（浙江專用）2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第九章 平面解析幾何 第7講 拋物線練習(xí)（含解析）

第7講 拋物線 基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1已知點(diǎn)A(2，3)在拋物線C：y22px(p>0)的準(zhǔn)線上，記C的焦點(diǎn)為F，則直線AF的斜率為()AB1CD解析：選C.由已知，得準(zhǔn)線方程為x2，所以F的坐標(biāo)為(2，0)又A(2，3)，所以直線AF的斜率為k.2已知拋物線C1：x22py(p>0)的準(zhǔn)線與拋物線C2：x22py(p>0)交于A，B兩點(diǎn)，C1的焦點(diǎn)為F，若FAB的面積等于1，則C1的方程是()Ax22yBx2yCx2yDx2y解析：選A.由題意得，F(xiàn)，不妨設(shè)A，B(p，)，所以SFAB·2p·p1，則p1，即拋物線C1的方程是x22y，故選A.3(2019·麗水調(diào)研)已知等邊ABF的頂點(diǎn)F是拋物線C：y22px(p0)的焦點(diǎn)，頂點(diǎn)B在拋物線的準(zhǔn)線l上且ABl，則點(diǎn)A的位置()A在C開口內(nèi)B在C上C在C開口外D與p值有關(guān)解析：選B.設(shè)B，由已知有AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則A，ABF是邊長(zhǎng)|AB|2p的等邊三角形，即|AF| 2p，所以p2m24p2，所以m±p，所以A，代入y22px中，得點(diǎn)A在拋物線C上，故選B.4已知拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在拋物線上，且2x2x1x3，則有()A|FP1|FP2|FP3|B|FP1|2|FP2|2|FP3|2C|FP1|FP3|2|FP2|D|FP1|·|FP3|FP2|2解析：選C.根據(jù)拋物線的定義知|FP1|x1，|FP2|x2，|FP3|x3，所以|FP1|FP3|(x1x3)p2x2p22|FP2|.5. 拋物線y24x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，經(jīng)過F且斜率為的直線與拋物線在x軸上方的部分相交于點(diǎn)A，AKl，垂足為K，則AKF的面積是()A4B3C4D8解析：選C.F(1，0)，直線AF：y(x1)，代入y24x得3x210x30，解得x3或x.由于點(diǎn)A在x軸上方且直線的斜率為，所以其坐標(biāo)為(3，2)因?yàn)閨AF|AK|314，AF的斜率為，即傾斜角為60°，所以KAF60°，所以AKF為等邊三角形，所以AKF的面積為×424.6(2019·杭州市高考模擬)設(shè)傾斜角為的直線l經(jīng)過拋物線：y22px(p>0)的焦點(diǎn)F，與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)A在x軸上方，點(diǎn)B在x軸下方若m，則cos 的值為()ABCD解析：選A.設(shè)拋物線y22px(p>0)的準(zhǔn)線為l：x.如圖所示，分別過點(diǎn)A，B作AMl，BNl，垂足分別為M，N.在三角形ABC中，BAC等于直線AB的傾斜角，由m，|AF|m|BF|，|AB|AF|BF|(m1)|BF|，根據(jù)拋物線的定義得：|AM|AF|m|BF|，|BN|BF|，所以|AC|AM|MC|m|BF|BF|(m1)|BF|，在直角三角形ABC中，cos cos BAC，故選A.7已知拋物線y22px(p>0)上一點(diǎn)M到焦點(diǎn)F的距離等于2p，則直線MF的斜率為_解析：設(shè)M(xM，yM)，由拋物線定義可得|MF|xM2p，解得xM，代入拋物線方程可得yM±p，則直線MF的斜率為±.答案：±8已知拋物線C的方程為y22px(p>0)，·M的方程為x2y28x120，如果拋物線C的準(zhǔn)線與·M相切，那么p的值為_解析：將·M的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程：(x4)2y24，圓心坐標(biāo)為(4，0)，半徑r2，又因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線方程為x，所以2，p12或4.答案：12或49若點(diǎn)P在拋物線y2x上，點(diǎn)Q在圓(x3)2y21上，則|PQ|的最小值為_解析：由題意得拋物線與圓不相交，且圓的圓心為A(3，0)，則|PQ|PA|AQ|PA|1，當(dāng)且僅當(dāng)P，Q，A三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)|PA|取得最小值時(shí)，|PQ|最小設(shè)P(x0，y0)，則yx0，|PA| ，當(dāng)且僅當(dāng)x0時(shí)，|PA|取得最小值，此時(shí)|PQ|取得最小值1.答案：110(2019·浙江省名校協(xié)作體高三聯(lián)考)拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，且過點(diǎn)(4，4)，焦點(diǎn)為F.(1)求拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，M是PF的中點(diǎn)，求M的軌跡方程解：(1)拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，且過點(diǎn)(4，4)，設(shè)拋物線解析式為y22px，把(4，4)代入，得162×4p，所以p2，所以拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為y24x，焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(1，0)(2)設(shè)M(x，y)，P(x0，y0)，F(xiàn)(1，0)，M是PF的中點(diǎn)，則x012x，0y02y，所以x02x1，y02y，因?yàn)镻是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，所以y4x0，所以(2y)24(2x1)，化簡(jiǎn)得y22x1.