（京津魯瓊專用）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 基礎(chǔ)考點 自主練透 第3講 復(fù)數(shù)與平面向量練習(xí)（含解析）

第3講復(fù)數(shù)與平面向量復(fù)數(shù)考法全練1(2019·高考全國卷)若z(1i)2i，則z()A1iB1iC1iD1i解析：選D.由z(1i)2i，得zi(1i)1i.故選D.2(2019·高考全國卷)設(shè)zi(2i)，則z()A12iB12iC12iD12i解析：選D.因為zi(2i)12i，所以z12i，故選D.3(一題多解)(2019·南寧模擬)設(shè)z2i，則|z|()A0BC1D解析：選C.法一：因為z2i2ii2ii，所以|z|1，故選C.法二：因為z2i，所以|z|1.故選C.4(2019·漳州模擬)已知i是虛數(shù)單位，且z，則z的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在()A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限解析：選A.z2i，則z2i，所以z對應(yīng)的點在第一象限故選A.5(2019·高考全國卷)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|zi|1，z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(x，y)，則()A(x1)2y21B(x1)2y21Cx2(y1)21Dx2(y1)21解析：選C.由已知條件，可得zxyi(x，yR)，因為|zi|1，所以|xyii|1，所以x2(y1)21.故選C.6(2019·高考江蘇卷)已知復(fù)數(shù)(a2i)(1i)的實部為0，其中i為虛數(shù)單位，則實數(shù)a的值是_解析：(a2i)(1i)a2(a2)i，因為其實部是0，故a2.答案：2復(fù)數(shù)代數(shù)形式的2種運算方法(1)復(fù)數(shù)的乘法：復(fù)數(shù)的乘法類似于多項式的四則運算，可將含有虛數(shù)單位i的看作一類項，不含i的看作另一類項，分別合并同類項即可(2)復(fù)數(shù)的除法：除法的關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，解題時要注意把i的冪寫成最簡形式復(fù)數(shù)的除法類似初中所學(xué)化簡分數(shù)常用的“分母有理化”，其實質(zhì)就是“分母實數(shù)化”提醒(1)復(fù)數(shù)運算的重點是除法運算，其關(guān)鍵是進行分母實數(shù)化(2)對一些常見的運算，如(1±i)2±2i，i，i等要熟記(3)利用復(fù)數(shù)相等abicdi列方程時，注意a，b，c，dR的前提條件 平面向量的線性運算考法全練1(一題多解)(2019·合肥市第二次質(zhì)量檢測)在ABC中，若a，b，則()AabBabCabDab解析：選A.通解：如圖，過點D分別作AC，AB的平行線交AB，AC于點E，F(xiàn)，則四邊形AEDF為平行四邊形，所以.因為，所以，所以ab，故選A.優(yōu)解一：()ab，故選A.優(yōu)解二：由，得()，所以()ab，故選A.2(一題多解)(2019·廣東六校第一次聯(lián)考)如圖，在ABC中，P是BN上一點，若t，則實數(shù)t的值為()ABCD解析：選C.通解：因為，所以.設(shè)，則()(1)，又t，所以t(1)，得，解得t，故選C.優(yōu)解：因為，所以，所以tt.因為B，P，N三點共線，所以t1，所以t，故選C.3已知P為ABC所在平面內(nèi)一點，0，|2，則ABC的面積等于()AB2C3D4解析：選B.由|得，PBC是等腰三角形，取BC的中點為D，則PDBC，又0，所以()2，所以PDAB1，且PDAB，故ABBC，即ABC是直角三角形，由|2，|1可得|，則|2，所以ABC的面積為×2×22，故選B.4已知向量a(1，2)，b(m，1)，若a(ab)，則實數(shù)m的值為_解析：ab(1m，1)，因為a(ab)，所以2(1m)1，解得m.答案：5(2019·鄭州市第一次質(zhì)量預(yù)測)如圖，在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為邊AB，BC的中點，連接CE，DF交于點G.