廣西2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 考點(diǎn)規(guī)范練29 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和 文

考點(diǎn)規(guī)范練29等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和一、基礎(chǔ)鞏固1.已知Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和,a2+a8=6,則S9等于()A.272B.27C.54D.108答案B解析S9=9(a1+a9)2=9(a2+a8)2=27.2.已知an是公差為1的等差數(shù)列,Sn為an的前n項(xiàng)和.若S8=4S4,則a10=()A.172B.192C.10D.12答案B解析公差d=1,S8=4S4,8(a1+a8)2=4×4(a1+a4)2,即2a1+7d=4a1+6d,解得a1=12.a10=a1+9d=12+9=192.3.記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和,若3S3=S2+S4,a1=2,則a5=()A.-12B.-10C.10D.12答案B解析因?yàn)?S3=S2+S4,所以3S3=(S3-a3)+(S3+a4),即S3=a4-a3.設(shè)公差為d,則3a1+3d=d,又由a1=2,得d=-3,所以a5=a1+4d=-10.4.已知等差數(shù)列an的前4項(xiàng)和為30,前8項(xiàng)和為100,則它的前12項(xiàng)和為()A.110B.200C.210D.260答案C解析設(shè)an的前n項(xiàng)和為Sn.在等差數(shù)列an中,S4,S8-S4,S12-S8成等差數(shù)列,又S4=30,S8=100,30,70,S12-100成等差數(shù)列,2×70=30+S12-100,解得S12=210.5.已知數(shù)列an是等差數(shù)列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,an的前n項(xiàng)和為Sn,則使得Sn達(dá)到最大的n是()A.18B.19C.20D.21答案C解析a1+a3+a5=105a3=35,a2+a4+a6=99a4=33,則an的公差d=33-35=-2,a1=a3-2d=39,Sn=-n2+40n,因此當(dāng)Sn取得最大值時,n=20.6.在等差數(shù)列an中,若ana2n是一個與n無關(guān)的常數(shù),則該常數(shù)的可能值的集合為()A.1B.1,12C.12D.0,1,12答案B解析特殊值驗(yàn)證法.若ana2n=1,則數(shù)列an是一個常數(shù)列,滿足題意;若ana2n=12,設(shè)等差數(shù)列的公差為d,則an=12a2n=12(an+nd),化簡,得an=nd,即a1+(n-1)d=nd,化簡,得a1=d,也滿足題意;若ana2n=0,則an=0,不符合題意.故選B.7.中國古代詞中,有一道“八子分綿”的數(shù)學(xué)名題:“九百九十六斤綿,贈分八子作盤纏,次第每人多十七,要將第八數(shù)來言”.題意是:把996斤綿分給8個兒子作盤纏,按照年齡從大到小的順序依次分綿,年齡小的比年齡大的多17斤綿,那么第8個兒子分到的綿是斤. 答案184解析用a1,a2,a8表示8個兒子按照年齡從大到小得到的綿斤數(shù),由題意,得數(shù)列a1,a2,a8是公差為17的等差數(shù)列,且這8項(xiàng)的和為996,即8a1+8×72×17=996,解得a1=65.所以a8=65+7×17=184.8.在數(shù)列an中,其前n項(xiàng)和為Sn,a1=1,a2=2,當(dāng)整數(shù)n2時,Sn+1+Sn-1=2(Sn+S1)都成立,則S15=. 答案211解析由Sn+1+Sn-1=2(Sn+S1),得(Sn+1-Sn)-(Sn-Sn-1)=2S1=2,即an+1-an=2(n2),則數(shù)列an從第二項(xiàng)起構(gòu)成以2為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列,所以S15=1+2×14+14×132×2=211.9.若數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足an+2SnSn-1=0(n2),a1=12.(1)求證:1Sn成等差數(shù)列;(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.(1)證明當(dāng)n2時,由an+2SnSn-1=0,得Sn-Sn-1=-2SnSn-1,所以1Sn-1Sn-1=2.又1S1=1a1=2,故1Sn是首項(xiàng)為2,公差為2的等差數(shù)列.(2)解由(1)可得1Sn=2n,Sn=12n.當(dāng)n2時,an=Sn-Sn-1=12n-12(n-1)=n-1-n2n(n-1)=-12n(n-1).當(dāng)n=1時,a1=12不適合上式.故an=12,n=1,-12n(n-1),n2.10.在等差數(shù)列an中,a3+a4=4,a5+a7=6.(1)求an的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)bn=an,求數(shù)列bn的前10項(xiàng)和,其中x表示不超過x的最大整數(shù),如0.9=0,2.6=2.解(1)設(shè)數(shù)列an的公差為d,由題意有2a1+5d=4,a1+5d=3,解得a1=1,d=25.所以an的通項(xiàng)公式為an=2n+35.(2)由(1)知,bn=2n+35.