（文理通用）江蘇省2020高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題一 三角函數(shù)、平面向量與解三角形 第5講 三角函數(shù)的實際應(yīng)用練習(xí)

第5講 三角函數(shù)的實際應(yīng)用1一船自西向東勻速航行，上午10時到達燈塔P的南偏西75°，距燈塔68 n mile的M處，下午2時到達這座燈塔的東南方向的N處，則此船航行的速度為_n mile/h.解析：如圖，由題意知MPN75°45°120°，PNM45°.在PMN中，MN68×34 n mile.又由M到N所用的時間為14104小時，此船的航行速度v n mile/h.答案：2在200米高的山頂上，測得山下一塔塔頂和塔底的俯角分別是30°，60°，則塔高為_米解析：如圖所示，設(shè)AB為山高，CD為塔高，則AB200，ADM30°，ACB60°，所以BC，AMDMtan 30°BCtan 30°.所以CDABAM.答案：3.為了研究鐘表與三角函數(shù)的關(guān)系，建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)秒針位置為P(x，y)若初始位置為P0，當(dāng)秒針從P0(注：此時t0)開始走時，點P的縱坐標(biāo)y與時間t的函數(shù)解析式為_解析：由題意知，函數(shù)的周期為T60，|.設(shè)函數(shù)解析式為ysin.初始位置為P0，t0時，y，sin ，可取，函數(shù)解析式可以是ysin.又由秒針順時針轉(zhuǎn)動可知，y的值從t0開始要先逐漸減小，故ysin.答案：ysin4已知某海濱浴場海浪的高度y(米)是時間t(0t24，單位：小時)的函數(shù)，記作：yf(t)，下表是某日各時的浪高數(shù)據(jù)：t(時)0 3 6 9 12 15 18 21 24 y(米)1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1 0.5 0.99 1.5經(jīng)過長期觀測，yf(t)的曲線可近似地看成是函數(shù)yAcos tb的圖象(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求函數(shù)yAcos tb的最小正周期T、振幅A及函數(shù)表達式；(2)依據(jù)規(guī)定，當(dāng)海浪高度高于1米時才對沖浪愛好者開放，請依據(jù)(1)的結(jié)論，判斷一天內(nèi)的上午8：00時至晚上20：00時之間，有多少時間可供沖浪者進行運動？解：(1)由表中數(shù)據(jù)知最小正周期T12.所以.由t0，y1.5，得Ab1.5.由t3，y1.0，得b1.0.聯(lián)立，可得A0.5，b1，所以振幅A為，ycost1.(2)由cost1>1，得cost>0.所以2k<t<2k，kZ，即12k3<t<12k3，kZ，因為0t24，所以k可取值0,1,2，得0t<3或9<t<15或21<t24.所以在規(guī)定時間上午8：00至晚上20：00之間有6個小時時間可供沖浪者運動，即上午9：00至下午15：00.5(2019·南京、鹽城二模)某公園內(nèi)有一塊以O(shè)為圓心、半徑為20米的圓形區(qū)域為豐富市民的業(yè)余文化生活，現(xiàn)提出如下設(shè)計方案：如圖，在圓形區(qū)域內(nèi)搭建露天舞臺，舞臺為扇形OAB區(qū)域，其中兩個端點A，B分別在圓周上；觀眾席為梯形ABQP內(nèi)且在圓O外的區(qū)域，其中APABBQ，PABQBA，且AB，PQ在點O的同側(cè)，為保證視聽效果，要求觀眾席內(nèi)每一個觀眾到舞臺O處的距離都不超過60米設(shè)OAB，.問：對于任意，上述設(shè)計方案是否均能符合要求？解：過O作OH垂直于AB，垂足為H(圖略)在RtOHA中，OA20，OAH，所以AH20cos ，因此AB2AH40cos .由圖可知，點P處觀眾離點O處最遠(yuǎn)在OAP中，由余弦定理可知OP2OA2AP22OA·AP·cos 400(40cos )21 600cos ·400(6cos22sin cos 1)400(3cos 2sin 24)800sin1 600.因為，所以當(dāng)2時，即時，(OP2)max8001 600，即(OP)max2020.因為2020<60，所以觀眾席內(nèi)每一個觀眾到舞臺O處的距離都不超過60米，答：對于任意，上述設(shè)計方案均能符合要求6(2019·啟東期末)如圖，某公園內(nèi)有一塊矩形綠地區(qū)域ABCD，已知AB100米，BC80米，以AD，BC為直徑的兩個半圓內(nèi)種花草，其他區(qū)域種植苗木現(xiàn)決定在綠地區(qū)域內(nèi)修建由直路BN，MN和弧形路MD三部分組成的觀賞道路，其中直路MN與綠地區(qū)域邊界AB平行，直路為水泥路面，其工程造價為每米2a元，弧形路為鵝卵石路面，其工程造價為每米3a元，修建的總造價為W元，設(shè)NBC.(1)求W關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；(2)如何修建道路，可使修建的總造價最少？并求最少總造價解：(1)連結(jié)NC，AM，設(shè)AD的中點為O，連結(jié)MO，過N作ENBC，垂足為E.由BC為直徑知，BNC90°，又BC80米，NBC，所以BN80cos 米，NEBN sin 80sin cos ，因為MNAB，AB100米，所以MNAB2NE100160sin cos 米，由于DOM2MAD2，OM40米所以40×280米，因為直路的工程造價為每米2a元，弧形路的工程造價為每米3a元，所以總造價為W2a(BNMN)3a2a(80cos 100160sin cos )3a·8040a(4cos 8sin cos 65).所以W關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為W40a(4cos 8sin cos 65).(2)設(shè)f()4cos 8sin cos 65,0<<.則f()4sin 8cos28sin2616sin24sin 22(4sin 1)(2sin 1)令f()0，得.列表如下：f()0f()極小值所以，當(dāng)時，f()取得最小值此時，總造價W最少，最少總造價為(20040)a元答：(1)W關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為W40a(4cos 8sin cos 605)；(2)當(dāng)時，修建的總造價最少，最少總造價為(20040)a元7.某避暑山莊擬對一半徑為1百米的圓形地塊(如圖)進行改造，擬在該地塊上修建一個等腰梯形的游泳池ABCD，其中ABCD，DAB60°，圓心O在梯形內(nèi)部，設(shè)DAO.當(dāng)該游泳池的面積與周長之比最大時為“最佳游泳池”(1)求梯形游泳池的面積S關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并指明定義域；(2)求當(dāng)該游泳池為“最佳游泳池”時tan 的值解：(1)如圖，分別取AB，CD的中點E，F(xiàn)，連結(jié)EF，OD，由平面幾何知識可得E，O，F(xiàn)三點共線，且EFAB，EFCD.易知AB2AE2cos(60°)，DC2DF2cos(120°)，EFOEOFsin(60°)sin(120°)cos ，且得30°60°.則梯形ABCD的面積S(ABCD)×EF2cos(60°)2cos(120°)×cos 3sin cos (百米2)，30°60°.(2)易知AD2cos ，由(1)可得梯形ABCD的周長lABCD2AD2sin 4cos (百米)設(shè)y，30°60°，則y.由y0得tan3.令tan 0 ，則當(dāng)30°0時，y0，y單調(diào)遞增，當(dāng)060°時，y0，y單調(diào)遞減，所以當(dāng)0，即tan 時，該游泳池為“最佳游泳池”- 6 -