若(，R)，則_解析：由題圖可設(shè)x(x>0)，則x()x()x.因為，與不共線，所以，x，所以.答案：平面向量線性運算的2種技巧(1)對于平面向量的線性運算問題，要盡可能轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中，靈活運用三角形法則、平行四邊形法則，緊密結(jié)合圖形的幾何性質(zhì)進行運算(2)在證明兩向量平行時，若已知兩向量的坐標形式，常利用坐標運算來判斷；若兩向量不是以坐標形式呈現(xiàn)的，常利用共線向量定理(當b0時，ab存在唯一實數(shù)，使得ab)來判斷提醒向量線性運算問題的2個關(guān)注點(1)注意盡可能地將向量轉(zhuǎn)化到同一個平行四邊形或三角形中，選用從同一頂點出發(fā)的基本向量或首尾相接的向量，運用向量加、減法運算及數(shù)乘運算來求解(2)注意結(jié)論的使用：O為直線AB外一點，若點P在直線AB上，則有(1)；若點P滿足，則有. 平面向量的數(shù)量積考法全練1(2019·高考全國卷)已知(2，3)，(3，t)，|1，則·()A3B2C2D3解析：選C.因為(3，t)(2，3)(1，t3)，|1，所以1，所以t3，所以(1，0)，所以·2×13×02.故選C.2(2019·高考全國卷)已知非零向量a，b滿足|a|2|b|，且(ab)b，則a與b的夾角為()ABCD解析：選B.由(ab)b，可得(ab)·b0，所以a·bb2.因為|a|2|b|，所以cosa，b.因為0a，b，所以a與b的夾角為.故選B.3(一題多解)(2019·安徽五校聯(lián)盟第二次質(zhì)檢)在ABC中，AB3，AC2，BAC120°，點D為BC邊上一點，且2，則·()ABC1D2解析：選C.法一：因為2，所以2()，所以，則···2×3×2××321，故選C.法二：以A為坐標原點，AB所在的直線為x軸建立平面直角坐標系，如圖所示則A(0，0)，B(3，0)，C(1，)，因為2，所以(4，)，則D，所以(3，0)，則·3×01，故選C.4(2019·高考全國卷)已知a，b為單位向量，且a·b0，若c2ab，則cosa，c_解析：由題意，得cosa，c.答案：5已知向量a，b滿足|a|1，|b|2，則|ab|ab|的最小值是_，最大值是_解析：已知|a|1，|b|2，則(|ab|ab|)22(a2b2)2|ab|ab|102·102.由|a|1，|b|2，得2a·b2，則(a·b)20，4，所以(|ab|ab|)216，20，所以|ab|ab|4，2，所以|ab|ab|的最小值是4，最大值是2.答案：426已知平面內(nèi)三個不共線向量a，b，c兩兩夾角相等，且|a|b|1，|c|3，則|abc|_解析：由平面內(nèi)三個不共線向量a，b，c兩兩夾角相等，可得夾角均為，所以|abc|2a2b2c22a·b2b·c2a·c1192×1×1×cos 2×1×3×cos 2×1×3×cos 4，所以|abc|2.答案：2平面向量數(shù)量積問題的難點突破(1)借“底”數(shù)字化，要先選取一組合適的基底，這是把平面向量“數(shù)化”的基礎(chǔ)(2)借“系”坐標化，數(shù)形結(jié)合，建立合適的平面直角坐標系，將向量的數(shù)量積運算轉(zhuǎn)化為坐標運算 平面向量在幾何中的應(yīng)用考法全練1(一題多解)(2019·鄭州市第二次質(zhì)量預(yù)測)在RtABC中，C90°，CB2，CA4，P在邊AC的中線BD上，則·的最小值為()AB0C4D1解析：選A.通解：因為BC2，AC4，C90°，所以AC的中線BD2，且CBD45°.因為點P在邊AC的中線BD上，所以設(shè)(01)，如圖所示，所以·()·()··2·2|·|cos 135°2×(2)28248，當時，·取得最小值，故選A.優(yōu)解：依題意，以C為坐標原點，分別以AC，BC所在的直線為x，y軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，則B(0，2)，D(2，0)，所以直線BD的方程為yx2，因為點P在邊AC的中線BD上，所以可設(shè)P(t，2t)，(0t2)，所以(t，2t)，(t，t)，所以·t2t(2t)2t22t2，當t時，·取得最小值，故選A.2(一題多解)(2019·長春市質(zhì)量監(jiān)測(二)如圖，正方形ABCD的邊長為2，E為BC邊的中點，F(xiàn)為CD邊上一點，若·|2，則|()A3B5CD解析：選D.