當(dāng)n=1,2,3時,12n+35<2,bn=1;當(dāng)n=4,5時,22n+35<3,bn=2;當(dāng)n=6,7,8時,32n+35<4,bn=3;當(dāng)n=9,10時,42n+35<5,bn=4.所以數(shù)列bn的前10項(xiàng)和為1×3+2×2+3×3+4×2=24.二、能力提升11.若數(shù)列an滿足:a1=19,an+1=an-3(nN*),則當(dāng)數(shù)列an的前n項(xiàng)和數(shù)值最大時,n的值為()A.6B.7C.8D.9答案B解析a1=19,an+1=an-3,數(shù)列an是以19為首項(xiàng),-3為公差的等差數(shù)列.an=19+(n-1)×(-3)=22-3n.設(shè)an的前k項(xiàng)和數(shù)值最大,則有ak0,ak+10,kN*.22-3k0,22-3(k+1)0.193k223.kN*,k=7.滿足條件的n的值為7.12.(2018安徽皖中名校聯(lián)盟聯(lián)考)已知數(shù)列an為等差數(shù)列,其前n項(xiàng)和為Sn,且2a1+3a3=S6,給出以下結(jié)論:a10=0;S10最小;S7=S12;S19=0.其中一定正確的結(jié)論是()A.B.C.D.答案B解析設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,則2a1+3a1+6d=6a1+15d,即a1+9d=0,a10=0,故正確;若a1>0,d<0,則S9=S10,且它們?yōu)镾n的最大值,故錯誤;S12-S7=a8+a9+a10+a11+a12=5a10=0,即S7=S12,故正確;S19=19(a1+a19)2=19a10=0,故正確.13.已知數(shù)列an是等差數(shù)列,數(shù)列bn滿足bn=anan+1an+2(nN*),設(shè)Sn為bn的前n項(xiàng)和.若a12=38a5>0,則當(dāng)Sn取得最大值時,n的值等于. 答案16解析設(shè)an的公差為d,由a12=38a5>0,得a1=-765d,a12<a5,即d<0,所以an=n-815d,從而可知當(dāng)1n16時,an>0;當(dāng)n17時,an<0.從而b1>b2>>b14>0>b17>b18>,b15=a15a16a17<0,b16=a16a17a18>0,故S14>S13>>S1,S14>S15,S15<S16,S16>S17>S18>.因?yàn)閍15=-65d>0,a18=95d<0,所以a15+a18=-65d+95d=35d<0,所以b15+b16=a16a17(a15+a18)>0,所以S16>S14,所以Sn中S16最大.故答案為16.14.已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,a2<0,且1,a2,81成等比數(shù)列,a3+a7=-6.(1)求an的通項(xiàng)公式;(2)求Snn的前n項(xiàng)和Tn取得最小值時n的值.解(1)a3+a7=-6=2a5,a5=-3.1,a2,81成等比數(shù)列,a22=1×81.又a2<0,a2=-9.等差數(shù)列an的公差d=a5-a25-2=-3-(-9)5-2=2.an=a2+(n-2)×2=2n-13.(2)Sn=n(-11+2n-13)2=n2-12n.Snn=n-12.由n-120,解得n12.因此,當(dāng)n=11或n=12時,Snn的前n項(xiàng)和Tn取得最小值.15.已知公差大于零的等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足a3·a4=117,a2+a5=22.(1)求通項(xiàng)公式an;(2)求Sn的最小值;(3)若數(shù)列bn是等差數(shù)列,且bn=Snn+c,求非零常數(shù)c.解(1)數(shù)列an為等差數(shù)列,a3+a4=a2+a5=22.又a3·a4=117,a3,a4是方程x2-22x+117=0的兩實(shí)根.又公差d>0,a3<a4,a3=9,a4=13,a1+2d=9,a1+3d=13,a1=1,d=4.通項(xiàng)公式an=4n-3.(2)由(1)知a1=1,d=4,Sn=na1+n(n-1)2d=2n2-n=2n-142-18.當(dāng)n=1時,Sn最小,最小值為S1=a1=1.(3)由(2)知Sn=2n2-n,bn=Snn+c=2n2-nn+c,b1=11+c,b2=62+c,b3=153+c.數(shù)列bn是等差數(shù)列,2b2=b1+b3,即62+c×2=11+c+153+c,2c2+c=0,c=-12(c=0舍去),故c=-12.三、高考預(yù)測16.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列an滿足:a4=2a2,且a1,4,a4成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)求同時滿足下列條件的所有an的和:20n116;n能夠被5整除.解(1)a4=2a2,且a1,4,a4成等比數(shù)列,a1+3d=2(a1+d),a1·(a1+3d)=16,解得a1=2,d=2.數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=a1+(n-1)·d=2+2(n-1)=2n.(2)n同時滿足:20n116;n能夠被5整除,滿足條件的n組成等差數(shù)列bn,且b1=20,d=5,bn=115,項(xiàng)數(shù)為115-205+1=20.bn的所有項(xiàng)的和為S20=20×20+12×20×19×5=1350.又an=2n,即an=2bn,滿足條件的所有an的和為2S20=2×1350=2700.8