高考數學 考前3個月知識方法專題訓練 第一部分 知識方法篇 專題9 平面直角坐標與不等式 第35練 坐標系與參數方程 文

第35練坐標系與參數方程題型分析高考展望高考主要考查平面直角坐標系中的伸縮變換、直線和圓的極坐標方程；參數方程與普通方程的互化，常見曲線的參數方程及參數方程的簡單應用以極坐標、參數方程與普通方程的互化為主要考查形式，同時考查直線與曲線位置關系等解析幾何知識體驗高考1(2016課標全國甲)在直角坐標系xOy中，圓C的方程為(x6)2y225.(1)以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求C的極坐標方程；(2)直線l的參數方程是(t為參數)，l與C交于A、B兩點，|AB|，求l的斜率解(1)由xcos，ysin可得圓C的極坐標方程212cos 110.(2)在(1)中建立的極坐標系中，直線l的極坐標方程為(R)設A，B所對應的極徑分別為1，2，將l的極坐標方程代入C的極坐標方程得212cos 110.于是1212cos ，1211.|AB|12|.由|AB|得cos2，tan .所以l的斜率為或.2(2015江蘇)已知圓C的極坐標方程為22sin40，求圓C的半徑解以極坐標系的極點為平面直角坐標系的原點O，以極軸為x軸的正半軸，建立直角坐標系xOy.圓C的極坐標方程為2240，化簡，得22sin 2cos 40.則圓C的直角坐標方程為x2y22x2y40，即(x1)2(y1)26，所以圓C的半徑為.高考必會題型題型一極坐標與直角坐標的互化直角坐標與極坐標的互化把直角坐標系的原點作為極點，x軸正半軸作為極軸，且在兩坐標系中取相同的長度單位如圖，設M是平面內的任意一點，它的直角坐標、極坐標分別為(x，y)和(，)，則例1在極坐標系中，曲線C1：(cossin )1與曲線C2：a(a>0)的一個交點在極軸上，求a的值解(cossin )1，即cossin1對應的普通方程為xy10，a(a>0)對應的普通方程為x2y2a2.在xy10中，令y0，得x.將代入x2y2a2得a.點評(1)在由點的直角坐標化為極坐標時，一定要注意點所在的象限和極角的范圍，否則點的極坐標將不唯一(2)在與曲線的方程進行互化時，一定要注意變量的范圍，要注意轉化的等價性變式訓練1在以O為極點的極坐標系中，直線l與曲線C的極坐標方程分別是cos()3和sin28cos ，直線l與曲線C交于點A、B，求線段AB的長解cos()coscossinsincossin3，直線l對應的直角坐標方程為xy6.又sin28cos ，2sin28cos .曲線C對應的直角坐標方程是y28x.解方程組得或所以A(2，4)，B(18,12)，所以AB16.即線段AB的長為16.題型二參數方程與普通方程的互化1直線的參數方程過定點M(x0，y0)，傾斜角為的直線l的參數方程為(t為參數)2圓的參數方程圓心在點M(x0，y0)，半徑為r的圓的參數方程為(為參數，02)3圓錐曲線的參數方程(1)橢圓1的參數方程為(為參數)(2)拋物線y22px(p>0)的參數方程為(t為參數)例2(2015福建)在平面直角坐標系xOy中，圓C的參數方程為(t為參數)在極坐標系(與平面直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸非負半軸為極軸)中，直線l的方程為sinm(mR)(1)求圓C的普通方程及直線l的直角坐標方程；(2)設圓心C到直線l的距離等于2，求m的值解(1)消去參數t，得到圓C的普通方程為(x1)2(y2)29.由sinm，得sincosm0.所以直線l的直角坐標方程為xym0.(2)依題意，圓心C到直線l的距離等于2，即2，解得m32.點評(1)將參數方程化為普通方程，需要根據參數方程的結構特征，選取適當的消參方法常見的消參方法有代入消參法，加減消參法，平方消參法等(2)將參數方程化為普通方程時，要注意兩種方程的等價性，不要增解、漏解，若x、y有范圍限制，要標出x、y的取值范圍變式訓練2已知直線l的參數方程為(t為參數)，P是橢圓y21上的任意一點，求點P到直線l的距離的最大值解由于直線l的參數方程為(t為參數)，故直線l的普通方程為x2y0.因為P為橢圓y21上的任意一點，故可設P(2cos ，sin )，其中R.因此點P到直線l的距離是d.所以當k，kZ時，d取得最大值.題型三極坐標、參數方程的綜合應用解決與圓、圓錐曲線的參數方程有關的綜合問題時，要注意普通方程與參數方程的互化公式，主要是通過互化解決與圓、圓錐曲線上動點有關的問題，如最值、范圍等例3(2015課標全國)在直角坐標系xOy中，曲線C1：(t為參數，t0)，其中0，在以O為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C2：2sin ，曲線C3：2cos .