法一：以A為坐標原點，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，建立平面直角坐標系如圖所示，則A(0，0)，E(2，1)設(shè)|x，則F(x，2)，故(x，2)，(2，1)因為·|2，所以(x，2)·(2，1)2x25，解得x，所以|，故選D.法二：連接EF，因為·|cosEAF|2，所以|cosEAF|，所以EFAE.因為E是BC的中點，所以BECE1.設(shè)DFx，則CF2x.在RtAEF中，AE2EF2AF2，即2212(2x)21222x2，解得x，所以AF.故選D.3(2019·江蘇南通基地學(xué)校聯(lián)考改編)如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A(，1)在以原點O為圓心的圓上已知圓O與y軸正半軸的交點為P，延長AP至點B，使得AOB90°，則·_，|_解析：由題可得圓O的半徑r2，所以P(0，2)，則AP所在直線方程為y2(x0)，即yx2.設(shè)B，則(，1)，.由AOB90°可得·0，所以xx2x20，解得x，所以B(，3)，所以(，1)，所以·×1×(1)2，|(2，0)|2.答案：22用向量解決平面幾何問題的3個步驟(1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題(2)通過向量運算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如平行、垂直和距離、夾角等問題(3)把運算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系提醒關(guān)注2個常用結(jié)論的應(yīng)用(1)ABC中，AD是BC邊上的中線，則()(2)ABC中，O是ABC內(nèi)一點，若0，則O是ABC的重心 一、選擇題1若i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的實部與虛部之積為()ABCiDi解析：選B.因為i，所以其實部為，虛部為，實部與虛部之積為.故選B.2(2019·武昌區(qū)調(diào)研考試)已知向量a(2，1)，b(2，x)不平行，且滿足(a2b)(ab)，則x()ABC1或D1或解析：選A.因為(a2b)(ab)，所以(a2b)·(ab)0，所以|a|2a·b2|b|20，因為向量a(2，1)，b(2，x)，所以54x2(4x2)0，解得x1或x，因為向量a，b不平行，所以x1，所以x，故選A.3(2019·廣州市綜合檢測(一)a，b為平面向量，已知a(2，4)，a2b(0，8)，則a，b夾角的余弦值等于()ABCD解析：選B.設(shè)b(x，y)，則有a2b(2，4)(2x，2y)(22x，42y)(0，8)，所以，解得，故b(1，2)，|b|，|a|2，cosa，b，故選B.4(2019·廣東六校第一次聯(lián)考)在ABC中，D為AB的中點，點E滿足4，則()ABCD解析：選A.因為D為AB的中點，點E滿足4，所以，所以()，故選A.5(2019·湖南省五市十校聯(lián)考)已知向量a，b滿足|a|1，|b|2，a·(a2b)0，則|ab|()ABC2D解析：選A.由題意知，a·(a2b)a22a·b12a·b0，所以2a·b1，所以|ab|.故選A.6已知(1i)·zi(i是虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于()A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限解析：選A.因為(1i)·zi，所以z，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標為，所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第一象限，故選A.7已知向量a與b的夾角為120°，且|a|b|2，則a在ab方向上的投影為()A1BCD解析：選B.由向量的數(shù)量積公式可得a·(ab)|a|ab|cosa，ab，所以a在ab方向上的投影|a|·cosa，ab.又a·b|a|·|b|cosa，b2×2×cos 120°2，所以|a|·cosa，ab，故選B.8在如圖所示的矩形ABCD中，AB4，AD2，E為線段BC上的點，則·的最小值為()A12B15C17D16解析：選B.