所以M的軌跡方程為y22x1.11已知拋物線y22px(p>0)的焦點(diǎn)為F，A是拋物線上橫坐標(biāo)為4，且位于x軸上方的點(diǎn)，A到拋物線準(zhǔn)線的距離等于5，過A作AB垂直于y軸，垂足為B，OB的中點(diǎn)為M.(1)求拋物線的方程；(2)若過M作MNFA，垂足為N，求點(diǎn)N的坐標(biāo)解：(1)拋物線y22px的準(zhǔn)線為x，于是45，所以p2.所以拋物線方程為y24x.(2)因?yàn)辄c(diǎn)A的坐標(biāo)是(4，4)，由題意得B(0，4)，M(0，2)又因?yàn)镕(1，0)，所以kFA，因?yàn)镸NFA，所以kMN.又FA的方程為y(x1)，MN的方程為y2x，聯(lián)立，解得x，y，所以點(diǎn)N的坐標(biāo)為.能力提升1(2019·臺(tái)州書生中學(xué)月考)拋物線y22px(p>0)的焦點(diǎn)為F，已知點(diǎn)A，B為拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足AFB120°，過AB的中點(diǎn)M作拋物線準(zhǔn)線l的垂線MN，垂足為N，則的最大值為()AB1CD2解析：選A.過A、B分別作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為A1，B1，連接AF、BF，由拋物線的定義知|MN|(|AA1|BB1|)(|AF|BF|)，在AFB中，|AB|2|AF|2|BF|22|AF|BF|·cos 120°|AF|2|BF|2|AF|BF|.所以·×，當(dāng)且僅當(dāng)|AF|BF|時(shí)取等號(hào)，所以的最大值為.2已知F為拋物線y2x的焦點(diǎn)，點(diǎn)A，B在該拋物線上且位于x軸的兩側(cè)，·2(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則ABO與AFO面積之和的最小值是()A2B3CD解析：選B.設(shè)A(x1，)，B(x2，)，則SAFO×.由·2得x1x22，即x1x220，解得x1x24，所以(|·|)2(xx1)(xx2)xxx1x2·(x1x2)x1x2204(x1x2)，因?yàn)閏osAOB，所以sinAOB.所以SAOB|sinAOB| ，所以SABOSAFO23，當(dāng)，即x1時(shí)等號(hào)成立3如圖，正方形ABCD和正方形DEFG的邊長(zhǎng)分別為a，b(ab)，原點(diǎn)O為AD的中點(diǎn)，拋物線y22px(p0)經(jīng)過C，F(xiàn)兩點(diǎn)，則_解析：依題知C，F(xiàn)，因?yàn)辄c(diǎn)C，F(xiàn)在拋物線上，所以兩式相除得210，解得1或1(舍)答案：14(2019·臺(tái)州市高考模擬)如圖，過拋物線y24x的焦點(diǎn)F作直線與拋物線及其準(zhǔn)線分別交于A，B，C三點(diǎn)，若4，則|_解析：分別過A，B作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為A1，B1，則DFp2，由拋物線的定義可知FBBB1，AFAA1，因?yàn)?，所以，所以FBBB1.所以FC4FB6，所以cos DFC，所以cos A1AC，解得AF3，所以ABAFBF3.答案：5已知拋物線x24y的焦點(diǎn)為F，P為該拋物線在第一象限內(nèi)的圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(1)當(dāng)|PF|2時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(2)求點(diǎn)P到直線yx10的距離的最小值解：(1)由拋物線x24y的焦點(diǎn)為F，P為該拋物線在第一象限內(nèi)的圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，故設(shè)P(a0)，因?yàn)閨PF|2，結(jié)合拋物線的定義得12，所以a2，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，1)(2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(a0)，則點(diǎn)P到直線yx10的距離為.因?yàn)閍10(a2)29，所以當(dāng)a2時(shí)，a10取得最小值9，故點(diǎn)P到直線yx10的距離的最小值為.6(2019·杭州寧波二市三校聯(lián)考)已知A，B，C是拋物線y22px(p0)上三個(gè)不同的點(diǎn)，且ABAC.(1)若A(1，2)，B(4，4)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)若拋物線上存在點(diǎn)D，使得線段AD總被直線BC平分，求點(diǎn)A的坐標(biāo)解：(1)因?yàn)锳(1，2)在拋物線y22px(p0)上，所以p2.所以拋物線方程為y24x.設(shè)C，則由kAB·kAC1，即·1，解得t6，即C(9，6)(2)設(shè)A(x0，y0)，B，C，則y2px0，直線BC的方程為，即(y1y2)y2pxy1y2，由kAB·kAC·1，得y0(y1y2)y1y2y4p2，與直線BC的方程聯(lián)立，化簡(jiǎn)，得(y1y2)(yy0)2p(x2px0)，故直線BC恒過點(diǎn)E(x02p，y0)因此直線AE的方程為y(xx0)y0，代入拋物線的方程y22px(p0)，得點(diǎn)D的坐標(biāo)為.因?yàn)榫€段AD總被直線BC平分，所以解得x0，y0±p，即點(diǎn)A的坐標(biāo)為.10