（浙江專用）2020高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題六 計數(shù)原理與古典概率 第2講 古典概率與離散型隨機(jī)變量的分布列、均值和方差專題強(qiáng)化訓(xùn)練

第2講 古典概率與離散型隨機(jī)變量的分布列、均值和方差專題強(qiáng)化訓(xùn)練基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1某同學(xué)求得一離散型隨機(jī)變量的分布列為X012P0.20.33a1則a的值為()A0.3B0.4C0.5D0.6解析：選C.由分布列性質(zhì)得0.20.33a11，所以a0.5，故選C.2袋中裝有6個白球，5個黃球，4個紅球，從中任取一球，取出白球的概率為()A. B. C. D.解析：選A.從15個球中任取一球有15種取法，取出白球有6種，所以取出白球的概率P.3設(shè)某項試驗的成功率是失敗率的2倍，用隨機(jī)變量X去描述1次試驗的成功次數(shù)，則P(X0)等于()A0 B. C. D.解析：選C.設(shè)X的分布列為X01Pp2p即“X0”表示試驗失敗，“X1”表示試驗成功，由p2p1，得p，故應(yīng)選C.4(2019·嘉興市一中高考適應(yīng)性考試)隨機(jī)變量X的分布列如下表，且E(X)2，則D(2X3)()X02aPpA.2 B3 C4 D5解析：選C.由題意可得：p1，解得p，因為E(X)2，所以0×2×a×2，解得a3.D(X)(02)2×(22)2×(32)2×1.D(2X3)4D(X)4.故選C.5若隨機(jī)變量X的分布列為，其中C為常數(shù)，則下列結(jié)論正確的是()AE(X)D(X)0 BE(X)C，D(X)0CE(X)0，D(X)C DE(X)D(X)C解析：選B.E(X)C×1C，D(X)(E(X)C)2×10，故選B.6設(shè)隨機(jī)變量Y的分布列如下表：Y123Pm則“Y”的概率為()A. B.C. D.解析：選C.依題意知，m1，則m.故PP(Y2)P(Y3).7已知M1，2，3，4，若aM，bM，則函數(shù)f(x)ax3bx2x3在R上為增函數(shù)的概率是()A. B. C. D.解析：選A.記事件A為“函數(shù)f(x)ax3bx2x3在R上為增函數(shù)”因為f(x)ax3bx2x3，所以f(x)3ax22bx1.當(dāng)函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù)時，f(x)0在R上恒成立又a>0，所以(2b)24×3a4b212a0在R上恒成立，即a.當(dāng)b1時，有a，故a可取1，2，3，4，共4個數(shù)；當(dāng)b2時，有a，故a可取2，3，4，共3個數(shù)；當(dāng)b3時，有a3，故a可取3，4，共2個數(shù)；當(dāng)b4時，有a，故a無值可取綜上，事件A包含的基本事件有4329(個)又a, b1，2，3，4，所以所有的基本事件共有4×416(個)故所求事件A的概率為P(A).故選A.8一個籃球運動員投籃一次得3分的概率為a，得2分的概率為b，不得分的概率為c(a，b，c(0，1)已知他投籃一次得分的數(shù)學(xué)期望為2(不計其他得分情況)，則ab的最大值為()A. B. C. D.解析：選A.由題意知該運動員投籃一次得分的數(shù)學(xué)期望為E0×c2×b3×a3a2b2.由均值不等式知3a2b2，所以22，即ab.9一個射箭運動員在練習(xí)時只記射中9環(huán)和10環(huán)的成績，未射中9環(huán)或10環(huán)就以0環(huán)記，該運動員在練習(xí)時射中10環(huán)的概率為a，射中9環(huán)的概率為b，即未射中9環(huán)也未射中10環(huán)的概率為c(a，b，c0，1)，如果已知該運動員一次射箭射中環(huán)數(shù)的期望為9環(huán)，則當(dāng)取最小值時，c的值為()A. B. C. D0解析：選A.