(1)求C2與C3交點的直角坐標；(2)若C1與C2相交于點A，C1與C3相交于點B，求|AB|的最大值解(1)曲線C2的直角坐標方程為x2y22y0，曲線C3的直角坐標方程為x2y22x0.聯立解得或所以C2與C3交點的直角坐標為(0,0)和.(2)曲線C1的極坐標方程為(R，0)，其中0.因此A的極坐標為(2sin ，)，B的極坐標為(2cos ，)所以|AB|2sin 2cos |4.當時，|AB|取得最大值，最大值為4.點評(1)利用參數方程解決問題，要理解參數的幾何意義(2)解決直線、圓和圓錐曲線的有關問題，將極坐標方程化為直角坐標方程或將參數方程化為普通方程，有助于對方程所表示的曲線的認識，從而達到化陌生為熟悉的目的，這是轉化與化歸思想的應用變式訓練3(2015陜西)在直角坐標系xOy中，直線l的參數方程為(t為參數)以原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，C的極坐標方程為2sin .(1)寫出C的直角坐標方程；(2)P為直線l上一動點，當P到圓心C的距離最小時，求P的直角坐標解(1)由2sin ，得22sin ，從而有x2y22y，所以x2(y)23.(2)設P，又C(0，)，則|PC|，故當t0時，|PC|取得最小值，此時，P點的直角坐標為(3,0)高考題型精練1已知圓的極坐標方程為4cos ，圓心為C，點P的極坐標為(4，)，求CP的長解由4cos 得24cos ，即x2y24x，即(x2)2y24，圓心C(2,0)，又由點P的極坐標為(4，)可得點P的直角坐標為(2,2)，CP2.2(2015安徽改編)在極坐標系中，求圓8sin 上的點到直線(R)距離的最大值解圓8sin 化為直角坐標方程為x2y28y0，即x2(y4)216，直線(R)化為直角坐標方程為yx，結合圖形知圓上的點到直線的最大距離可轉化為圓心到直線的距離再加上半徑圓心(0,4)到直線yx的距離為2，又圓的半徑r4，所以圓上的點到直線的最大距離為6.3在極坐標系中，已知三點M(2，)、N(2,0)、P(2，)(1)將M、N、P三點的極坐標化為直角坐標；(2)判斷M、N、P三點是否在一條直線上解(1)由公式得M的直角坐標為(1，)；N的直角坐標為(2,0)；P的直角坐標為(3，)(2)kMN，kNP.kMNkNP，M、N、P三點在一條直線上4(2015重慶改編)已知直線l的參數方程為(t為參數)，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為2cos 24，求直線l與曲線C的交點的極坐標解直線l的直角坐標方程為yx2，由2cos 24得2(cos2sin2)4，直角坐標方程為x2y24，把yx2代入雙曲線方程解得x2，因此交點為(2,0)，其極坐標為(2，)5以平面直角坐標系的原點為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，兩種坐標系中取相同的長度單位已知直線l的參數方程是(t為參數)，圓C的極坐標方程是4cos ，求直線l被圓C截得的弦長解直線l的參數方程(t為參數)化為直角坐標方程是yx4，圓C的極坐標方程4cos 化為直角坐標方程是x2y24x0.圓C的圓心(2,0)到直線xy40的距離為d.又圓C的半徑r2，因此直線l被圓C截得的弦長為22.6(2016江蘇)在平面直角坐標系xOy中，已知直線l的參數方程為(t為參數)，橢圓C的參數方程為(為參數)設直線l與橢圓C相交于A，B兩點，求線段AB的長解直線l的方程化為普通方程為xy0，橢圓C的方程化為普通方程為x21，聯立方程組得解得或A(1,0)，B.故AB.7(2015湖南)已知直線l：(t為參數)，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為2cos .(1)將曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程；(2)設點M的直角坐標為(5，)，直線l與曲線C的交點為A，B，求|MA|MB|的值解(1)2cos 等價于22cos .將2x2y2，cosx代入即得曲線C的直角坐標方程為x2y22x0.(2)將代入式，得t25t180.設這個方程的兩個實根分別為t1，t2，則由參數t的幾何意義即知，|MA|MB|t1t2|18.8已知直線l的參數方程是(t為參數)，圓C的極坐標方程為4cos.(1)將圓C的極坐標方程化為直角坐標方程；(2)若圓上有且僅有三個點到直線l的距離為，求實數a的值解(1)由4cos，得4cos 4sin .即24cos 4sin .由得x2y24x4y0，得(x2)2(y2)28.所以圓C的直角坐標方程為(x2)2(y2)28.(2)直線l的參數方程可化為y2xa，則由圓的半徑為2知，圓心(2，2)到直線y2xa的距離恰好為.所以，解得a6.