以B=4.(2)設(shè)BC邊上的高線為AD,則AD=14a.因為B=4,則BD=AD=14a,CD=34a.所以AC=AD2+DC2=104a,AB=24a.由余弦定理得cosA=AB2+AC2-BC22AB·AC=-55.三、高考預(yù)測15.ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,ABC的面積為S,若43S=b2+c2-a2.(1)求角A的大小;(2)若a=2,b=23,求角C的大小.解(1)ABC中,b2+c2-a2=43S=43·12bcsinA=2bc·3sinA,cosA=b2+c2-a22bc=3sinA,tanA=33,0<A<,A=6.(2)a=2,b=23,A=6,由asinA=bsinB得sinB=bsinAa=23×122=32,0<B<56,且B>A,B=3或23,C=2或6.8