由該運動員一次射箭射中環(huán)數(shù)的期望為9環(huán)得10a9b9，所以10，當(dāng)且僅當(dāng)，即a9b時，取得最小值，解得此時c1ab1.10體育課的排球發(fā)球項目考試的規(guī)則是：每位學(xué)生最多可發(fā)球3次一旦發(fā)球成功，則停止發(fā)球，否則一直發(fā)到3次為止，設(shè)學(xué)生一次發(fā)球成功的概率為p(p0)，發(fā)球次數(shù)為X，若X的數(shù)學(xué)期望E(X)>，則p的取值范圍是()A. B.C. D.解析：選C.由已知條件可得P(X1)p，P(X2)(1p)p，P(X3)(1p)2p(1p)3(1p)2，則E(X)P(X1)2P(X2)3P(X3)p2(1p)p3(1p)2p23p3>，解得p>或p<，又由p(0, 1)可得p(0，)11(2019·浙江新高考聯(lián)盟聯(lián)考)已知隨機(jī)變量X的分布列是：X012Pm則m_，E(X)_解析：因為m1，所以m.所以E(X)0×1×2×.答案：12(2019·浙江新高考沖刺卷)某中學(xué)的十佳校園歌手有6名男同學(xué)，4名女同學(xué)，其中3名來自1班，其余7名來自其他互不相同的7個班，現(xiàn)從10名同學(xué)中隨機(jī)選擇3名參加文藝晚會，則選出的3名同學(xué)來自不同班級的概率為_，設(shè)X為選出3名同學(xué)中女同學(xué)的人數(shù)，則該變量X的數(shù)學(xué)期望為_解析：設(shè)“選出的3名同學(xué)是來自互不相同班級”為事件A，則P(A).隨機(jī)變量X的所有可能取值為0，1，2，3，P(Xk)(k0，1，2，3)所以隨機(jī)變量X的分布列是：X0123P隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)01×2×3×.答案：13從4雙不同鞋子中任取4只，則其中恰好有一雙的不同取法有_種，記取出的4只鞋子中成雙的鞋子對數(shù)為X，則隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)_解析：從4雙不同鞋子中任取4只，則其中恰好有一雙的不同取法有CCCC48.X0，1，2，P(X0)，P(X1)，P(X2).X的分布列為：X012PE(X)01×2×.答案：4814隨機(jī)變量的分布列如下表：101Pabc其中a，b，c成等差數(shù)列若E()，則D()的值是_解析：由題意可得解得所以D()×××.答案：15已知集合M1，2，3，4，N(a，b)|aM，bM，A是集合N中任意一點，O為坐標(biāo)原點，則直線OA與拋物線yx21有交點的概率是_解析：易知過點(0，0)與拋物線yx21相切的直線為y2x(斜率小于0的無需考慮)，集合N中共有16個元素，其中使OA斜率不小于2的有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，4)，共4個，由古典概型的概率計算公式知概率為P.答案：16將兩封信隨機(jī)投入A，B，C三個空郵箱，則A郵箱的信件數(shù)的數(shù)學(xué)期望E()_解析：將兩封信投入A，B，C三個空郵箱，投法種數(shù)是329，A中沒有信的投法種數(shù)是2×24，概率為；A中僅有一封信的投法種數(shù)是C×24，概率為；A中有兩封信的投法種數(shù)是1，概率為.故A郵箱的信件數(shù)的數(shù)學(xué)期望E()×0×1×2.答案：17(2019·溫州市高考模擬)袋中有6個編號不同的黑球和3個編號不同的白球，這9個球的大小及質(zhì)地都相同，現(xiàn)從該袋中隨機(jī)摸取3個球，則這三個球中恰有兩個黑球和一個白球的方法總數(shù)是_，設(shè)摸取的這三個球中所含的黑球數(shù)為X，則P(Xk)取最大值時，k的值為_解析：袋中有6個編號不同的黑球和3個編號不同的白球，這9個球的大小及質(zhì)地都相同，現(xiàn)從該袋中隨機(jī)摸取3個球，則這三個球中恰有兩個黑球和一個白球的方法總數(shù)是：nCC45.設(shè)摸取的這三個球中所含的黑球數(shù)為X，則X的可能取值為0，1，2，3，P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3)，所以P(Xk)取最大值時，k的值為2.