以B為坐標原點，BC所在直線為x軸，BA所在直線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，則A(0，4)，D(2，4)，設(shè)E(x，0)(0x2)，所以·(x，4)·(x2，4)x22x16(x1)215，于是當x1，即E為BC的中點時，·取得最小值15，故選B.9(一題多解)(2019·貴陽模擬)如圖，在直角梯形ABCD中，AB4，CD2，ABCD，ABAD，E是BC的中點，則·()()A8 B12C16D20解析：選D.法一：設(shè)a，b，則a·b0，a216，ba，()ab，所以·()a·a·a2a·ba220，故選D.法二：以A為坐標原點建立平面直角坐標系(如圖所示)，設(shè)ADt(t>0)，則B(4，0)，C(2，t)，E，所以·()(4，0)·(4，0)·20，故選D.10(一題多解)已知a，b，e是平面向量，e是單位向量若非零向量a與e的夾角為，向量b滿足b24e·b30，則|ab|的最小值是()A1B1C2D2解析：選A.法一：設(shè)O為坐標原點，a，b(x，y)，e(1，0)，由b24e·b30得x2y24x30，即(x2)2y21，所以點B的軌跡是以C(2，0)為圓心，1為半徑的圓因為a與e的夾角為，所以不妨令點A在射線yx(x>0)上，如圖，數(shù)形結(jié)合可知|ab|min|1.故選A.法二：由b24e·b30得b24e·b3e2(be)·(b3e)0.設(shè)b，e，3e，所以be，b3e，所以·0，取EF的中點為C，則B在以C為圓心，EF為直徑的圓上，如圖設(shè)a，作射線OA，使得AOE，所以|ab|(a2e)(2eb)|a2e|2eb|1.故選A.11(多選)下列命題正確的是()A若復(fù)數(shù)z1，z2的模相等，則z1，z2是共軛復(fù)數(shù)Bz1，z2都是復(fù)數(shù)，若z1z2是虛數(shù)，則z1不是z2的共軛復(fù)數(shù)C復(fù)數(shù)z是實數(shù)的充要條件是zz(z是z的共軛復(fù)數(shù))D已知復(fù)數(shù)z112i，z21i，z332i(i是虛數(shù)單位)，它們對應(yīng)的點分別為A，B，C，O為坐標原點，若xy(x，yR)，則xy1解析：選BC.對于A，z1和z2可能是相等的復(fù)數(shù)，故A錯誤；對于B，若z1和z2是共軛復(fù)數(shù)，則相加為實數(shù)，不會為虛數(shù)，故B正確；對于C，由abiabi得b0，故C正確；對于D，由題可知，A(1，2)，B(1，1)，C(3，2)，建立等式(3，2)(xy，2xy)，即解得xy5，故D錯誤故選BC.12(多選)已知等邊三角形ABC內(nèi)接于O，D為線段OA的中點，則()ABCD解析：選AC.如圖所示，設(shè)BC中點為E，則()·.故選AC.13(多選)已知P為ABC所在平面內(nèi)一點，0，|2，則()AABC是直角三角形BABC是等腰三角形CABC的面積為2DABC的面積為解析：選AC.由|得，PBC是等腰三角形，取BC的中點D，連接PD，則PDBC，又0，所以()2，所以PDAB1，且PDAB，故ABBC，即ABC是直角三角形，由|2，|1可得|，則|2，所以ABC的面積為×2×22.二、填空題14已知復(fù)數(shù)z滿足z(1i)21i(i為虛數(shù)單位)，則|z|_解析：因為z，所以|z|.答案：15(2019·山東師大附中二模改編)已知向量a，b，其中|a|，|b|2，且(ab)a，則向量a和b的夾角是_，a·(ab)_解析：由題意，設(shè)向量a，b的夾角為.因為|a|，|b|2，且(ab)a，所以(ab)·a|a|2a·b|a|2|a|b|cos 32·cos 0，解得cos .又因為0，所以.則a·(ab)|a|2|a|·|b|·cos 32×6.答案：616(2019·濟南市學(xué)習(xí)質(zhì)量評估)已知|a|b|2，a·b0，c(ab)，|dc|，則|d|的取值范圍是_解析：不妨令a(2，0)，b(0，2)，則c(1，1)設(shè)d(x，y)，則(x1)2(y1)22，點(x，y)在以點(1，1)為圓心、為半徑的圓上，|d|表示點(x，y)到坐標原點的距離，故|d|的取值范圍為0，2答案：0，217在ABC中，(3)，則角A的最大值為_解析：因為(3)，所以(3)·0，(3)·()0，24·320，即cos A2，當且僅當|時等號成立因為0A，所以0A，即角A的最大值為.答案： - 15 -