答案：45218(2019·湖州市高三期末考試)袋中裝有9個形狀大小相同但顏色不同的小球，其中紅色、藍(lán)色、黃色球各3個，現(xiàn)從中隨機(jī)地連取3次球，每次取1個，記事件A為“3個球都是紅球”，事件B為“3個球顏色不全相同”(1)若每次取球后不放回，分別求出事件A和事件B的概率(用數(shù)字作答)；(2)若每次取球后放回，分別求出事件A和事件B的概率(用數(shù)字作答)解：(1)袋中裝有9個形狀大小相同但顏色不同的小球，其中紅色、藍(lán)色、黃色球各3個，現(xiàn)從中隨機(jī)地連取3次球，每次取1個，記事件A為“3個球都是紅球”，事件B為“3個球顏色不全相同”，每次取后不放回，基本事件總數(shù)n9×8×7504，事件A包含的基本事件個數(shù)mA3×2×16，事件B的對立事件是“3個球顏色全相同”，所以事件A的概率P(A)事件B的概率P(B)1.(2)每次取后放回，基本事件總數(shù)n9×9×9729，事件A包含的基本事件個數(shù)mA3×3×327，事件B的對立事件是“3個球顏色全相同”，所以事件A的概率P(A).事件B的概率P(B)1.19(2019·浙江金華十校期末調(diào)研)甲、乙同學(xué)參加學(xué)?！耙徽镜降住标J關(guān)活動，活動規(guī)則：依次闖關(guān)過程中，若闖關(guān)成功則繼續(xù)答題；若沒通關(guān)則被淘汰；每人最多闖3關(guān)；闖第一關(guān)得10分，闖第二關(guān)得20分，闖第三關(guān)得30分，一關(guān)都沒過則沒有得分已知甲每次闖關(guān)成功的概率為，乙每次闖關(guān)成功的概率為.(1)設(shè)乙的得分總數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)求甲恰好比乙多30分的概率解：(1)的取值為0，10，30，60.P(0)1，P(10)×(1)，P(30)××(1)，P(60)()3.則的分布列如下表：0103060PE()0×10×30×60×.(2)設(shè)甲恰好比乙多30分為事件A，甲恰好得30分且乙恰好得0分為事件B1，甲恰好得60分且乙恰好得30分為事件B2，則AB1B2，B1、B2為互斥事件P(A)P(B1B2)P(B1)P(B2)()2××()3×.所以，甲恰好比乙多30分的概率為.能力提升1某射擊運動員在一次射擊比賽中所得環(huán)數(shù)的分布列如下：3456Px0.10.3y已知的均值E()4.3，則y的值為()A0.6 B0.4 C0.2 D0.1解析：選C.由題意知，x0.10.3y1，又E()3x4×0.15×0.36y4.3，兩式聯(lián)立解得y0.2.2若p為非負(fù)實數(shù)，隨機(jī)變量的分布列為012Ppp則E()的最大值為()A1 B.C. D2解析：選B.由，得0p，E()p1.3設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為P(Xk)(k2，4，6，8，10)，則D(X)等于()A5 B8C10 D16解析：選B.因為E(X)(246810)6，所以D(X)(4)2(2)20222428.4已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表，若E(X)0，D(X)1，則a，b的值分別為()X1012PabcA.， B.，C.， D.，解析：選A.由題意知abc，ac0，(1)2a12c22×1，解得a，b.5設(shè)擲1枚骰子的點數(shù)為，則()AE()3.5，D()3.52BE()3.5，D()CE()3.5，D()3.5DE()3.5，D()解析：選B.隨機(jī)變量的分布列為123456P從而E()1×2×3×4×5×6×3.5，D()(13.5)2×(23.5)2×(33.5)2×(43.5)2×(53.5)2×(63.5)2×.6如圖，將一個各面都凃了油漆的正方體，切割為125個同樣大小的小正方體，經(jīng)過攪拌后，從中隨機(jī)取一個小正方體，記它的涂漆面數(shù)為X，則X的均值E(X)()A. B.C. D.解析：選B.依題意得X的取值可能為0，1，2，3，且P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3).故E(X)0×1×2×3×.7(2019·杭州高考二模)已知隨機(jī)變量的概率分布列為：012P則E()_，D()_解析：由隨機(jī)變量的概率分布列，知E()0×1×2×1，D()(01)2×(11)2×(21)2×.答案：18在一個口袋中裝有黑、白兩個球，從中隨機(jī)取一球，記下它的顏色，然后放回，再取一球，又記下它的顏色，則這兩次取出白球數(shù)X的分布列為_解析：X的所有可能值為0，1，2.P(X0)，P(X1)，P(X2).所以X的分布列為X012P答案：X012P9.在集合A2，3中隨機(jī)取一個元素m，在集合B1，2，3中隨機(jī)取一個元素n，得到點P(m，n)，則點P在圓x2y29內(nèi)部的概率為_解析：點P(m，n)共有(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，6種情況，只有(2，1)，(2，2)這2種情況滿足在圓x2y29內(nèi)部，所以所求概率為.答案：10一個籃球運動員投籃一次得3分的概率為a，得2分的概率為b，不得分的概率為c，a，b，c(0，1)，已知他投籃得分的數(shù)學(xué)期望是2，則的最小值為_解析：由數(shù)學(xué)期望的定義可知3a2b2，所以(3a2b)·，當(dāng)且僅當(dāng)即a，b時取得等號答案：11在某項大型活動中，甲、乙等五名志愿者被隨機(jī)地分到A，B，C，D四個不同的崗位服務(wù)，每個崗位至少有一名志愿者(1)求甲、乙兩人同時參加A崗位服務(wù)的概率；(2)求甲、乙兩人不在同一個崗位服務(wù)的概率；(3)求五名志愿者中僅有一人參加A崗位服務(wù)的概率解：(1)記“甲、乙兩人同時參加A崗位服務(wù)”為事件EA，那么P(EA)，即甲、乙兩人同時參加A崗位服務(wù)的概率是.(2)記“甲、乙兩人同時參加同一崗位服務(wù)”為事件E，那么P(E)，所以甲、乙兩人不在同一崗位服務(wù)的概率是P()1P(E).(3)有兩人同時參加A崗位服務(wù)的概率P2，所以僅有一人參加A崗位服務(wù)的概率P11P2.12小波以游戲方式?jīng)Q定是參加學(xué)校合唱團(tuán)還是參加學(xué)校排球隊游戲規(guī)則為：以O(shè)為起點，再從A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8(如圖)，這8個點中任取兩點分別為終點得到兩個向量，記這兩個向量的數(shù)量積為X.若X0就參加學(xué)校合唱團(tuán)，否則就參加學(xué)校排球隊(1)求小波參加學(xué)校合唱團(tuán)的概率；(2)求X的分布列解：(1)從8個點中任取兩點為向量終點的不同取法共有C28(種)，當(dāng)X0時，兩向量夾角為直角，共有8種情形，所以小波參加學(xué)校合唱團(tuán)的概率為P(X0).(2)兩向量數(shù)量積X的所有可能取值為2，1，0，1，X2時，有2種情形；X1時，有8種情形；X1時，有10種情形所以X的分布列為X2101P13.某小組共10人，利用假期參加義工活動已知參加義工活動次數(shù)為1，2，3的人數(shù)分別為3，3，4.現(xiàn)從這10人中隨機(jī)選出2人作為該組代表參加座談會(1)設(shè)A為事件“選出的2人參加義工活動次數(shù)之和為4”，求事件A發(fā)生的概率；(2)設(shè)X為選出的2人參加義工活動次數(shù)之差的絕對值，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望與方差解：(1)由已知，有P(A).所以，事件A發(fā)生的概率為.(2)隨機(jī)變量X的所有可能取值為0，1，2.P(X0)，P(X1)，P(X2).所以，隨機(jī)變量X的分布列為X012P隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)0×1×2×1.方差D(X)(01)2(11)2(21)2.14袋中有20個大小相同的球，其中記上0號的有10個，記上n號的有n個(n1，2，3，4)，現(xiàn)從袋中任取一球，X表示所取球的標(biāo)號(1)求X的分布列、期望和方差；(2)若YaXb，E(Y)1，D(Y)11，試求a，b的值解：(1)X的取值為0，1，2，3，4，其分布列為X01234P所以E(X)0×1×2×3×4×1.5，D(X)(01.5)2×(11.5)2×(21.5)2×(31.5)2×(41.5)2×2.75.(2)由D(Y)a2D(X)得2.75a211，得a±2，又E(Y)aE(X)b，所以當(dāng)a2時，由12×1.5b，得b2；當(dāng)a2時，由12×1.5b，得b4，所以或- 13 -